فرط الوظيفة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ الدوال الفائقة تعميمات للدوال، حيث تمثل "قفزة" من دالة تحليلية إلى أخرى عند حدود معينة، ويمكن اعتبارها بشكل غير رسمي توزيعات ذات رتبة لانهائية. وقد قدّم ميكيو ساتو مفهوم الدوال الفائقة عام 1958 باللغة اليابانية (وعامي 1959 و 1960 باللغة الإنجليزية)، مستندًا إلى أعمال سابقة للوران شوارتز وغروتينديك وآخرين.

التركيبة

يمكن تصور الدالة الفائقة على خط الأعداد الحقيقية على أنها "الفرق" بين دالة تحليلية معرفة على النصف العلوي من المستوى المركب وأخرى على النصف السفلي. أي أن الدالة الفائقة تُحدد بزوج ( f , g )، حيث f دالة تحليلية على النصف العلوي من المستوى المركب و g دالة تحليلية على النصف السفلي. 

بشكل غير رسمي، الدالة الفائقة هي ما يُحدث الفرقو-ز{\displaystyle fg}سيكون ذلك على خط الأعداد الحقيقية نفسه. لا يتأثر هذا الاختلاف بإضافة نفس الدالة التحليلية إلى كل من f و g ، لذلك إذا كانت h دالة تحليلية على كامل المستوى المركب ، فإن الدالتين الفائقتين ( f , g ) و ( f + h , g + h ) تُعرَّفان على أنهما متكافئتان.      

التعريف في بُعد واحد

يمكن تطبيق هذا الدافع بشكل ملموس باستخدام أفكار من علم التماثل الحزمي . لنفترضيا{\displaystyle {\mathcal {O}}}ليكن حزمة الدوال الهولومورفية علىج.{\displaystyle \mathbb {C} .}عرّف الدوال الفائقة على الخط الحقيقي على أنها مجموعة التماثل المحلي الأول :

ب(R)=حR1(ج،يا).{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}

بشكل ملموس، دعج+{\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}وج-{\displaystyle \mathbb {C} ^{-}}ليكن النصف العلوي من المستوى والنصف السفلي منه على التوالي. ثمج+∪ج-=ج∖R{\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }لذا

حR1(ج،يا)=[ح0(ج+،يا)⊕ح0(ج-،يا)]/ح0(ج،يا).{\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}

بما أن مجموعة التماثل الصفري لأي حزمة هي ببساطة المقاطع العالمية لتلك الحزمة، فإننا نرى أن الدالة الفائقة هي زوج من الدوال الهولومورفية، واحدة على كل من نصف المستوى المركب العلوي والسفلي modulo الدوال الهولومورفية الكاملة.

وبشكل أعم، يمكن للمرء أن يُعرّفب(يو){\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}لأي مجموعة مفتوحةيو⊆R{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }كحاصل القسمةح0(يو~∖يو،يا)/ح0(يو~،يا){\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})}أينيو~⊆ج{\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} }أي مجموعة مفتوحة تحتوي علىيو~∩R=يو{\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}يمكن إثبات أن هذا التعريف لا يعتمد على اختياريو~{\displaystyle {\tilde {U}}}مما يعطي سببًا آخر للتفكير في الدوال الفائقة على أنها "قيم حدية" للدوال الهولومورفية.

أمثلة

  • إذا كانت f أي دالة هولومورفية على المستوى المركب بأكمله، فإن تقييد f على المحور الحقيقي هو دالة فائقة، ممثلة إما بـ ( f ,  0) أو (0,  −f ) .
  • يمكن تمثيل دالة هيفسايد المتدرجة على النحو التالي:ح(x)=(1-12πأناسجل⁡(z)،-12πأناسجل⁡(z)).{\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)\right).}أينسجل⁡(z){\displaystyle \log(z)}هي القيمة الرئيسية للوغاريتم المركب لـ z .
  • يتم تمثيل دالة ديراك دلتا بواسطة(12πأناz،12πأناz).{\displaystyle \left({\dfrac {1}{2\pi iz}},{\dfrac {1}{2\pi iz}}\right).}هذه في الواقع إعادة صياغة لصيغة كوشي التكاملية . وللتحقق منها، يمكن حساب تكامل الدالة f أسفل خط الأعداد الحقيقية مباشرةً، وطرح تكامل الدالة g أعلى خط الأعداد الحقيقية مباشرةً - من اليسار إلى اليمين. تجدر الإشارة إلى أن الدالة الفائقة قد تكون غير تافهة، حتى لو كانت مكوناتها امتدادًا تحليليًا للدالة نفسها. ويمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق اشتقاق دالة هيفسايد.
  • إذا كانت g دالة متصلة (أو بشكل أعم توزيعًا ) على خط الأعداد الحقيقية ذات مجال محصور في فترة محدودة I ، فإن g تُقابل الدالة الفائقة ( f ,  -f ) ، حيث f دالة تحليلية على متممة I معرفة بـو(z)=12πأنا∫x∈أناز(x)1z-xدx.{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{zx}}\,dx.}تتغير قيمة الدالة f بمقدار g ( x ) عند عبورها المحور الحقيقي عند النقطة x . وتُستنتج صيغة f من المثال السابق بكتابة g على أنها التفاف نفسها مع دالة ديراك دلتا.
  • باستخدام تجزئة الوحدة، يمكن كتابة أي دالة متصلة (توزيع) كمجموع محلي محدود لدوال (توزيعات) ذات دعم مضغوط. ويمكن استغلال ذلك لتوسيع التضمين المذكور أعلاه إلى تضميند′(R)→ب(R).{\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}
  • إذا كانت f أي دالة تامة الشكل في كل مكان باستثناء نقطة تفرد أساسية عند الصفر (على سبيل المثال، e 1/ z )، فإن(و،-و){\displaystyle (f,-f)}هي دالة فائقة ذات دعم 0 وليست توزيعًا. إذا كان لـ f قطب من رتبة محدودة عند 0، فإن(و،-و){\displaystyle (f,-f)}هي دالة توزيع، لذا عندما يكون للدالة f نقطة تفرد أساسية فإن(و،-و){\displaystyle (f,-f)}يبدو وكأنه "توزيع ذو رتبة لانهائية" عند 0. (لاحظ أن التوزيعات دائمًا ما تكون ذات رتبة محدودة عند أي نقطة.)

العمليات على الدوال الفائقة

يتركيو⊆R{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }ليكن أي مجموعة جزئية مفتوحة.

  • بحسب التعريفب(يو){\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}هو فضاء متجهي تكون فيه عمليتا الجمع والضرب مع الأعداد المركبة معرفتين جيدًا. وبالتحديد:أ(و+،و-)+ب(ز+،ز-):=(أو++بز+،أو-+بز-){\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})}
  • تتحول خرائط التقييد الواضحةب{\displaystyle {\mathcal {B}}}إلى حزمة (وهي في الواقع مترهلة ).
  • الضرب باستخدام الدوال التحليلية الحقيقيةح∈يا(يو){\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)}والتمايز محددان جيداً:ح(و+،و-):=(حو+،حو-)ددz(و+،و-):=(دو+دz،دو-دz){\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}مع هذه التعريفاتب(يو){\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}يتحول إلى وحدة D والتضميند′↪ب{\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}هو شكل من أشكال الوحدات النمطية D.
  • نقطةأ∈يو{\displaystyle a\in U}تُسمى نقطة هولومورفيةو∈ب(يو){\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)}لوو{\displaystyle f}يقتصر على دالة تحليلية حقيقية في جوار صغير منأ.{\displaystyle a.}لوأ⩽ب{\displaystyle a\leqslant b}إذا كانت نقطتين هولومورفيتين، فإن التكامل يكون معرفًا جيدًا:∫أبو:=-∫γ+و+(z)دz+∫γ-و-(z)دz{\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz}أينγ±:[0،1]→ج±{\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}هي منحنيات عشوائية معγ±(0)=أ،γ±(1)=ب.{\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}تكون التكاملات مستقلة عن اختيار هذه المنحنيات لأن النصف العلوي والسفلي من المستوى متصلان ببساطة .
  • يتركبج(يو){\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{c}}(U)}ليكن فضاء الدوال الفائقة ذات الدعم المضغوط. عبر الشكل الثنائي الخطي{بج(يو)×يا(يو)→ج(و،φ)↦∫و⋅φ{\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{\text{c}}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}}يُربط بكل دالة فائقة ذات دعم مضغوط دالة خطية متصلة علىيا(يو).{\displaystyle {\mathcal {O}}(U).}وهذا يؤدي إلى تحديد الفضاء الثنائي ،يا′(يو)،{\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),}معبج(يو).{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{c}}(U).}من الحالات الخاصة التي تستحق الدراسة حالة الدوال أو التوزيعات المتصلة ذات الدعم المحدود: إذا نظرنا إلىجج0(يو){\displaystyle C_{\text{c}}^{0}(U)}(أوهـ′(يو){\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}) كمجموعة فرعية منب(يو){\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}باستخدام التضمين المذكور أعلاه، يتم حساب تكامل ليبيغ التقليدي بدقة. علاوة على ذلك: إذاu∈هـ′(يو){\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}هو توزيع ذو دعم مضغوط،φ∈يا(يو){\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}هي دالة تحليلية حقيقية، ومكمل غذائي⁡(u)⊂(أ،ب){\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)}ثم∫أبu⋅φ=⟨u،φ⟩.{\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .}وبالتالي فإن مفهوم التكامل هذا يعطي معنى دقيقاً للتعبيرات الرسمية مثل∫أبدلتا(x)دx{\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx}وهي غير مُعرَّفة بالمعنى المعتاد. علاوة على ذلك: لأن الدوال التحليلية الحقيقية كثيفة فيهـ(يو)،هـ′(يو){\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}هو فضاء جزئي منيا′(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}هذا وصف بديل لنفس التضمينهـ′↪ب{\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}.
  • لوΦ:يو→V{\displaystyle \Phi :U\to V}هي خريطة تحليلية حقيقية بين مجموعات مفتوحة منR{\displaystyle \mathbb {R} }ثم التركيب معΦ{\displaystyle \Phi }هو عامل محدد جيدًا منب(V){\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}لب(يو){\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}:و∘Φ:=(و+∘Φ،و-∘Φ){\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}

انظر أيضاً

مراجع