هواي دونغ تساو

في عام ١٩٨٢، قدّم ريتشارد س. هاميلتون مفهوم تدفق ريتشي ، مُثبتًا نظرية جديدة هامة في هندسة المشعبات ثلاثية الأبعاد . ^{[ ١ ]} بدأ كاو، الذي كان قد بدأ لتوه دراساته للدكتوراه تحت إشراف شينغ-تونغ ياو ، بدراسة تدفق ريتشي في سياق مشعبات كاهلر . في أطروحته للدكتوراه، التي نُشرت عام ١٩٨٥، بيّن أن تقديرات ياو في حلّ حدسية كالابي يُمكن تعديلها لتناسب سياق تدفق كاهلر-ريتشي، لإثبات نظرية تقارب مشابهة لنتيجة هاميلتون الأصلية. ^{[ ٢ ]} كما وفّر هذا بديلًا مكافئًا لطريقة ياو في الاستمرارية في إثبات حدسية كالابي، على الرغم من تشابه الكثير من العمل التقني في البراهين.

بعد اقتراح ياو بإمكانية استخدام تدفق ريتشي لإثبات حدسية الهندسة لويليام ثورستون ، طوّر هاميلتون النظرية على مدى العقدين التاليين. في عامي 2002 و2003، نشر غريشا بيرلمان مقالتين على موقع arXiv زعم فيهما تقديم برهان، عبر تدفق ريتشي، لحدسية الهندسة. ^{[ 3 ] [ 4 ]} إضافةً إلى ذلك، نشر مقالة ثالثة قدّم فيها طريقة مختصرة لإثبات حدسية بوانكاريه الشهيرة ، والتي لم تكن نتائج النصف الثاني من الورقة الثانية ضرورية لها. ^{[ 5 ]} لاقت أوراق بيرلمان استحسانًا فوريًا لتقديمها نتائج جديدة بارزة في نظرية تدفق ريتشي، على الرغم من أن العديد من علماء الرياضيات لم يتمكنوا من فهم التفاصيل التقنية لبعض الأجزاء المعقدة أو الموجزة بشكل غير عادي في عمله.

بدأ بروس كلاينر من جامعة ييل وجون لوت من جامعة ميشيغان بنشر شروحات لأول ورقتين بحثيتين لبيرلمان على الإنترنت عام ٢٠٠٣، وأضافا إليها وعدّلاها على مدى السنوات التالية. نُشرت نتائج هذا العمل في مجلة أكاديمية عام ٢٠٠٨. ^{[ ٦ ]} تعاون كاو مع شي-بينغ تشو من جامعة تشونغشان ، ونشرا عرضًا عام ٢٠٠٦ لأعمال هاميلتون وأول ورقتين بحثيتين لبيرلمان، موضحين إياهما في سياق الأدبيات الرياضية حول التحليل الهندسي . نشر جون مورغان من جامعة كولومبيا وجانغ تيان من جامعة برينستون كتابًا عام ٢٠٠٧ حول الورقة البحثية الأولى والثالثة لبيرلمان، والنصف الأول من الورقة الثانية؛ ثم نشرا لاحقًا كتابًا ثانيًا حول النصف الثاني من الورقة الثانية لبيرلمان. ^{[ ٧ ] [ ٨ ]}

يذكر ملخص مقالة كاو وتشو

في هذه الورقة، نقدم برهانًا كاملًا لفرضية بوانكاريه وفرضية الهندسة. يعتمد هذا العمل على الأعمال المتراكمة للعديد من المحللين الهندسيين على مدى الثلاثين عامًا الماضية. ويُعتبر هذا البرهان تتويجًا لنظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي.

مع بداية المقدمة

سنقدم في هذه الورقة نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي. وانطلاقًا منها، سنقدم أول عرض مكتوب لبرهان كامل لتخمين بوانكاريه وتخمين ثورستون الهندسي. ورغم أن هذا العمل الكامل هو ثمرة جهود متراكمة للعديد من المحللين الهندسيين، إلا أن المساهمين الرئيسيين فيه بلا شك هما هاميلتون وبيرلمان.

رأى بعض المراقبين أن كاو وتشو يبالغان في تقدير قيمة بحثهما. إضافةً إلى ذلك، تبيّن أن بعض صفحات مقال كاو وتشو تتشابه مع صفحات مقال كلاينر ولوت، مما أدى إلى اتهامات بالسرقة الأدبية. أوضح كاو وتشو أنهما استعانا في عام ٢٠٠٣ بملاحظات حول ذلك الجزء من عمل بيرلمان من منشورات كلاينر ولوت المبكرة، وأنهما لم يدركا مصدر تلك الملاحظات سهوًا عند كتابة مقالهما في عام ٢٠٠٥. ^{[ ٩ ]} وقد نشرا نسخة منقحة من مقالهما على موقع arXiv في ديسمبر ٢٠٠٦. ^{[ ١٠ ]}

يتكون سوليتون ريتشي المتدرج من متعدد شعب ريماني ( M , g ) ودالة f على M بحيث يكون Ric ^g + Hess ^g f مضاعفًا ثابتًا لـ g . في الحالة الخاصة التي يكون فيها M ذا بنية معقدة، و g مقياس كاهلر ، وتدرج f حقل متجهي هولومورفي، نحصل على سوليتون كاهلر-ريتشي متدرج . تُعتبر سوليتونات ريتشي أحيانًا تعميمات لمقاييس أينشتاين ، والتي تُقابل الحالة f = 0. وقد أدرك هاميلتون أهمية سوليتونات ريتشي المتدرجة لنظرية تدفق ريتشي لأول مرة في مقال مؤثر نُشر عام 1995. ^{[ 11 ]} في تحليل بيرلمان، تُعد سوليتونات ريتشي المتدرجة التي يكون فيها المضاعف الثابت موجبًا ذات أهمية خاصة؛ وتُسمى هذه سوليتونات ريتشي المتدرجة المتقلصة . وقد تم الاستشهاد على نطاق واسع بدراسة أجراها كاو عام 2010 حول سوليتونات ريتشي.

في عام 1996، درس كاو سوليتونات كاهلر-ريتشي المتدرجة في ظل افتراض التناظر الدوراني، بحيث تختزل معادلة سوليتون ريتشي إلى تحليل المعادلات التفاضلية العادية . وقد أظهر أنه لكل قيمة موجبة لـ n، يوجد سوليتون كاهلر-ريتشي مستقر متدرج على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$وهو متناظر دورانيًا، وكامل، ومنحنٍ إيجابيًا. في حالة n = 1، يستعيد هذا سوليتون هاميلتون السيجار. كما أثبت كاو وجود سوليتونات كاهلر-ريتشي المستقرة بالتدرج على الفضاء الكلي للحزمة الكنسية فوق الفضاء الإسقاطي المركب ، وهي كاملة ومتناظرة دورانيًا ومنحنية بشكل غير سالب. وقد بنى أمثلة مغلقة لسوليتونات كاهلر-ريتشي المتقلصة بالتدرج على إسقاط حزم خطية معينة فوق الفضاء الإسقاطي المركب؛ وقد تناول نوريهيتو كويزو هذه الأمثلة بشكل مستقل. ^{[ 12 ]} تم تطوير فرضية كاو وكويزو بشكل أكبر في مقال مؤثر لميخائيل فيلدمان، وتوم إلمانين ، ودان كنوبف، وتم توحيد أمثلة كاو، وكويزو، وفيلدمان-إلمانين-كنوبف وتوسيعها في عام 2011 بواسطة أندرو دانسر وماكنزي وانغ. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

باستخدام حجة بيرلمان، أثبت كلٌ من كاو وديتانغ تشو أن سوليتونات ريتشي المتقلصة بالتدرج الكامل لها طابع غاوسي ، بمعنى أنه لأي نقطة معينة p من M ، يجب أن تنمو الدالة f تربيعيًا مع دالة المسافة إلى p . بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن ينمو حجم الكرات الجيوديسية حول p بشكل متعدد الحدود على الأكثر مع نصف قطرها. تُمكّن هذه التقديرات من إجراء الكثير من التحليلات التكاملية المتعلقة بسوليتونات ريتشي المتقلصة بالتدرج الكامل، ولا سيما السماح باستخدام e ^{− f} كدالة ترجيح.