تيان جانج

يشتهر تيان بمساهماته في هندسة كاهلر ، وخاصةً في دراسة مقاييس كاهلر-أينشتاين . وقد حسم شينغ-تونغ ياو ، في حله الشهير لتخمين كالابي ، حالة مشعبات كاهلر المغلقة ذات فئة تشيرن الأولى غير الموجبة . وأظهر عمله في تطبيق طريقة الاستمرارية أن التحكم من ^الدرجة C₀ في كمونات كاهلر يكفي لإثبات وجود مقاييس كاهلر-أينشتاين على مشعبات كاهلر المغلقة ذات فئة تشيرن الأولى الموجبة، والمعروفة أيضًا باسم "مشعبات فانو". وقد وسّع تيان وياو تحليل ياو لتخمين كالابي ليشمل الحالات غير المتراصة ، حيث حصلا على نتائج جزئية. ^[TY90] كما وسّعا عملهما ليشمل حالات التفرد المداري. ^[TY91]

قدّم تيان " الثابت α "، وهو في جوهره الثابت الأمثل في متباينة موزر-ترودينجر عند تطبيقها على كمونات كاهلر ذات القيمة العليا 0. بيّن أنه إذا كان الثابت α كبيرًا بما يكفي (أي إذا تحققت متباينة موزر-ترودينجر بقوة كافية)، فإنه يمكن تحقيق التحكم C ⁰ في طريقة ياو للاستمرارية. ^[T87b] طُبّق هذا لعرض أمثلة جديدة لأسطح كاهلر-أينشتاين. أعاد تيان النظر في حالة أسطح كاهلر عام 1990، مدعيًا التوصل إلى حل كامل لمسألة كاهلر-أينشتاين في هذا السياق. ^[T90b] تمثلت التقنية الرئيسية في دراسة الانحلالات الهندسية المحتملة لسلسلة من مقاييس كاهلر-أينشتاين، كما يمكن الكشف عنها بواسطة تقارب غروموف-هاوسدورف . قام تيان بتكييف العديد من الابتكارات التقنية لكارين أولينبيك ، كما طُوّرت لوصلات يانغ-ميلز، لتناسب مقاييس كاهلر. وقد أُنجزت بعض الأعمال المماثلة والمؤثرة في الإطار الريماني في عامي 1989 و1990 من قِبل مايكل أندرسون ، وشيغيتوشي باندو، وأتسوشي كاسوي، وهيراكو ناكاجيما . ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} ومع ذلك، فقد اكتُشف لاحقًا أن ورقة تيان تحتوي على ثغرات خطيرة. على وجه الخصوص، في حالة الدرجة 1، وهي الحالة الأكثر حساسية، أوضح أوداكا-سبوتي-سون ^{[ 10 ]} (انظر المثال 5.8) أن الاقتراح 6.2 في ورقة تيان خاطئ من خلال عرض مثال مضاد صريح. وينص الاقتراح على أنه بالنسبة لحدود غروموف-هاوسدورف من الدرجة 1، فإن النظام الخطي |-2K| يخلو السطح من نقاط الأساس، ويحتوي على نقطة تفرد غير قياسية واحدة على الأكثر من نوع محدد. وقد أُثبت في المرجع ^{[ 10 ]} وجود حد كاهلر-أينشتاين توريكي صريح عندما يكون مؤشر غورنشتاين 3، مما يُثبت عدم صحة هذه الادعاءات. ولذلك، يبقى من غير الواضح ما إذا كان بالإمكان استخدام استراتيجية تيان للتعامل مع حالة الدرجة 1.

كان إسهام تيان الأبرز في مسألة كاهلر-أينشتاين عام ١٩٩٧. وكان ياو قد افترض في ثمانينيات القرن الماضي، استنادًا جزئيًا إلى القياس على نظرية دونالدسون-أولينبيك-ياو ، أن وجود مقياس كاهلر-أينشتاين يجب أن يتوافق مع استقرار مشعب كاهلر الأساسي بمعنى معين من نظرية الثوابت الهندسية . وكان من المفهوم عمومًا، لا سيما بعد عمل أكيتو فوتاكي ^{[ ١١ ]،} أن وجود حقول متجهة هولومورفية يجب أن يشكل عائقًا أمام وجود مقاييس كاهلر-أينشتاين. وقد أثبت تيان ووي يو دينغ أن هذا العائق غير كافٍ ضمن فئة مشعبات كاهلر المدارية . ^[DT92] قدّم تيان، في مقالته المنشورة عام 1997، أمثلةً ملموسةً على مشعبات كاهلر (بدلاً من المشعبات المدارية) التي لا تحتوي على حقول متجهة هولومورفية ولا على مقاييس كاهلر-أينشتاين، مُبيّنًا أن المعيار المطلوب يكمن في أعماقٍ أخرى. ^[T97] اقترح ياو أنه بدلاً من دراسة الحقول المتجهة الهولومورفية على المشعب نفسه، ينبغي أن يكون من المهم دراسة تشوهات التضمينات الإسقاطية لمشعبات كاهلر تحت تأثير الحقول المتجهة الهولومورفية على الفضاء الإسقاطي. عدّل تيان هذه الفكرة، مُقدّمًا مفهوم استقرار K، ومُبيّنًا أن أي مشعب كاهلر-أينشتاين يجب أن يكون مستقرًا K. ^[T97]

في عام ٢٠٠٢، قام سيمون دونالدسون بتعديل وتوسيع تعريف تيان للاستقرار من النوع K. ^{[ ١٢ ]} عُرفت الفرضية القائلة بأن الاستقرار من النوع K كافٍ لضمان وجود مقياس كاهلر-أينشتاين باسم فرضية ياو-تيان-دونالدسون . في عام ٢٠١٥، نشر كلٌ من شيوكسيونغ تشين ودونالدسون وسونغ صن برهانًا على هذه الفرضية، وحصلوا على جائزة أوزوالد فيبلين في الهندسة تقديرًا لعملهم. ^{[ ١٣ ] [ ١٤ ] [ ١٥ ]} نشر تيان برهانًا على هذه الفرضية في العام نفسه، على الرغم من أن تشين ودونالدسون وصن اتهموا تيان بسوء السلوك الأكاديمي والرياضي فيما يتعلق ببحثه. ^{[T15] [ 16 ] [ 17 ]} في القسم 6 من ^[T15] ، حدد تيان منهجين لإتمام برهان النظرية 1.1 (النظرية الرئيسية)، المنهج الثاني مشابه للمنهج المستخدم في ^{[ 15 ]} ، أما المنهج الأول فيتبع عمل تيان السابق ^[T97] ، والذي يتضمن استقرار CM. من المعروف الآن أن المنهج الأول يحتوي على ثغرة. تحديدًا، تنص النظرية 6.6 على أن استقرار K يستلزم استقرار CM. يعتمد البرهان على المعيار العددي المعمم للأزواج المذكور في أعمال S. Paul المنشورة مسبقًا. ^{[ 18 ] [ 19 ]} ومع ذلك، لوحظ لاحقًا أن برهان Paul للمعيار العددي المعمم يحتوي على ثغرة (انظر القسم 5.3 من ^{[ 20 ]} ). حاولت العديد من الأعمال اللاحقة سد هذه الثغرة. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} ومع ذلك، قام بول، صن، وتشانغ ^{[ 26 ]} مؤخرًا بوضع أمثلة مضادة صريحة للمعيار العددي المعمم (انظر النظرية 1.3 والملاحظة 1.4 في ^{[ 26 ]} )، مُبينين أن المعايير، بصيغتها الأصلية، خاطئة. وبالتالي، فإن الحجج التي تُثبت النظرية 6.6 في ^[T15] لم تعد صالحة.

في إحدى مقالاته الأولى، درس تيان فضاء مقاييس كالابي-ياو على مشعب كاهلر. ^[T87a] بيّن أن أي تشوه متناهي الصغر لبنية كالابي-ياو يمكن "دمجه" في عائلة ذات مُعامل واحد من مقاييس كالابي-ياو؛ وهذا يُثبت أن "فضاء المعاملات" لمقاييس كالابي-ياو على المشعب المُعطى له بنية مشعب أملس. وقد درس أندريه تودوروف هذا الأمر سابقًا، وتُعرف النتيجة باسم نظرية تيان-تودوروف. ^{[ 27 ]} كتطبيق، وجد تيان صيغة لمقياس ويل-بيترسون على فضاء معاملات مقاييس كالابي-ياو بدلالة دالة الدورة . [ ^{T87a] [ 28 ]}

انطلاقًا من مسألة كاهلر-أينشتاين وتخمين ياو المتعلق بمقاييس بيرغمان ، درس تيان المسألة التالية: ليكن L حزمة خطية فوق مشعب كاهلر M ، ولنثبت مقياس حزمة هيرميتي يكون شكل انحنائه شكل كاهلر على M. لنفترض أنه بالنسبة لـ m كبير بما فيه الكفاية ، فإن مجموعة متعامدة من المقاطع الهولومورفية للحزمة الخطية L ^{⊗ m} تُعرّف تضمينًا إسقاطيًا لـ M. يمكن سحب مقياس فوبيني-ستودي لتعريف متتالية من المقاييس على M مع ازدياد m . بيّن تيان أن إعادة تحجيم معينة لهذه المتتالية ستتقارب بالضرورة في طوبولوجيا C2 إلى مقياس كاهلر الأصلي. ^{[T90a] وقد} تم تناول السلوك التقاربي المُحسّن لهذه المتتالية في عدد من الأوراق البحثية اللاحقة المؤثرة من قِبل مؤلفين آخرين، وهي ذات أهمية خاصة في برنامج سيمون دونالدسون حول المقاييس المتطرفة. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} إن إمكانية تقريب مقياس كاهلر بواسطة مقاييس كاهلر المستحثة من التضمينات الإسقاطية ذات صلة أيضًا بصورة ياو لتخمين ياو-تيان-دونالدسون، كما هو موضح أعلاه.

في مقالٍ تقنيٍّ للغاية، درس شيوكسيونغ تشين وتيان نظرية الانتظام لبعض معادلات مونج-أمبير المعقدة ، مع تطبيقاتٍ لدراسة هندسة مقاييس كاهلر المتطرفة. ^[CT08] على الرغم من أن بحثهما قد حظي باقتباساتٍ واسعة، فقد وجد جوليوس روس وديفيد ويت نيستروم أمثلةً مضادةً لنتائج الانتظام التي توصل إليها تشين وتيان في عام 2015. ^{[ 34 ]}

أظهر ميخائيل غروموف في عام 1985 أن المنحنيات شبه الهولومورفية أدواتٌ فعّالة في الهندسة التبسيطية . ^{[ 35 ]} وفي عام 1991، افترض إدوارد ويتن إمكانية استخدام نظرية غروموف لتعريف الثوابت العددية . ^{[ 36 ]} اكتشف تيان ويونغبين روان تفاصيل هذا البناء، مُثبتين أن التقاطعات المختلفة لصور المنحنيات شبه الهولومورفية مستقلة عن العديد من الخيارات، وتُعطي على وجه الخصوص تطبيقًا متعدد الخطوط ترابطيًا على هومولوجيا بعض المشعبات التبسيطية. ^[RT95] يُعرف هذا البناء باسم الكوهومولوجيا الكمومية ؛ ويُعزى نهجٌ معاصرٌ ومؤثرٌ بالمثل إلى دوسا ماكدوف وديتمار سالامون . ^{[ 37 ]} تقع نتائج روان وتيان في إطارٍ أكثر عمومية.

بالتعاون مع جون لي ، قدم تيان تعديلاً جبرياً بحتاً لهذه النتائج في سياق الأصناف الجبرية . ^[LT98b] وقد تم ذلك في نفس الوقت الذي قام به كاي بيرند وباربرا فانتيتشي ، باستخدام منهج مختلف. ^{[ 38 ]}

ثم قام لي وتيان بتكييف عملهما الجبري الهندسي مع الإطار التحليلي في المشعبات التبسيطية، موسعين بذلك العمل السابق لروان وتيان. ^[LT98a] استخدم تيان وجانغ ليو هذا العمل لإثبات حدسية أرنولد المعروفة حول عدد النقاط الثابتة للتشاكلات الهاميلتونية . ^[LT98c] ومع ذلك، فقد انتقدت دوسا ماكدوف وكاترين ويرهايم ورقتي لي-تيان وليو-تيان حول نظرية غروموف-ويتن التبسيطية لكونهما غير مكتملتين أو غير صحيحتين، قائلتين إن مقالة لي وتيان ^[LT98a] "تفتقر إلى جميع التفاصيل تقريبًا" حول نقاط معينة، وأن مقالة ليو وتيان ^[LT98c] تحتوي على "أخطاء تحليلية جسيمة". ^{[ 39 ]}

في عام 1995، درس تيان وويوي دينغ تدفق الحرارة التوافقي لمتشعب ريماني مغلق ثنائي الأبعاد إلى متشعب ريماني مغلق N. ^[DT95] في عمل رائد عام 1985، عقب الإنجاز الذي حققه جوناثان ساكس وكارين أولينبيك عام 1982 ، درس مايكل سترووي هذه المسألة وأظهر وجود حل ضعيف لجميع الأزمنة الموجبة. علاوة على ذلك، أظهر سترووي أن الحل u يكون سلسًا بعيدًا عن عدد محدود من نقاط الزمكان؛ وبمعرفة أي سلسلة من نقاط الزمكان التي يكون عندها الحل سلسًا وتتقارب إلى نقطة شاذة معينة ( p , T ) ، يمكن إجراء بعض عمليات إعادة التحجيم لتحديد عدد محدود من الخرائط التوافقية من الكرة ثنائية الأبعاد إلى N ، والتي تُسمى "فقاعات". أثبت دينغ وتيان نوعًا من "تكميم الطاقة"، بمعنى أن الفرق بين طاقة ديريشليه لـ u ( T ) ونهاية طاقة ديريشليه لـ u ( t ) عندما تقترب t من T يُقاس بدقة بمجموع طاقات ديريشليه للفقاعات. لهذه النتائج أهمية بالغة في التحليل الهندسي، وذلك استنادًا إلى نتيجة تكميم الطاقة الأصلية التي توصل إليها يوم-تونغ سيو وشينغ -تونغ ياو في برهانهما على حدسية فرانكل. ^{[ 40 ]} وقد تناول تشانغيو وانغ في نفس الفترة تقريبًا مسألة مماثلة للخرائط التوافقية، على عكس دراسة دينغ وتيان لتدفق الخرائط التوافقية. ^{[ 41 ]}

تناولت إحدى أهم أوراق تيان البحثية معادلات يانغ-ميلز . ^[T00a] بالإضافة إلى توسيعه لجزء كبير من تحليل كارين أولينبيك ليشمل أبعادًا أعلى، درس تيان تفاعل نظرية يانغ-ميلز مع الهندسة المعايرة . كانت أولينبيك قد بيّنت في ثمانينيات القرن الماضي أنه عند إعطاء سلسلة من وصلات يانغ-ميلز ذات طاقة محدودة بشكل منتظم، فإنها تتقارب بسلاسة على مكمل مجموعة فرعية ذات بُعد مشترك لا يقل عن أربعة، تُعرف باسم مكمل "المجموعة الشاذة". باستخدام تقنيات طورتها فانغوا لين في دراسة الخرائط التوافقية، ^{[ 42 ]} أظهر تيان أن المجموعة الشاذة هي مجموعة قابلة للتصحيح . في حالة تزويد المتشعب بمعايرة، يمكن حصر الاهتمام بوصلات يانغ-ميلز ذاتية التناظر بالنسبة للمعايرة. في هذه الحالة، ادعى تيان أن المجموعة الشاذة معايرة. على سبيل المثال، ستكون المجموعة الشاذة لتسلسل من اتصالات يانغ-ميلز الهرميتية ذات الطاقة المحدودة بانتظام دورةً هولومورفية. وقد اعتُبر هذا سمةً هندسيةً مهمةً لتحليل اتصالات يانغ-ميلز. مع ذلك، اكتُشف لاحقًا وجود ثغراتٍ كبيرةٍ في مقالة تيان ^[T00a] . في ورقةٍ بحثيةٍ لاحقةٍ عام 2004، تناول تيرينس تاو وتيان ^{[ 43 ]} هذه المشكلات، وقدّما برهانًا جديدًا لسدّ الثغرة في نظرية انتظام إبسيلون التي طُرحت في الأصل في ^[T00a] (والتي افترضت ضمنيًا وجود مقياسٍ جيد). علاوةً على ذلك، يحتوي برهان خاصية المعايرة للمجموعة الشاذة المُقدّم في ^[T00a] أيضًا على عيوبٍ خطيرة. تحديدًا، برهان الاقتراح 2.3.1 في ^[T00a] غير صحيح، لأنه لا يستخدم فرضية الازدواجية الذاتية، على الرغم من أن العبارة معروفةٌ بأنها خاطئةٌ بدون هذه الفرضية. ^{[ 44 ]} تكمن المشكلة الأساسية في عدم استبعاد احتمال مواجهة الاتصال الحدي لحالات شاذة طوبولوجية. كما توجد مشكلة تتعلق بتراص فضاء اللحظات المعممة المذكورة في ^[T00a] ، كما هو موضح في الورقة ^{[ 45 ]} (انظر الملاحظة 1.15).

في عام ٢٠٠٦، درس تيان وتشو تشانغ تدفق ريتشي في سياق خاص من مشعبات كاهلر المغلقة . ^[TZ06] وكان إنجازهما الرئيسي هو إثبات إمكانية تحديد أقصى زمن للوجود بمصطلحات تماثلية بحتة. وهذا يمثل أحد أوجه تبسيط تدفق كاهلر-ريتشي بشكل ملحوظ عن تدفق ريتشي المعتاد، حيث لا توجد حسابات (معروفة) لأقصى زمن للوجود من سياق هندسي معين. ويتكون برهان تيان وتشانغ من استخدام مبدأ الحد الأقصى القياسي المطبق على معادلات التطور الهندسي المختلفة، بدلالة جهد كاهلر المُعَلم بواسطة تشوه خطي للأشكال المتماثلة مع تدفق كاهلر-ريتشي نفسه. وفي عمل بارز مع جيان سونغ، حلل تيان تدفق كاهلر-ريتشي على بعض المشعبات المعقدة ثنائية الأبعاد . ^[ST07]

في عامي 2002 و2003، نشر غريغوري بيرلمان ثلاث أوراق بحثية على موقع arXiv ، زعم فيها إثبات حدسية بوانكاريه وحدسية الهندسة في مجال الطوبولوجيا الهندسية ثلاثية الأبعاد . ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} لاقت أوراق بيرلمان استحسانًا فوريًا لما تضمنته من أفكار ونتائج جديدة، على الرغم من صعوبة التحقق من التفاصيل التقنية للعديد من حججه. بالتعاون مع جون مورغان ، نشر تيان شرحًا لأوراق بيرلمان في عام 2007، موضحًا العديد من التفاصيل. ^[MT07] كما نُشرت شروحات أخرى، حظيت بدراسة واسعة، من تأليف هواي دونغ كاو وشي بينغ تشو ، وبروس كلاينر وجون لوت . ^{[ 49 ] [ 50 ]} يُعدّ شرح مورغان وتيان الشرح الوحيد من بين الشروحات الثلاثة الذي يتناول ورقة بيرلمان الثالثة، ^{[ 48 ]} وهي غير ذات صلة بتحليل حدسية الهندسة، ولكنها تستخدم تدفق تقصير المنحنى لتقديم حجة أبسط للحالة الخاصة من حدسية بوانكاريه. بعد ثماني سنوات من نشر كتاب مورغان وتيان، أشار عباس بحري إلى وجود خطأ في جزء من شرحهما لهذه الورقة، حيث اعتمدا على حسابات غير صحيحة لمعادلات التطور. ^{[ 51 ]} وقد قام مورغان وتيان بتصحيح هذا الخطأ، الذي تناول تفاصيل غير موجودة في ورقة بيرلمان، بعد ذلك بوقت قصير. ^{[ 52 ]}

بالتعاون مع ناتاشا شيشوم ، نشر تيان أيضًا عرضًا لأعمال بيرلمان حول تدفق ريتشي لمتشعبات كاهلر، والتي لم ينشرها بيرلمان بأي شكل من الأشكال. ^{[ 53 ]}