كرة ثلاثية

في الرياضيات ، تُعرف الكرة الفائقة أو الكرة ثلاثية الأبعاد بأنها نظير رباعي الأبعاد للكرة ، وهي الكرة ثلاثية الأبعاد ذات البعد n . في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، تُمثل الكرة الفائقة مجموعة النقاط المتساوية البعد عن نقطة مركزية ثابتة. ويُطلق على باطن الكرة ثلاثية الأبعاد اسم الكرة الرباعية .

يُطلق عليها اسم الكرة ثلاثية الأبعاد لأن سطحها، من الناحية الطوبولوجية، ثلاثي الأبعاد، على الرغم من انحنائه إلى البعد الرابع. فعلى سبيل المثال، عند السفر على الكرة ثلاثية الأبعاد، يمكنك التحرك شمالًا وجنوبًا، أو شرقًا وغربًا، أو على طول مجموعة ثالثة من الاتجاهات الأصلية. وهذا يعني أن الكرة ثلاثية الأبعاد هي مثال على فضاء ثلاثي الأبعاد .

تعريف

في الإحداثيات $،$ $تُعرَّف$ الكرة ثلاثية الأبعاد التي مركزها $($ $C0 ، C1 ، C2 ، C3) ونصف$ قطرها $r$ $بأنها$ $مجموعة$ جميع النقاط ( $x0$ $، x1 ، x2$ $،$ $x3$ $)$ $في$ $الفضاء$ الحقيقي $رباعي$ الأبعاد $($ $R4$ $)$ بحيث

\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

تُسمى الكرة ثلاثية الأبعاد التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1 بالكرة ثلاثية الأبعاد الوحدة ، ويُرمز لها عادةً بالرمز $S 3$ :

S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.

من الملائم غالبًا اعتبار $R⁴$ فضاءً ذا بُعدين مُركّبين $($ C² $)$ أو رباعيات ( $H$ ). وتُعطى الكرة الثلاثية الوحدة حينها بالصيغة التالية $:$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}

أو

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H

يُعرّف هذا الوصف، الذي يُشير إلى الرباعيات ذات المعيار الواحد، الكرة ثلاثية الأبعاد بأنها المتجهات في حلقة قسمة الرباعيات . وكما أن دائرة الوحدة مهمة للإحداثيات القطبية المستوية ، فإن الكرة ثلاثية الأبعاد مهمة أيضًا في الرؤية القطبية للفضاء رباعي الأبعاد المُستخدم في ضرب الرباعيات. انظر إلى التحليل القطبي للرباعية لمزيد من التفاصيل حول هذا التطور للكرة ثلاثية الأبعاد. تُشكّل هذه الرؤية للكرة ثلاثية الأبعاد أساسًا لدراسة الفضاء الإهليلجي كما طوّرها جورج لومتر . ^{[ 1 ]}

ملكيات

الخصائص الأولية

حجم السطح ثلاثي الأبعاد لكرة ثلاثية الأبعاد نصف قطرها $r$ هو

SV=2\pi ^{2}r^{3}\,

بينما الحجم الفائق رباعي الأبعاد (محتوى المنطقة رباعية الأبعاد، أو الكرة، المحصورة بالكرة ثلاثية الأبعاد) هو

H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.

كل تقاطع غير فارغ بين كرة ثلاثية الأبعاد ومستوى فائق ثلاثي الأبعاد هو كرة ثنائية الأبعاد (إلا إذا كان المستوى الفائق مماسًا للكرة الثلاثية الأبعاد، فحينها يكون التقاطع نقطة واحدة). عندما تتحرك كرة ثلاثية الأبعاد عبر مستوى فائق ثلاثي الأبعاد معين، يبدأ التقاطع كنقطة، ثم يتحول إلى كرة ثنائية الأبعاد متنامية تصل إلى أقصى حجم لها عندما يقطع المستوى الفائق خط استواء الكرة الثلاثية الأبعاد. بعد ذلك، تتقلص الكرة الثنائية الأبعاد مرة أخرى إلى نقطة واحدة عندما تغادر الكرة الثلاثية الأبعاد المستوى الفائق.

في مستوى ثلاثي الأبعاد معين، يمكن للكرة ثلاثية الأبعاد أن تدور حول "مستوى استوائي" (على غرار الكرة ثنائية الأبعاد التي تدور حول محور مركزي)، وفي هذه الحالة تبدو وكأنها كرة ثنائية الأبعاد ذات حجم ثابت.

الخصائص الطوبولوجية

الكرة ثلاثية الأبعاد هي فضاء متراص ومتصل ثلاثي الأبعاد بلا حدود. وهي أيضًا فضاء بسيط الاتصال . وهذا يعني، بالمعنى الواسع، أن أي مسار دائري على الكرة ثلاثية الأبعاد يمكن تقليصه باستمرار إلى نقطة دون الخروج من الكرة. وقد أثبتت غريغوري بيرلمان ، في عام 2003، حدسية بوانكاريه ، التي تنص على أن الكرة ثلاثية الأبعاد هي الفضاء ثلاثي الأبعاد الوحيد (حتى التشاكل الموضعي ) الذي يتمتع بهذه الخصائص.

الكرة ثلاثية الأبعاد متماثلة طوبولوجياً مع التكثيف أحادي النقطة لـ $R³$ . وبشكل عام، يُطلق على أي $فضاء$ طوبولوجي متماثل طوبولوجياً مع الكرة ثلاثية الأبعاد اسم الكرة ثلاثية الأبعاد الطوبولوجية .

مجموعات التماثل للكرة ثلاثية الأبعاد هي كالتالي: $H₀ (S³, Z)$ و $H₃ (S³$ $,$ $Z$ $)$ دورية لانهائية ، بينما $Hᵢ ($ $S³$ $,$ $Z$ $)$ $=$ ${0}$ لجميع المؤشرات الأخرى $i$ . يُعرف أي فضاء طوبولوجي بهذه المجموعات باسم $كرة$ التماثل ثلاثية الأبعاد $.$ في البداية، $افترض$ بوانكاريه $أن$ جميع كرات التماثل ثلاثية الأبعاد متماثلة مع $S³ ،$ لكنه أنشأ لاحقًا كرة غير متماثلة، تُعرف الآن باسم كرة بوانكاريه للتماثل . من المعروف الآن وجود عدد لا نهائي من كرات التماثل. على سبيل المثال، يُعطي ملء دين ذو ميل $1 / n$ على أي عقدة في الكرة ثلاثية الأبعاد كرة تماثل؛ وعادةً $ما$ $تكون$ هذه الكرات غير متماثلة مع الكرة ثلاثية الأبعاد.

بالنسبة لمجموعات التماثل ، لدينا $π₁ (S₃) = π₂ (S₃) = 0، و$ π₃ $( S₃) دورية$ لانهائية. جميع مجموعات التماثل العليا ( $k \geq 4$ $)$ هي $مجموعات$ تبديلية منتهية، $ولكنها لا تتبع نمطًا واضحًا فيما عدا ذلك. لمزيد من التفاصيل$ $،$ انظر مجموعات تماثل الكرات .

مجموعات التماثل لـ $S 3$
$ك$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$π k (S 3)$	0	0	0	$Z$	$Z 2$	$Z 2$	$Z 12$	$Z 2$	$Z 2$	$Z 3$	$Z 15$	$Z 2$	$Z 2 \oplus Z 2$	$Z 12 \oplus Z 2$	$Z 84 \oplus Z 2 \oplus Z 2$	$Z 2 \oplus Z 2$	$Z 6$

الخصائص الهندسية

الكرة ثلاثية الأبعاد هي بطبيعتها فضاء أملس ، بل هي فضاء فرعي مغلق $مُضمّن$ في الفضاء $R⁴$ . يُولّد المقياس الإقليدي على $R⁴$ مقياسًا على الكرة ثلاثية الأبعاد، مما يُكسبها بنية $فضاء$ ريماني . وكما هو $الحال$ مع جميع الكرات، فإن للكرة ثلاثية الأبعاد انحناءً قطاعيًا موجبًا ثابتًا يساوي $1$ $/$ $r²$ $،$ $حيث$ $r$ هو نصف القطر.

ينبع جزء كبير من الهندسة المثيرة للاهتمام للكرة ثلاثية الأبعاد من حقيقة أن هذه الكرة تمتلك بنية زمرة لي طبيعية تُعطى بضرب الكواترنيونات (انظر القسم أدناه حول بنية الزمرة ). الكرات الأخرى الوحيدة التي تمتلك مثل هذه البنية هي الكرة الصفرية والكرة الأحادية (انظر زمرة الدائرة ).

على عكس الكرة ثنائية الأبعاد، تقبل الكرة ثلاثية الأبعاد حقولًا متجهة غير معدومة ( مقاطع من حزمة المماس الخاصة بها ). بل يمكن إيجاد ثلاثة حقول متجهة مستقلة خطيًا وغير معدومة. يمكن اعتبار هذه الحقول أي حقول متجهة ثابتة من اليسار تُشكل أساسًا لجبر لي للكرة ثلاثية الأبعاد. هذا يعني أن الكرة ثلاثية الأبعاد قابلة للتوازي . ويترتب على ذلك أن حزمة المماس للكرة ثلاثية الأبعاد تافهة . لمناقشة عامة حول عدد الحقول المتجهة المستقلة خطيًا على كرة من الرتبة $n$ ، انظر مقالة " الحقول المتجهة على الكرات" .

يوجد تأثير مثير للاهتمام لمجموعة الدائرة $T$ على $S³ ، حيث يمنح الكرة ثلاثية$ $الأبعاد$ بنية حزمة دائرة رئيسية تُعرف باسم حزمة هوبف . إذا اعتبرنا $S³$ مجموعة جزئية من $C² ،$ $فإن$ هذا التأثير يُعطى بواسطة

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T}

.

فضاء المدار لهذا الفعل متماثل مع الكرة الثنائية $S 2.$ وبما أن $S 3$ ليس متماثلاً مع $S 2 \times S 1$ ، فإن حزمة هوبف غير تافهة.

البناء الطوبولوجي

توجد عدة طرق معروفة لإنشاء الكرة الثلاثية. هنا نصف عملية لصق زوج من الكرات الثلاثية، ثم عملية التكثيف بنقطة واحدة.

اللصق

يمكن إنشاء كرة ثلاثية الأبعاد طوبولوجيًا عن طريق "لصق" حدود زوج من الكرات ثلاثية الأبعاد . حدود الكرة ثلاثية الأبعاد هي كرة ثنائية الأبعاد، ويجب تحديد هاتين الكرتين الثنائيتين. أي، تخيل زوجًا من الكرات ثلاثية الأبعاد من نفس الحجم، ثم قم بتراكبهما بحيث تتطابق حدودهما الكروية الثنائية، ولتكن أزواج النقاط المتطابقة على زوج الكرات الثنائية متكافئة تمامًا. قياسًا على حالة الكرة الثنائية الأبعاد (انظر أدناه)، يُطلق على سطح اللصق اسم الكرة الاستوائية.

لاحظ أن الأسطح الداخلية للكرات الثلاث غير ملتصقة ببعضها. يمكن تصور البعد الرابع كدالة حقيقية متصلة للإحداثيات ثلاثية الأبعاد للكرات الثلاث، والتي يمكن اعتبارها "درجة الحرارة". نفترض أن "درجة الحرارة" تساوي صفرًا على طول الكرة ثنائية الأبعاد الملتصقة، ونجعل إحدى الكرات الثلاث "ساخنة" والأخرى "باردة". يمكن اعتبار الكرة "الساخنة" بمثابة "نصف الكرة العلوي"، والكرة "الباردة" بمثابة "نصف الكرة السفلي". تكون درجة الحرارة أعلى/أدنى ما يمكن عند مركزي الكرتين.

هذا البناء مشابه لبناء كرة ثنائية الأبعاد، يتم عن طريق لصق حدود قرصين. القرص هو كرة ثنائية الأبعاد، وحدوده دائرة (كرة أحادية الأبعاد). لنفترض أن القرصين لهما نفس القطر. نضعهما فوق بعضهما ونلصق النقاط المتناظرة على حدودهما. يمكن اعتبار البعد الثالث بمثابة درجة الحرارة. وبالمثل، يمكننا نفخ الكرة ثنائية الأبعاد، بتحريك القرصين ليصبحا نصفي الكرة الشمالي والجنوبي.

ضغط أحادي النقطة

بعد إزالة نقطة واحدة من الكرة ثنائية الأبعاد، يتبقى شكل متماثل مع المستوى الإقليدي. وبالمثل، تؤدي إزالة نقطة واحدة من الكرة ثلاثية الأبعاد إلى ظهور الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومن الطرق المفيدة للغاية لرؤية ذلك الإسقاط المجسم . سنبدأ بوصف النسخة ذات الأبعاد الأقل.

ضع القطب الجنوبي لكرة ثنائية الأبعاد على المستوى $xy$ في الفضاء ثلاثي الأبعاد. نسقط نقطة $P$ من الكرة (بعد استبعاد القطب الشمالي $N$ ) على المستوى بإرسال $P$ إلى نقطة تقاطع الخط $NP$ مع المستوى. وبالمثل، يُسقط الإسقاط المجسم للكرة ثلاثية الأبعاد (بعد استبعاد القطب الشمالي) على الفضاء ثلاثي الأبعاد بنفس الطريقة. (لاحظ أنه بما أن الإسقاط المجسم متطابق ، فإن الكرات المستديرة تُسقط على كرات مستديرة أو على مستويات).

ثمة طريقة أخرى لفهم التكثيف بنقطة واحدة، وهي من خلال التحويل الأسي . بالعودة إلى تصورنا للكرة الثنائية ذات الوحدة الواقعة على المستوى الإقليدي: لنفترض وجود خط جيوديسي في المستوى، مركزه نقطة الأصل، ونحوله إلى خط جيوديسي في الكرة الثنائية بنفس الطول، مركزه القطب الجنوبي. بموجب هذا التحويل ، تُرسل جميع نقاط الدائرة التي نصف قطرها $π إلى القطب الشمالي. وبما أن$ القرص المفتوح ذو الوحدة متماثل الشكل مع المستوى الإقليدي، فإن هذا يُعدّ تكثيفًا بنقطة واحدة.

يتم إنشاء الخريطة الأسية للكرة ثلاثية الأبعاد بشكل مشابه؛ ويمكن أيضًا مناقشتها باستخدام حقيقة أن الكرة ثلاثية الأبعاد هي مجموعة لي للرباعيات الوحدوية.

أنظمة الإحداثيات على الكرة ثلاثية الأبعاد

تُعدّ الإحداثيات الإقليدية الأربعة للفضاء $S³$ $زائدة عن$ $الحاجة$ $،$ $إذ تخضع جميعها$ للشرط $x₀² + x₁² + x₂² + x₃² = 1.$ وباعتباره فضاءً متعدد الأبعاد، يُفترض أن يكون بالإمكان تمثيل $S³$ $بثلاث$ $إحداثيات ،$ تمامًا كما يُمكن تمثيل الكرة ثنائية الأبعاد بإحداثيتين (مثل خط العرض وخط الطول ). ونظرًا لطبيعة S³ الطوبولوجية غير التافهة، $يستحيل$ $إيجاد$ مجموعة إحداثيات واحدة تُغطي الفضاء بأكمله. وكما هو الحال في الكرة ثنائية الأبعاد، يجب استخدام $مخططين$ $إحداثيين$ على الأقل . وفيما يلي بعض الخيارات المختلفة للإحداثيات.

إحداثيات كروية فائقة

$من الملائم استخدام$ نوع من الإحداثيات فائقة الكروية على $S3$ قياسًا على الإحداثيات الكروية $المعتادة$ على $S2$ . أحد هذه الخيارات - وهو ليس الخيار الوحيد - هو استخدام $(ψ, θ, φ)$ ، حيث

{\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}

حيث تتراوح قيم $ψ$ و $θ بين 0 و$ $π$ ، وتتراوح قيمة $φ بين 0 و$ $2π$ . لاحظ أنه لأي قيمة ثابتة لـ $ψ$ ، $فإن θ$ و $φ$ تمثلان كرة ثنائية الأبعاد نصف قطرها $r\sin \psi$ ، باستثناء الحالات المنحرفة، عندما تكون $قيمة ψ$ تساوي 0 أو $π$ ، وفي هذه الحالة تصف نقطة.

يتم إعطاء المقياس الدائري على الكرة ثلاثية الأبعاد في هذه الإحداثيات بواسطة ^{[ 2 ]}

ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]

وشكل الحجم بواسطة

dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .

تتميز هذه الإحداثيات بوصف أنيق باستخدام الكواترنيونات . يمكن كتابة أي كواترنيون وحدة $q على شكل$ متجه متجهي :

q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi

حيث $τ$ هو عدد رباعي تخيلي يساوي $1$ ؛ أي عدد رباعي يحقق المعادلة $τ² = -1$ . هذا هو النظير الرباعي لصيغة أويلر . الآن، تقع جميع الأعداد الرباعية التخيلية التي تساوي 1 على الكرة الثنائية الأبعاد في $Im H،$ لذا يمكن كتابة أي $عدد رباعي يحقق المعادلة التالية:$

\tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k

مع وجود $τ$ بهذا الشكل، يُعطى الكواترنيون الوحدوي $q بالصيغة التالية$

q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k

حيث $x 0,1,2,3$ كما هو موضح أعلاه.

عندما يتم استخدام $q$ لوصف الدورانات المكانية (انظر الرباعيات والدورانات المكانية )، فإنها تصف دورانًا حول $τ$ بزاوية $2 ψ$ .

إحداثيات هوبف

$بالنسبة لنصف قطر الوحدة ،$ يُستخدم اختيار آخر للإحداثيات الكروية الفائقة، $($ $η, ξ₁, ξ₂) ،$ $للاستفادة$ $من$ تضمين $S₃$ في $C₂ .$ في الإحداثيات المركبة $(z₁, z₂) \in C₂$ $،$ نكتب

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}

ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا في $R 4$ على النحو التالي

{\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}

هنا، $تتراوح$ قيمة $η بين 0 و$ π / 2 ، ويمكن أن تأخذ $ξ1$ و $ξ2$ أي قيم بين 0 و 2π $.$ هذه الإحداثيات مفيدة في وصف الكرة ثلاثية الأبعاد $كحزمة$ هوبف $.$

S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,

لأي قيمة ثابتة لـ $η$ بين 0 و π / 2 ، تُحدد الإحداثيات $($ $ξ1$ $،$ $ξ2$ $)$ سطحًا حلقيًا $ثنائي$ الأبعاد $.$ تُشكل الحلقات ذات القيم الثابتة $ξ1$ $و ξ2$ $المذكورة$ $أعلاه$ شبكات $متعامدة$ $بسيطة$ على الأسطح الحلقية. انظر الصورة إلى اليمين. في الحالات المُختزلة، عندما تساوي $η صفرًا أو$ π / 2 ، تصف هذه الإحداثيات دائرة .

يُعطى المقياس الدائري على الكرة ثلاثية الأبعاد في هذه الإحداثيات بواسطة

ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}

وشكل الحجم بواسطة

dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.

للحصول على الدوائر المتشابكة لتليف هوبف ، قم بإجراء استبدال بسيط في المعادلات أعلاه ^{[ 3 ].}

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}

في هذه الحالة ، تحدد $η$ و $ξ 1$ الدائرة، بينما تحدد $ξ 2$ الموضع على طول كل دائرة. دورة واحدة (من 0 إلى 2π $)$ لـ $ξ 1$ أو $ξ 2$ تعادل دورة كاملة للسطح الحلقي في الاتجاهين المعنيين.

إحداثيات مجسمة

يمكن الحصول على مجموعة إحداثيات أخرى ملائمة عبر الإسقاط المجسم للمساحة $S³$ من أحد قطبيها على المستوى الاستوائي المقابل $R³ .$ على سبيل المثال، إذا أسقطنا من النقطة $(-1, 0, 0, 0)،$ $فيمكننا$ كتابة النقطة $p$ في $S³$ على النحو التالي $:$

p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}

حيث $u$ = $($ $u₁$ $,$ $u₂$ $,$ $u₃$ $)$ متجه في $R³$ $و$ ‖u‖² $=$ $u₁²$ $+$ $u₂²$ $+$ $u₃²$ $.$ $في$ المساواة الثانية $أعلاه$ $،$ عرّفنا $p$ بكواترنيون وحدة و $u$ $=$ $u₁ᵢ$ $+$ $u₂ⱼ$ $+$ $u₃ᵏ$ $كواترنيون$ $بحت .$ $($ $لاحظ أن البسط والمقام يتبادلان هنا على$ $الرغم$ $من$ $أن$ $ضرب$ $الكواترنيونات$ $غير$ $تبادلي$ $عمومًا$ $)$ $.$ $يأخذ$ معكوس $هذه$ $الدالة$ $p =$ $($ $x₀$ $,$ $x₁$ $,$ $x₂$ $,$ $x₃$ $)$ $في$ $S³$ $إلى$

\mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

كان بإمكاننا أيضاً الإسقاط من النقطة $(1، 0، 0، 0)$ ، وفي هذه الحالة تُعطى النقطة $p بواسطة$

p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}

حيث $v = (v1, v2, v3)$ هو متجه آخر في $R3$ $.$ $يأخذ$ معكوس هذه $الخريطة$ $p$ $إلى$

\mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

لاحظ أن إحداثيات $u$ مُعرَّفة في كل مكان ما عدا النقطة $($ $-1, 0, 0, 0)،$ وإحداثيات $v$ مُعرَّفة في كل مكان ما عدا النقطة $(1, 0, 0, 0)$ . يُعرِّف هذا أطلسًا على $S3$ يتكون من مخططين إحداثيين أو "رقعتين"، يُغطيان معًا كامل $S3$ . لاحظ أن دالة الانتقال بين هذين المخططين عند تداخلهما تُعطى بالصيغة التالية $:$

\mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u}

والعكس صحيح.

هيكل المجموعة

عند اعتبارها مجموعة الكواترنيونات الوحدوية ، ترث $S3$ بنيةً مهمة، ألا وهي بنية الضرب الكواترنيوني. ولأن مجموعة الكواترنيونات الوحدوية مغلقة تحت الضرب، فإن $S3$ $تتخذ$ بنية زمرة . علاوة على ذلك، ولأن الضرب الكواترنيوني سلس ، يمكن اعتبار S3 زمرة لي حقيقية $.$ وهي زمرة لي غير تبديلية ومتراصة ذات بُعد 3. وعند اعتبارها زمرة لي، $يُرمز$ إلى S3 غالبًا بـ Sp $($ $1$ $)$ أو $U(1,$ $H$ $)$ $.$

اتضح أن الكرات الوحيدة التي تقبل بنية زمرة لي هي $S1 ،$ التي تُعتبر مجموعة الأعداد المركبة الوحدوية ، و $S3 ،$ مجموعة الكواترنيونات الوحدوية (الحالة المنحلة $S0 ،$ التي تتكون من العددين الحقيقيين 1 و-1، هي أيضًا زمرة لي، وإن كانت ذات بُعد صفري). قد يظن المرء أن $S7$ $،$ مجموعة الأوكتونيونات الوحدوية ، ستشكل زمرة لي، لكن هذا غير صحيح لأن ضرب الأوكتونيونات غير تجميعي . تمنح البنية الأوكتونيونية $S7$ خاصية مهمة: $قابلية$ التوازي . اتضح أن الكرات الوحيدة $القابلة$ للتوازي $هي$ $S0 و$ S1 $و$ $S3$ و $S7$ $.$

باستخدام تمثيل مصفوفي للأعداد الرباعية، $H$ ، نحصل على تمثيل مصفوفي لـ $S 3.$ أحد الخيارات المناسبة هو مصفوفات باولي :

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

تُعطي هذه الخريطة تشاكلاً جبرياً أحادياً من $H$ إلى مجموعة المصفوفات المركبة من الرتبة 2 × 2. وتتميز بأن القيمة المطلقة للرباعي $q$ تساوي الجذر التربيعي لمحدد صورة المصفوفة $q$ .

تُعطى مجموعة الكواترنيونات الوحدوية بمصفوفات من الشكل المذكور أعلاه ذات محدد يساوي واحدًا. هذه المجموعة الفرعية من المصفوفات هي تحديدًا المجموعة الوحدوية الخاصة $SU(2)$ . وبالتالي، $فإن$ $S3$ كمجموعة لي متماثلة مع $SU(2)$ .

باستخدام إحداثيات هوبف $(η ، ξ1 ، ξ2) ،$ يمكننا كتابة أي عنصر من $SU(2)$ على الصورة التالية $:$

{\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.

هناك طريقة أخرى لصياغة هذه النتيجة، وهي التعبير عن التمثيل المصفوفي لعنصر من $SU(2)$ كدالة أسية لمجموعة خطية من مصفوفات باولي. يتضح أنه يمكن كتابة أي عنصر $U \in SU(2) على النحو التالي:$

U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\right).

^{[ 4 ]}

الشرط الذي يجعل محدد $U$ هو +1 يعني أن المعاملات $α 1$ مقيدة بالوقوع على كرة ثلاثية الأبعاد.

في الأدب

في كتاب فلاتلاند لإدوين أبوت أبوت ، الذي نُشر عام 1884، وفي كتاب سفيرلاند ، وهو تكملة لكتاب فلاتلاند عام 1965 من تأليف ديونيس برجر ، يُشار إلى الكرة الثلاثية باسم الكرة العلوية ، ويُشار إلى الكرة الرباعية باسم الكرة الفائقة .

في مقال نُشر في المجلة الأمريكية للفيزياء ، ^{[ 5 ]} يصف مارك أ. بيترسون ثلاث طرق مختلفة لتصور الكرات ثلاثية الأبعاد، ويشير إلى لغة في الكوميديا الإلهية توحي بأن دانتي نظر إلى الكون بالطريقة نفسها؛ ويؤيد كارلو روفيللي الفكرة نفسها. ^{[ 6 ]}

في كتاب "الفن يلتقي الرياضيات في البعد الرابع" ، ^{[ 7 ]} يقوم ستيفن إل. ليبسكومب بتطوير مفهوم أبعاد الكرة الفائقة وعلاقتها بالفن والهندسة المعمارية والرياضيات.

انظر أيضاً

مراجع

^ لوميتر، جورج (1948). "Quaternions et espace elliptique". اكتا . 12 . الأكاديمية البابوية للعلوم : 57- 78.
↑ لاندو، ليف د .؛ ليفشيتز، يفغيني م. (1988). النظرية الكلاسيكية للحقول . سلسلة الفيزياء النظرية . المجلد 2 (الفصل 14 حول علم الكونيات النسبي) ( الطبعة السابعة). موسكو: ناوكا . ص 385. ISBN 978-5-02-014420-0.
↑ بانشوف، توماس. "الحلقة المسطحة في الكرة الثلاثية" .
↑ شفيتشتنبرغ، جاكوب (2015). الفيزياء من منظور التناظر . تشام: سبرينغر. ISBN 978-3-319-19201-7. OCLC 910917227 .
↑ بيترسون، مارك أ. (1979). "دانتي والكرة ثلاثية الأبعاد" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 47 (12): 1031-1035 . Bibcode : 1979AmJPh..47.1031P . doi : 10.1119/1.11968 .{{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
↑ روفيلي، كارلو (9 سبتمبر 2021). النسبية العامة: الأساسيات . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-00-901369-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 سبتمبر 2021 .
↑ ليبسكومب، ستيفن (2014). الفن يلتقي بالرياضيات في البعد الرابع ( الطبعة الثانية). برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-319-06254-9. OCLC 893872366 .

للمزيد من القراءة

هندرسون، ديفيد و. (2001). "الفصل 20: الكرات ثلاثية الأبعاد والفضاءات الزائدية ثلاثية الأبعاد". تجربة الهندسة: في الفضاءات الإقليدية والكروية والزائدية ( الطبعة الثانية). برنتيس هول. مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-06-2018.
ويكس، جيفري ر. (1985). "الفصل 14: الكرة الفائقة". شكل الفضاء: كيفية تصور الأسطح والمتشعبات ثلاثية الأبعاد . تنبيه بشأن المصطلحات: تُعرَّف كرتنا الثنائية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، حيث تمثل حدود كرة ثلاثية الأبعاد. هذا المصطلح شائع بين علماء الرياضيات، ولكنه غير شائع بين علماء الفيزياء. لذا، لا تستغرب إذا وجدت من يُطلق على الكرة الثنائية اسم الكرة الثلاثية.
زامبوج، ميخال (8 يناير 2021). "البناء التركيبي لتليف هوبف في إسقاط متعامد مزدوج للفضاء الرباعي". مجلة التصميم والهندسة الحاسوبية . 8 (3): 836-854 . arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "الكرة الفائقة" . عالم الرياضيات .ملاحظة : تستخدم هذه المقالة نظام التسمية البديل للكرات حيث تُسمى الكرة في الفضاء ذي الأبعاد $n بالكرة$ $n$ -sphere.

[1] لوميتر، جورج (1948). "Quaternions et espace elliptique". اكتا . 12 . الأكاديمية البابوية للعلوم : 57- 78.

[2] لاندو، ليف د .؛ ليفشيتز، يفغيني م. (1988). النظرية الكلاسيكية للحقول . سلسلة الفيزياء النظرية . المجلد 2 (الفصل 14 حول علم الكونيات النسبي) ( الطبعة السابعة). موسكو: ناوكا . ص 385. ISBN 978-5-02-014420-0.

[3] بانشوف، توماس. "الحلقة المسطحة في الكرة الثلاثية" .

[4] شفيتشتنبرغ، جاكوب (2015). الفيزياء من منظور التناظر . تشام: سبرينغر. ISBN 978-3-319-19201-7. OCLC 910917227 .

[5] بيترسون، مارك أ. (1979). "دانتي والكرة ثلاثية الأبعاد" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 47 (12): 1031-1035 . Bibcode : 1979AmJPh..47.1031P . doi : 10.1119/1.11968 .{{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )

[6] روفيلي، كارلو (9 سبتمبر 2021). النسبية العامة: الأساسيات . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-00-901369-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 سبتمبر 2021 .

[7] ليبسكومب، ستيفن (2014). الفن يلتقي بالرياضيات في البعد الرابع ( الطبعة الثانية). برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-319-06254-9. OCLC 893872366 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ].

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]