الحجم الزائدي

في مجال نظرية العقد الرياضية ، يُعرف الحجم الزائدي للوصلة الزائدية بأنه حجم متممة هذه الوصلة بالنسبة لمقياسها الزائدي الكامل. هذا الحجم بالضرورة عدد حقيقي محدود، وهو ثابت طوبولوجي للوصلة. ^{[ 1 ]} وقد درسه ويليام ثورستون لأول مرة كثابت للوصلة في سياق حدسه الهندسي . ^{[ 2 ]}

الرابط الزائدي هو رابط في الكرة ثلاثية الأبعاد، يمكن إعطاء مكمله ( الفضاء الناتج عن إزالة الرابط من الكرة ثلاثية الأبعاد) مقياسًا ريمانيًا كاملًا ذا انحناء سالب ثابت ، مما يمنحه بنية مشعب زائدي ثلاثي الأبعاد ، وهو خارج قسمة الفضاء الزائدي على زمرة تعمل عليه بحرية وبشكل غير متصل. ستصبح مكونات الرابط رؤوسًا للمشعب ثلاثي الأبعاد، وسيكون للمشعب نفسه حجم محدود. وفقًا لصلابة موستو ، عندما يكون لمكمل الرابط بنية زائدية، فإن هذه البنية تكون محددة بشكل فريد، وأي ثوابت هندسية للبنية هي أيضًا ثوابت طوبولوجية للرابط. على وجه الخصوص، يُعد الحجم الزائدي للمكمل ثابتًا للعقدة . ولجعله مُعرَّفًا جيدًا لجميع العقد أو الروابط، غالبًا ما يُعرَّف الحجم الزائدي لعقدة أو رابط غير زائدي على أنه صفر.

يوجد عدد محدود فقط من العقد الزائدية لأي حجم مُعطى. ^{[ 2 ]} أي تغيير في العقدة الزائدية سيُعطي نفس الحجم، ^{[ 3 ]} لذا من الممكن ابتكار أمثلة بأحجام متساوية؛ في الواقع، توجد مجموعات محدودة كبيرة كيفما كانت من العقد المختلفة ذات الأحجام المتساوية. ^{[ 2 ]} عمليًا، أثبت الحجم الزائدي فعاليته الكبيرة في تمييز العقد، وقد استُخدم في بعض الجهود المكثفة لجدولة العقد . يُعد برنامج SnapPea الحاسوبي لجيفري ويكس الأداة الشائعة الاستخدام لحساب الحجم الزائدي للرابط. ^{[ 1 ]}

عقدة/وصلة	مقدار	مرجع
عقدة على شكل الرقم ثمانية	${\displaystyle \textstyle -6\int _{0}^{\pi /3}{\log {|2\sin \theta |}d\theta }=2.02988...}$	[ 4 ]
عقدة ثلاثية اللفات	2.82812
عقدة عامل الشحن والتفريغ	3.16396
6 عقدة 2	4.40083
عقدة لا نهاية لها	5.13794
زوج بيركو	5.63877
6 عقدة 3	5.69302
حلقات بوروميان	${\displaystyle \textstyle -16\int _{0}^{\pi /4}{\log {|2\sin \theta |}d\theta }=7.32772...}$	[ 4 ]

بشكل عام، يمكن تعريف الحجم الزائدي لأي مشعب زائدي ثلاثي الأبعاد . يتميز مشعب ويكس بأصغر حجم ممكن لأي مشعب مغلق (مشعب، على عكس مكملات الروابط، لا يحتوي على نقاط حادة)؛ ويبلغ حجمه حوالي 0.9427. ^{[ 5 ]}

أثبت ثورستون ويورغنسن أن مجموعة الأعداد الحقيقية التي تمثل أحجامًا زائدية لمتشعبات ثلاثية الأبعاد قابلة للتوجيه مرتبة ترتيبًا جيدًا ، من نوع الترتيب ω ^ω . لكل 0 ≤ k < l ، يكون كل حجم لمتشعب ذي l قمة بالضبط نقطة حدية لسلسلة من المتشعبات ذات k قمة، ويمكن الحصول على كل سلسلة متقاربة من الأحجام عن طريق عمليات دين على متشعب عند الحجم الحدي؛ أحجام المتشعبات المغلقة هي بالضبط النقاط المعزولة . ^{[ 6 ]} أصغر نقطة حدية في هذه المجموعة من الأحجام تُعطى بواسطة مكمل عقدة الشكل ثمانية ، ^{[ 7 ]} وأصغر نقطة حدية لنقاط الحد تُعطى بواسطة مكمل وصلة وايتهيد . ^{[ 8 ]}

• " الحجم الزائدي "، أطلس العقدة .