الحساب الترتيبي

في مجال نظرية المجموعات الرياضية ، يشمل الحساب الترتيبي العمليات الثنائية على الأعداد الترتيبية ، مثل الجمع والضرب والرفع إلى الأسس. ويمكن تعريف كل عملية بطريقتين مختلفتين: إما بإنشاء مجموعة مرتبة ترتيبًا صحيحًا تمثل نتيجة العملية، أو باستخدام الاستدعاء الذاتي المتسامي . إضافةً إلى هذه العمليات القياسية للأعداد الترتيبية، توجد أيضًا العمليات الحسابية "الطبيعية" ، والتي تُوصف عادةً باستخدام الصيغة المعيارية لكانتور للأعداد الترتيبية، وعمليات الأعداد .

خلفية

الأعداد الترتيبية تشبه الأعداد العددية ${0، 1، 2، ...}$ ولكنها تمتد إلى ما لا نهاية $ω$ وما بعدها $ω + 1، ω + 2، ...، ω + ω ، ω + ω + 1، ...$ . العمليات الحسابية القياسية والعمليات الحسابية الطبيعية على الأعداد الترتيبية المنتهية هي نفسها العمليات المقابلة على الأعداد العددية، لكن العمليات الحسابية على الأعداد الترتيبية غير المنتهية أكثر تعقيدًا.

إضافة

مجموع مجموعتين مرتبتين جيدًا $S$ و $T$ هو الترتيب الذي يمثل شكل الترتيب المعجمي حيث يكون العنصر الأقل أهمية أولًا، وذلك على اتحاد حاصل الضرب الديكارتي $S \times {0}$ و $T \times {1}$ . وبهذه الطريقة، يكون كل عنصر من $S$ أصغر من كل عنصر من $T$ ، وتحافظ المقارنات داخل $S$ على ترتيبها الأصلي، وكذلك المقارنات داخل $T.$

يمكن تعريف عملية جمع الأعداد الترتيبية $α + β$ أيضًا باستخدام الاستدعاء الذاتي المتسامي على $β$ . عندما يكون الحد المضاف الأيمن $β = 0$ ، فإن عملية الجمع تعطي $α + 0 = α$ لأي قيمة لـ $α$ . أما عندما $تكون β > 0$ ، فإن قيمة $α + β$ هي أصغر عدد ترتيبي أكبر تمامًا من مجموع $α$ و $δ$ لجميع $قيم δ < β$ . كتابة حالات الأعداد الترتيبية اللاحقة والنهائية بشكل منفصل:

$α + 0 = α$
$α + S (β) = S (α + β)$ ، حيثتشير $S إلى الوظيفة$ اللاحقة .
$\bigcup _{\delta <\beta }$ عندما تكون $β$ نهاية ترتيبية .

الجمع الترتيبي للأعداد الطبيعية هو نفسه الجمع القياسي. أول عدد ترتيبي متجاوز هو $ω$ ، وهي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، يليه $ω + 1$ ، $ω + 2$ ، وهكذا. يُحصل على العدد الترتيبي $ω + ω$ بنسختين من الأعداد الطبيعية مرتبة بالطريقة المعتادة، مع وضع النسخة الثانية على يمين الأولى تمامًا. بكتابة $0' < 1' < 2' < ...$ للنسخة الثانية، يصبح شكل $ω + ω كما يلي:$

٠ < ١ < ٢ < ٣ < ... < ٠' < ١' < ٢' < ...

يختلف هذا عن $ω$ لأنه في $ω$ فقط ليس للعنصر $0 سلف مباشر، بينما في$ $ω + ω$ لا يوجد للعنصرين $0$ و $0' أسلاف مباشرة.$

ملكيات

الجمع الترتيبي، بشكل عام، ليس تبادليًا . على سبيل المثال، $3 + ω = ω$ لأن علاقة الترتيب لـ $3 + ω$ هي $0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...$ ، والتي يمكن إعادة تسميتها إلى $ω$ . في المقابل $، ω + 3$ لا يساوي $ω$ لأن علاقة الترتيب $0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'$ لها عنصر أكبر (وهو $2'$ )، بينما $ω$ لا يملك عنصرًا أكبر ( $ω$ و $ω + 3$ متساويي القوة ، لكنهما ليسا متماثلين في الترتيب ).

الإضافة الترتيبية لا تزال ترابطية ؛ يمكن للمرء أن يرى على سبيل المثال أن $(ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω$ .

الجمع متزايد تمامًا ومستمر في المتغير الصحيح:

α < β \Rightarrow γ + α < γ + β

لكن العلاقة المماثلة لا تنطبق على الحجة اليسرى؛ بل لدينا فقط:

α < β \Rightarrow α + γ \geq β + γ

الجمع الترتيبي عملية اختزال من اليسار : إذا كان $α + β = α + γ$ ، فإن $β = γ$ . علاوة على ذلك، يمكن تعريف الطرح من اليسار للأعداد الترتيبية $β \leq α$ : يوجد عدد $γ$ وحيد بحيث يكون $α = β + γ$ . من ناحية أخرى، لا يمكن تطبيق الاختزال من اليمين.

3 + ω = 0 + ω = ω

لكن

3 \neq 0

ولا ينطبق الطرح من اليمين، حتى عندما يكون $β \leq α$ : على سبيل المثال، لا يوجد أي $γ$ بحيث يكون $γ + 42 = ω$ .

إذا كانت الأعداد الترتيبية الأقل من $α$ مغلقة تحت عملية الجمع وتحتوي على $الصفر$ ، فإن $α$ يُطلق عليها أحيانًا اسم عدد $γ$ (انظر: العدد الترتيبي غير القابل للتحليل الجمعي ). وهذه هي تحديدًا الأعداد الترتيبية من الشكل $ω$ $β$ .

الضرب

الاتحاد المنفصل

{ (n,0) : n \in N} \cup { (n,1) : n \in N}

، باستخدام الترتيب المعجمي مع وضع الموضع الأقل أهمية أولاً، له نوع الترتيب

ω \cdot 2.

وهذا يختلف عن

ω

.

المجموعة

{(0, n), (1, n) : n \in N}

، تحت الترتيب المعجمي مع وضع أقل موضع أهمية أولاً ، لها نوع الترتيب

2 \cdot ω

، وهو يساوي

ω

.

يمكن إعادة ترتيب حاصل الضرب الديكارتي ، S $\times T ،$ لمجموعتين مرتبتين جيدًا $S$ و $T ، ترتيبًا جيدًا باستخدام$ صيغة معجمية تضع العنصر الأقل أهمية في البداية. عمليًا، يُستبدل كل عنصر من $T$ بنسخة منفصلة من S. $نوع$ ترتيب حاصل الضرب الديكارتي هو الترتيب الناتج عن ضرب نوعي ترتيب $S$ و $T.$

يمكن تعريف ضرب الأعداد الترتيبية أيضًا من خلال الاستدعاء الذاتي المتسامي على $β$ . عندما يكون العامل الأيمن $β = 0$ ، فإن الضرب يعطي $α \cdot 0 = 0$ لأي قيمة لـ $α$ . أما عندما يكون $β > 0$ ، فإن قيمة $α \cdot β$ هي أصغر عدد ترتيبي أكبر من أو يساوي $(α \cdot δ) + α$ لجميع $قيم δ < β$ . كتابة حالات الأعداد الترتيبية اللاحقة والنهائية بشكل منفصل:

$α \cdot 0 = 0$ .
$α \cdot S (β) = (α \cdot β) + α$ , للترتيب التالي $S (β)$ .
$\bigcup _{\delta <\beta }$ ، عندما تكون $β$ نهاية ترتيبية.

كمثال على ذلك، إليك علاقة الترتيب لـ $ω \cdot 2$ :

00 < 1 0 < 2 0 < 3 0 < ...

< 0 1 < 1 1 < 2 1 < 3 1 < ...

,

والتي لها نفس نوع الترتيب مثل $ω + ω$ . في المقابل، تبدو $2 \cdot ω$ على النحو التالي:

00 < 1 0 < 0 1 < 1 1 < 0 2 < 1 2 < 0 3 < 1 3 < ...

وبعد إعادة التسمية، يبدو هذا تمامًا مثل $ω$ . وبالتالي، $فإن ω \cdot 2 = ω + ω \neq ω = 2 \cdot ω$ ، مما يدل على أن ضرب الأعداد الترتيبية ليس تبديليًا بشكل عام، انظر الصور.

كما هو الحال مع الجمع، فإن الضرب الترتيبي للأعداد الطبيعية هو نفسه الضرب القياسي.

ملكيات

$α \cdot 0 = 0 \cdot α = 0$ ، وخاصية المنتج الصفري تحمل: $α \cdot β = 0$ تعني $α = 0$ أو $β = 0$ . الرقم الترتيبي $1$ هو هوية ضربية، $α \cdot 1 = 1 \cdot α = α$ . الضرب عملية ترابطية $(α \cdot β) \cdot γ = α \cdot (β \cdot γ)$ . الضرب يتزايد بشكل صارم ومستمر في الوسيطة الصحيحة: ( $α < β$ و $γ > 0$ ) يتضمن $γ \cdot α < γ \cdot β$ . الضرب لا يزيد بشكل صارم في الوسيطة اليسرى، على سبيل المثال، $1 < 2$ لكن $1 \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ . ومع ذلك، فهي متزايدة (بشكل غير صارم)، أي $أن α \leq β$ يعني $α \cdot γ \leq β \cdot γ$ .

ضرب الأعداد الترتيبية ليس تبديليًا بشكل عام. تحديدًا، لا يتبادل أي عدد طبيعي أكبر من $1$ $مع$ أي عدد ترتيبي لانهائي، ويتبادل عددان ترتيبيان لانهائيان $α$ و $β$ إذا وفقط إذا كان $αm$ $= βn لبعض$ الأعداد الطبيعية غير الصفرية $m$ و $n$ . العلاقة " $α$ يتبادل مع $β$ " هي علاقة تكافؤ على الأعداد الترتيبية الأكبر من $1$ ، وجميع فئات التكافؤ لانهائية قابلة للعد.

التوزيع ثابت، على اليسار: $α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$ . ومع ذلك، فإن قانون التوزيع على اليمين $(β + γ) \cdot α = β \cdot α + γ \cdot α$ ليس صحيحًا بشكل عام: $(1 + 1) \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ بينما $1 \cdot ω + 1 \cdot ω = ω + ω$ ، وهو مختلف. يوجد قانون الإلغاء الأيسر : إذا $α > 0$ و $α \cdot β = α \cdot γ$ ، إذن $β = γ$ . لا ينطبق الإلغاء الصحيح، على سبيل المثال $1 \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ ، لكن $1$ و $2$ مختلفان. تتحقق خاصية القسمة من اليسار مع الباقي : لكل $α$ و $β$ ، إذا كان $β > 0$ ، فإنه يوجد $γ$ و $δ$ وحيدان بحيث يكون $α = β \cdot γ + δ$ و $δ < β$ . أما القسمة من اليمين فلا تتحقق: فلا يوجد $α$ بحيث يكون $α \cdot ω \leq ω أو ω \leq (α + 1) \cdot ω$ .

تشكل الأعداد الترتيبية شبه حلقة يسارية ، لكنها لا تشكل حلقة . لذا، فإن الأعداد الترتيبية ليست مجالًا إقليديًا ، لأنها ليست حلقة أصلًا؛ علاوة على ذلك، فإن "المعيار" الإقليدي سيكون ذا قيمة ترتيبية باستخدام القسمة اليسرى هنا.

العدد $δ$ (انظر: الأعداد الترتيبية غير القابلة للتحليل الجمعي § الأعداد الترتيبية غير القابلة للتحليل الضربي ) هو عدد ترتيبي $β$ أكبر من $1$ بحيث يكون $α \cdot β = β$ عندما $يكون 0 < α < β$ . ويتكون هذا العدد من العدد الترتيبي $2$ والأعداد الترتيبية من الشكل $β = ω ω γ$ .

الأس

يُمكن شرح تعريف الأسّية باستخدام أنواع الترتيب بسهولة أكبر من خلال تعريف فون نيومان للعدد الترتيبي باعتباره مجموعة جميع الأعداد الترتيبية الأصغر منه . ولإنشاء مجموعة من نوع الترتيب $α β$ ، نعتبر مجموعة جميع الدوال $f : β \to α$ التي تحقق $f (x) = 0$ لجميع عناصر $x \in β$ باستثناء عدد محدود منها (بمعنى آخر، نعتبر الدوال ذات الدعم المحدود ). تُرتّب هذه المجموعة ترتيبًا معجميًا بحيث يكون العنصر الأقل أهمية أولًا: أي نكتب $f < g$ إذا وفقط إذا كان $f (x) < g (x)$ للقيمة $x = max{y | f (y) \neq g (y)}$ . هذا ترتيب جيد، ونوع ترتيبه هو عدد ترتيبي، $α β$ .

يمكن تعريف عملية الرفع الأسي للأعداد الترتيبية أيضًا من خلال الاستدعاء الذاتي المتسامي على الأس $β$ . عندما يكون الأس $β = 0$ ، فإن عملية الرفع الأسي تعطي $α₀ = 1$ لأي قيمة لـ $α$ ، بما في ذلك $α = 0.$ أما عندما يكون $β > 0، فإن قيمة αβ هي أصغر عدد ترتيبي أكبر من أو يساوي αδ \cdot$ $α لجميع$ $قيم$ δ $<$ β $. كتابة حالات$ الأعداد $الترتيبية اللاحقة والنهائية$ بشكل منفصل:

$α 0 = 1$ .
$α S (β) = (α β) \cdot α$ , للترتيب التالي $S (β)$ .
$\bigcup _{0<\delta <\beta }$ ، عندما تكون $β$ نهاية ترتيبية.

يتبسط كلا التعريفين بشكل كبير إذا كان الأس $β$ عددًا محدودًا: فحينها يكون $α β$ مجرد حاصل ضرب $β$ نسخة من $α$ ؛ على سبيل المثال $، ω 3 = ω \cdot ω \cdot ω$ ، ويمكن اعتبار عناصر $ω 3$ ثلاثيات من الأعداد الطبيعية، مرتبة ترتيبًا معجميًا بحيث يكون العنصر الأقل أهمية أولًا. وهذا يتوافق مع عملية الأسس العادية للأعداد الطبيعية.

$لكن بالنسبة$ للأسس اللانهائية، قد لا يكون التعريف واضحًا. على سبيل المثال، $يمكن$ $تعريف αω$ بمجموعة من المتتاليات المنتهية من عناصر $α، مرتبة ترتيبًا صحيحًا. تعبر المعادلة 2ω = ω عن حقيقة أنه يمكن تعريف المتتاليات المنتهية من الأصفار والآحاد بالأعداد الطبيعية، باستخدام نظام العد الثنائي. يمكن اعتبار الترتيب ωω$ $بمثابة$ نوع $ترتيب المتتاليات المنتهية$ من الأعداد الطبيعية؛ يمكن كتابة كل عنصر من ωω $($ $أي$ كل ترتيب أصغر من $ωω$ $)$ $بشكل$ $فريد$ على الصورة $ωn₁ \cdot c₁ + ωn₂ \cdot c₂ +$ $...$ $+$ $ωnk$ $\cdot$ $cₖ$ $،$ حيث $k$ ، $n₁$ $،$ $...$ $،$ $nk$ أعداد طبيعية، $و$ $c₁$ $،$ ...، ck $أعداد$ $طبيعية$ غير $صفرية$ ، $و$ $n₁$ $> ...$ $>$ $nk$ $.$

وينطبق الأمر نفسه بشكل عام: يمكن كتابة كل عنصر من عناصر $α β$ (أي كل عدد ترتيبي أصغر من $α β$ $) بشكل فريد على الصورة α b 1 \cdot a 1 + α b 2 \cdot a 2 + \dots + α b k \cdot a k$ ، حيث $k$ عدد طبيعي، $و b 1$ ، ...، $b k$ أعداد ترتيبية أصغر من $β$ بحيث $b 1 > ... > b k$ ، و $a 1 ، ...، a k$ أعداد ترتيبية غير صفرية أصغر من $α$ . يتوافق هذا التعبير مع الدالة $f : β \to α$ التي تُحوّل $b i$ إلى $a i$ من أجل $i = 1، ...، k،$ وتُحوّل جميع عناصر $β$ الأخرى إلى $0$ .

على الرغم من استخدام نفس رمز الأس في كلٍ من الأس الترتيبي والأس الأصلي ، $إلا$ أن العمليتين مختلفتان تمامًا ويجب عدم الخلط بينهما. يُعرَّف الأس الأصلي $AB$ بأنه العدد الأصلي لمجموعة جميع الدوال $B \to A$ ، بينما يحتوي الأس الترتيبي $α β$ فقط على الدوال $β \to α$ ذات الدعم المحدود، وهي عادةً مجموعة ذات عدد أصلي أصغر بكثير. لتجنب الخلط بين الأس الترتيبي والأس الأصلي، يمكن استخدام رموز للأعداد الترتيبية (مثل $ω$ ) في الحالة الأولى، ورموز للأعداد الأصلية (مثل $ℵ \neq 0$ ) في الحالة الثانية.

ملكيات

$α 0 = 1$ .
إذا كان $0 < α$ ، فإن $0 α = 0$ .
$1 α = 1$ .
$α 1 = α$ .
$α β \cdot α γ = α β + γ$ .
$(α β) γ = α β \cdot γ$ .
هناك $α$ و $β$ و $γ$ التي $(α \cdot β) γ \neq α γ \cdot β γ$ . على سبيل المثال، $(ω \cdot 2) 2 = ω \cdot 2 \cdot ω \cdot 2 = ω 2 \cdot 2 \neq ω 2 \cdot 4$ .
الأسس الترتيبية متزايدة تمامًا ومستمرة في الوسيط الأيمن: إذا كان $γ > 1$ و $α < β$ ، فإن $γ α < γ β$ .
إذا كانت $α < β$ ، فإن $α γ \geq β γ$ . لاحظ، على سبيل المثال، أن $2 < 3$ ومع ذلك $2 ω = 3 ω = ω$ .
إذا كان $α > 1$ و $α β = α γ$ ، فإن $β = γ$ . إذا كانت $α = 1$ أو $α = 0$ فهذا ليس هو الحال.
لجميع $α$ و $β$ ، إذا $β > 1$ و $α > 0$ ثم هناك فريدة من نوعها $γ$ و $δ$ و $ρ$ بحيث $α = β γ \cdot δ + ρ$ بحيث $0 < δ < β$ و $ρ < β γ$ .

أظهر جاكوبستال أن الحلول الوحيدة لـ $α β = β α$ مع $α \geq β$ تُعطى بواسطة $α = β$ أو $α = 2$ و $β = 4$ أو $α$ هي أي حد ترتيبي و $β = ε \cdot α$ حيث $ε$ هو رقم $ε$ أكبر من $α$ . ^{[ 1 ]}

ما وراء الأس

توجد عمليات ترتيبية تُكمل التسلسل الذي بدأ بالجمع والضرب والرفع إلى الأسس، بما في ذلك النسخ الترتيبية من عملية التكرار الثلاثي (التريتريشن) وغيرها من العمليات الفائقة . انظر أيضًا دالة فيبلن .

الشكل الطبيعي لكانتور

يمكن كتابة كل عدد ترتيبي α بشكل فريد على الصورة $ωβ₁ \cdot c₁ + ωβ₂ \cdot c₂$ + $...$ $+$ $ωβₖ \cdot cₖ ، حيث k عدد طبيعي ، و c₁ ، c₂ ،$ ... $،$ cₖ $أعداد$ $طبيعية$ غير $صفرية$ ، $و$ $β₁$ $>$ β₂ $>$ $...$ $>$ $βₖ$ $\geq$ $0$ $أعداد$ $ترتيبية$ $. تحدث الحالة المنحلة α = 0 عندما k$ $=$ 0 $، مما$ يستلزم $عدم$ $وجود$ $β₁$ أو $cₖ$ . $يُسمى$ هذا التحليل لـ $α$ $بالصيغة$ الطبيعية لكانتور لـ $α$ $،$ ويمكن اعتباره نظامًا عدديًا موضعيًا أساسه $ω$ . يُسمى أعلى أس $β₁$ $بدرجة$ α $،$ ويحقق $الشرط$ $β₁$ $\leq$ $α$ . تتحقق المساواة $β$ $1$ $=$ $α$ إذا وفقط إذا كان $α$ $=$ $ω$ $α$ . في هذه الحالة، يفشل الشكل الطبيعي لكانتور في التعبير عن العدد الترتيبي بدلالة أعداد أصغر؛ ويمكن أن يحدث هذا كما هو موضح أدناه.

لمقارنة عددين ترتيبيين مكتوبين بالصيغة القياسية لكانتور، قارن أولًا $β₁ ،$ ثم $c₁$ ، ثم $β₂$ ، ثم $c₂$ $،$ $وهكذا . عند أول ظهور للمتباينة،$ $يكون$ العدد الترتيبي ذو المكون الأكبر هو الأكبر. إذا تساوى العددان حتى ينتهي أحدهما قبل الآخر، فإن العدد الذي ينتهي أولًا هو الأصغر.

يُتيح لنا الشكل الطبيعي لكانتور التعبير بشكلٍ فريد عن الأعداد الترتيبية $α$ المُشتقة من الأعداد الطبيعية بواسطة عدد محدود من العمليات الحسابية للجمع والضرب والرفع إلى أساس $ω$ ، وترتيبها أيضًا . بعبارة أخرى، بافتراض أن $β$ $i$ < $α$ $في$ الشكل الطبيعي لكانتور، يُمكننا أيضًا التعبير عن الأسس $β$ $i$ في الشكل الطبيعي لكانتور، وبافتراض نفس الافتراض لـ $β$ $i$ كما هو الحال بالنسبة لـ $α،$ وهكذا بشكلٍ متكرر، نحصل على نظام تدوين لهذه الأعداد الترتيبية (على سبيل المثال،

ω ω ω 7 \cdot6+ ω +42 \cdot1729+ ω 9 +88 \cdot3 + ω ω \cdot5 + 65537

(يشير إلى عدد ترتيبي).

نقطة ثابتة

العدد الترتيبي $ε₀$ ( إبسيلون صفر ) هو مجموعة القيم الترتيبية $α$ للتعبيرات الحسابية ذات الطول المحدود في صيغة كانتور الطبيعية، والتي تكون وراثيًا غير تافهة، حيث تعني غير التافهة أن $β₁ < α عندما 0 < α. وهو أصغر عدد ترتيبي يحقق ε₀$ $=$ $ωε₀ ، أي$ في $صيغة كانتور$ الطبيعية، $لا يكون الأس$ $أصغر$ $من$ العدد الترتيبي نفسه. وهو نهاية المتتالية $.$

0, 1 = ω 0, ω = ω 1, ω ω, ω ω ω, ...

.

يُعد الترتيب $ε 0$ مهمًا لأسباب مختلفة في الحساب (بشكل أساسي لأنه يقيس قوة نظرية البرهان لحساب بيانو من الدرجة الأولى : أي أن بديهيات بيانو يمكن أن تُظهر الاستقراء المتجاوز حتى أي ترتيب أقل من $ε$ $0$ ولكن ليس حتى $ε$ $0$ نفسه).

المجاميع

يُتيح لنا الشكل الطبيعي لكانتور أيضًا حساب مجاميع وحاصل ضرب الأعداد الترتيبية: لحساب المجموع، على سبيل المثال، يكفي معرفة (انظر الخصائص المذكورة في § الجمع و § الضرب ) أن

ω β \cdot ج + ω β' \cdot ج' = ω β' \cdot ج'

,

إذا كانت $β' > β$ . إذا كانت $β' = β،$ $فيمكن$ تطبيق قانون التوزيع على اليسار وإعادة كتابة ذلك على النحو التالي: $ωβ (c + c')$ ، وإذا كانت $β' < β،$ فإن التعبير يكون بالفعل في الصيغة الطبيعية لكانتور. على سبيل المثال

(\omega ^{2}\cdot 2+\omega \cdot 3+4)+(\omega \cdot 5+6)=\omega ^{2}\cdot 2+\omega \cdot 8+6.

منتجات

لحساب المنتجات، فإن الحقائق الأساسية هي أنه عندما يكون $0 < α = ω β 1 \cdot c 1 + \dots + ω β k \cdot c k$ في شكل كانتور الطبيعي و $0 < β'$ ، فإن

α \cdot ω β' = ω β 1 + β'

و

α \cdot n = ω β 1 \cdot c 1 \cdot n + ω β 2 \cdot c 2 + \dots + ω β k \cdot c k

,

إذا كان $n$ عددًا طبيعيًا غير صفري. على سبيل المثال

(\omega ^{3}\cdot 7+\omega +1)\cdot (\omega \cdot 8+9)=\omega ^{4}\cdot 8+\omega ^{3}\cdot 63+\omega +1.

الصلاحيات

إذا كان ω ^α ≥ β < ω ^{α +1} ، فإن β ^ω = ω ^{α · ω} . على سبيل المثال،

(\omega ^{\omega }\cdot 2+\omega \cdot 3+4)^{(\omega ^{2}\cdot 5+2)}=(\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5})\cdot (\omega ^{\omega \cdot 2}\cdot 2+\omega ^{\omega +1}\cdot 3+\omega ^{\omega }\cdot 8+\omega \cdot 3+4)

=\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+\omega \cdot 2}\cdot 2+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+\omega +1}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+\omega }\cdot 8+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5+1}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{3}\cdot 5}\cdot 4

الاختلافات

$يتمثل$ أحد أشكال صيغة كانتور الطبيعية في جعل جميع الأعداد $cᵢ$ مساويةً $للواحد،$ $والسماح$ بتساوي الأسس. بعبارة أخرى، يمكن كتابة كل عدد ترتيبي $α$ بشكل فريد على الصورة $ωβ₁$ $+$ $ωβ₂ + ... + ωβₖ ، حيث$ k $عدد$ طبيعي، و $β₁$ $\geq$ $β₂$ $\geq ...$ $\geq$ $βₖ$ $\geq$ $0$ $أعداد$ ترتيبية.

هناك شكل آخر من أشكال كانتور الطبيعية وهو "توسيع الأساس $δ$ "، حيث يتم استبدال $ω$ بأي ترتيب $δ \geq 2$ وتفي المعاملات بالشرط $1 \leq c i < δ$ .

التحليل إلى عوامل أولية

أثبت إرنست جاكوبستال أن الأعداد الترتيبية تحقق شكلاً من أشكال نظرية التحليل إلى عوامل أولية فريدة : يمكن كتابة كل عدد ترتيبي غير صفري كحاصل ضرب عدد محدود من الأعداد الترتيبية الأولية. هذا التحليل إلى عوامل أولية ليس فريداً بشكل عام، ولكن يوجد تحليل "أدنى" إلى عوامل أولية يكون فريداً حتى تغيير ترتيب العوامل الأولية المحدودة ( سيربينسكي 1958 ) .

العدد الترتيبي الأولي هو عدد ترتيبي أكبر من $1$ لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عددين ترتيبيين أصغر منه. من أوائل الأعداد الأولية: $2$ $،$ 3 $،$ 5 $،$ ...، $ω$ ، $ω + 1$ ، $ω² + 1$ ، $ω³$ $+ 1$ ، ...، $ω₁ω$ $،$ ω₂ω $+$ $1$ ، $ω₂ω$ $+ 1$ $+ 1$ ، ... وهناك ثلاثة أنواع من الأعداد $الترتيبية$ $الأولية$ $:$

الأعداد الأولية المنتهية $2$ ، $3$ ، $5$ ، ...
الأعداد الترتيبية من الشكل $ω ω α$ لأي عدد ترتيبي $α$ . هذه هي الأعداد الترتيبية الأولية التي تمثل نهايات، وهي أعداد دلتا ، وهي الأعداد الترتيبية المتسامية المغلقة تحت عملية الضرب.
الأعداد الترتيبية من الشكل $ω α + 1$ لأي عدد ترتيبي $α > 0.$ هذه هي الأعداد الأولية اللاحقة اللانهائية، وهي الأعداد اللاحقة لأعداد غاما ، وهي الأعداد الترتيبية غير القابلة للتحليل الجمعي.

إن تحليل العدد إلى عوامله الأولية ليس فريدًا: على سبيل المثال، $2 \times 3 = 3 \times 2$ ، و $2 \times ω = ω$ ، و $(ω + 1) \times ω = ω \times ω،$ و $ω \times ω ω = ω ω$ . مع ذلك، يوجد تحليل فريد إلى عوامله الأولية يحقق الشروط الإضافية التالية:

يجب أن يظهر كل عدد أولي حدي قبل أي عدد أولي لاحق.
إذا كان عددان أوليان متتاليان في تحليل العوامل الأولية كلاهما نهايات أو كلاهما محدود، فيجب أن يكون العدد الثاني أصغر من أو يساوي العدد الأول.

يمكن قراءة هذا التحليل إلى العوامل الأولية بسهولة باستخدام الصيغة الطبيعية لكانتور كما يلي:

أولاً، اكتب العدد الترتيبي كحاصل ضرب $α \cdot β$ ، حيث $α$ هي أصغر قوة لـ $ω$ في الشكل الطبيعي لكانتور و $β$ هو العدد اللاحق.
إذا كان $α = ω γ$ فإن كتابة $γ$ في الشكل الطبيعي لكانتور يعطي توسيعًا لـ $α$ كحاصل ضرب أعداد أولية حدية.
$والآن ،$ انظر إلى الصيغة الطبيعية لكانتور للعدد $β$ . إذا كان $β = ωλ \cdot m + ωμ \cdot$ $n + الحدود الأصغر ، فإن β = ($ ωμ $\cdot n + الحدود الأصغر) \cdot (ωλ - μ + 1) \cdot m$ هو حاصل ضرب عدد ترتيبي أصغر وعدد أولي وعدد طبيعي $m . بتكرار هذه$ $العملية$ وتحليل الأعداد الطبيعية إلى عواملها الأولية، نحصل على التحليل الأولي $للعدد$ $β$ .

لذا فإن تحليل الشكل الترتيبي الطبيعي لكانتور إلى عوامل

ω α 1 \cdot n 1 + \dots + ω α k \cdot n k

(مع

α 1 > ... > α k

)

تحويلها إلى ناتج ضرب أدنى لعدد لا نهائي من الأعداد الأولية والطبيعية هو

(ω ω β 1 \cdot \dots \cdot ω ω β m) \cdot n k \cdot (ω α k -1 -α k + 1) \cdot n k -1 \cdot \dots \cdot (ω α 1 - α 2 + 1) \cdot n 1

حيث يجب استبدال كل عدد $صحيح موجب$ $n$ بتحليله إلى متتالية غير متزايدة من الأعداد الأولية المنتهية و

α k = ω β 1 + \dots + ω β m

مع

β 1 \geq ... \geq β m

.

أعداد ترتيبية كبيرة قابلة للعد

كما نوقش أعلاه، يمكن التعبير عن الشكل الطبيعي لكانتور للأعداد الترتيبية الأقل من $ε 0$ في أبجدية تحتوي فقط على رموز الوظائف للجمع والضرب والأس، بالإضافة إلى الرموز الثابتة لكل عدد طبيعي ولـ $ω$ . يمكننا الاستغناء عن العدد اللانهائي من الأعداد باستخدام الرمز الثابت $0$ فقط وعملية التالي، $S$ (على سبيل المثال، يمكن التعبير عن العدد الطبيعي $3 على النحو التالي:$ $S (S (S (0)))$ . يصف هذا الترميز الترتيبي : وهو نظام لتسمية الأعداد الترتيبية على أبجدية محدودة. يُطلق على هذا النظام تحديدًا من الترميز الترتيبي اسم مجموعة التعبيرات الترتيبية الحسابية ، ويمكنه التعبير عن جميع الأعداد الترتيبية الأقل من $ε₀ ،$ ولكنه لا يستطيع التعبير عن $ε₀$ . توجد ترميزات ترتيبية أخرى قادرة على تمثيل الأعداد الترتيبية التي تتجاوز $ε₀ بكثير ، ولكن نظرًا لوجود عدد محدود من السلاسل ذات الطول المحدود على أي أبجدية محدودة، فإنه لأي ترميز ترتيبي مُعطى$ $،$ ستكون هناك أعداد ترتيبية أقل من $ω₁$ $($ أول عدد ترتيبي غير قابل للعد ) لا يمكن التعبير عنها. تُعرف هذه الأعداد الترتيبية بالأعداد الترتيبية الكبيرة القابلة للعد .

تُعد عمليات الجمع والضرب والرفع الأسي أمثلة على الدوال الترتيبية التكرارية الأولية ، ويمكن استخدام الدوال الترتيبية التكرارية الأولية الأكثر عمومية لوصف الترتيبات الأكبر.

العمليات الطبيعية

تم تعريف عمليتي الجمع الطبيعي والضرب الطبيعي على الأعداد الترتيبية في عام 1906 بواسطة غيرهارد هيسنبرغ ، ويُطلق عليهما أحيانًا اسم مجموع (أو ضرب) هيسنبرغ ( سيربينسكي 1958 ) . يُرمز غالبًا إلى المجموع الطبيعي لـ $α$ و $β بالرمز$ $α \oplus β$ أو $α # β$ ، وإلى الضرب الطبيعي بالرمز $α \otimes β$ أو $α ⨳ β$ .

يتم تعريف المجموع الطبيعي والمنتج على النحو التالي. دع $α = ω α 1 + \dots + ω α k$ و $β = ω β 1 + \dots + ω β ℓ$ تكون في شكل كانتور العادي (أي $α 1 \geq ... \geq α k$ و $β 1 \geq ... \geq β ℓ$ ). دع $γ 1, ..., γ k + ℓ$ تكون الأسس $α 1$ , ..., $α k$ , $β 1$ , ..., $β ℓ$ مرتبة بترتيب غير تصاعدي. ثم يتم تعريف $α \oplus β كـ$

α \oplus β = ω γ 1 + \dots + ω γ ك + ℓ

.

يُعرَّف الناتج الطبيعي لـ $α$ و $β على النحو التالي:$

\bigoplus _{\begin{aligned}&1\leq i\leq k\\&1\leq j\leq \ell \end{aligned}}

.

على سبيل المثال، افترض أن $α = ω ω ω + ω$ و $β = ω ω + ω 5$ . ثم $α \oplus β = ω ω ω + ω ω + ω 5 + ω$ ، بينما $α + β = ω ω ω + ω ω + ω 5$ . و $α \otimes β = ω ω ω + ω ω ω +5 + ω ω +1 + ω 6 ،$ بينما $α \cdot β = ω ω ω + ω + ω ω ω +5$ . $$

المجموع الطبيعي وحاصل الضرب تبادلي وترابطي، والحاصل الطبيعي يتوزع على المجموع الطبيعي. العمليات رتيبة أيضًا، بمعنى أنه إذا كانت $α < β$ ثم $α \oplus γ < β \oplus γ$ ; إذا $α \geq β$ ثم $α \otimes γ \geq β \otimes γ$ ; وإذا كان $α < β$ و $γ > 0$ ثم $α \otimes γ < β \otimes γ$ .

لدينا $\underbrace {\alpha \oplus \cdots \oplus \alpha } _{n}=\alpha \otimes n$ .

لدينا دائمًا $α + β \geq α \oplus β$ و $α \cdot β \geq α \otimes β$ . إذا كان كل من $α < ω γ$ و $β < ω γ$ فإن $α \oplus β < ω γ$ . إذا كان كل من $α < ω ω γ$ و $β < ω ω γ$ ثم $α \otimes β < ω ω γ$ .

المجموع الطبيعي والضرب الطبيعي ليسا دالتين متصلتين. على سبيل المثال، لو كان المجموع الطبيعي متصلاً، لكانت $نهاية (1 \oplus n) عندما n < ω تساوي 1 \oplus ω$ ، ولكن الطرف الأيسر يساوي $ω$ والطرف الأيمن يساوي $ω + 1.$ وبالمثل، لو كان الضرب الطبيعي متصلاً، لكانت نهاية $($ $2 \otimes$ $n$ $) عندما n < ω تساوي 2 \otimes$ $ω ، ولكن الطرف الأيسر$ يساوي $ω$ $والطرف$ $الأيمن$ يساوي $(ω₀ + ω₀) \otimes ω₁ = ω₁ + ω₁ = ω \cdot 2$ .

إن المجموع الطبيعي والناتج هما نفس الجمع والضرب (المقتصر على الأعداد الترتيبية) لحقل الأعداد السريالية لجون كونواي .

تظهر العمليات الطبيعية في نظرية الترتيبات الجزئية الجيدة ؛ فإذا كان لدينا ترتيبان جزئيان جيدان $S$ و $T$ ، من النوعين ( التخطيطات الخطية القصوى ) $o (S)$ و $o (T)$ ، فإن نوع الاتحاد المنفصل هو $o (S) \oplus o (T)$ ، بينما نوع الضرب المباشر هو $o (S) \otimes o (T)$ . ^{[ 2 ]} يمكن اعتبار هذه العلاقة تعريفًا للعمليات الطبيعية باختيار $S$ و $T$ كعددين ترتيبيين $α$ و $β$ ؛ لذا $فإن α \oplus β$ هو نوع الترتيب الأقصى لترتيب كلي يمتد من الاتحاد المنفصل (كترتيب جزئي) لـ $α$ و $β$ ؛ بينما $α \otimes β$ هو نوع الترتيب الأقصى لترتيب كلي يمتد من الضرب المباشر (كترتيب جزئي) لـ $α$ و $β$ . ^{[ 3 ]} ومن التطبيقات المفيدة لذلك أن $α$ و $β$ مجموعتان جزئيتان من ترتيب كلي أكبر. إذا كان اتحادهما يكون من النوع الترتيبي على الأكثر $α \oplus β$ ، وإذا كان كلاهما مجموعتين جزئيتين من زمرة أبيلية مرتبة ، فإن مجموعهما يكون من النوع الترتيبي على الأكثر $α \otimes β$ .

يمكننا أيضًا تحديد المجموع الطبيعي $α \oplus β$ عن طريق التكرار المتزامن المحدود على $α$ و $β$ ، باعتباره أصغر ترتيبي أكبر بشكل صارم من المجموع الطبيعي لـ $α$ و $γ$ للجميع $γ < β$ و $γ$ و $β$ للجميع $γ < α$ . ^{[ 4 ]} وبالمثل، يمكننا تعريف المنتج الطبيعي $α \otimes β$ عن طريق التكرار المتزامن المحدود على $α$ و $β$ ، كأصغر ترتيب $γ$ بحيث $(α \otimes δ) \oplus (ε \otimes β) < γ \oplus (ε \otimes δ)$ لجميع $ε < α$ و $δ < β$ . ^{[ 4 ]} راجع أيضًا مقالة الأعداد السريالية لتعريف الضرب الطبيعي في هذا السياق؛ ومع ذلك، فهو يستخدم الطرح السريالي، والذي لا يتم تعريفه على الأعداد الترتيبية.

المجموع الطبيعي خاصية تجميعية وتبديلية. وهو دائمًا أكبر من أو يساوي المجموع المعتاد، ولكنه قد يكون أكبر منه تمامًا. على سبيل المثال، المجموع الطبيعي لـ $ω$ و $1$ هو $ω + 1$ (المجموع المعتاد)، ولكنه أيضًا المجموع الطبيعي لـ $1$ و $ω$ . الضرب الطبيعي خاصية تجميعية وتبديلية، ويتوزع على المجموع الطبيعي. الضرب الطبيعي دائمًا أكبر من أو يساوي الضرب المعتاد، ولكنه قد يكون أكبر منه تمامًا. على سبيل المثال، الضرب الطبيعي لـ $ω$ و $2$ هو $ω$ $\times 2$ (الضرب المعتاد)، ولكنه أيضًا الضرب الطبيعي لـ $2$ و $ω$ .

في ظل الجمع الطبيعي، يمكن تعريف الأعداد الترتيبية بعناصر الزمرة التبادلية الحرة المولدة بواسطة أعداد غاما $ω α$ . وفي ظل الجمع والضرب الطبيعيين، يمكن تعريف الأعداد الترتيبية بعناصر شبه الحلقة التبادلية الحرة المولدة بواسطة أعداد دلتا $ω ω α$ . لا تمتلك الأعداد الترتيبية تحليلًا فريدًا إلى عوامل أولية في ظل الضرب الطبيعي. بينما تمتلك حلقة كثيرات الحدود الكاملة تحليلًا فريدًا، فإن مجموعة كثيرات الحدود ذات المعاملات غير السالبة لا تمتلكه: على سبيل المثال، إذا كان $x$ أي عدد دلتا، فإن

x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1) (x 4 + x 2 + 1) = (x 2 + x + 1) (x 3 + 1)

يحتوي على تعبيرين غير متوافقين كناتج طبيعي لكثيرات الحدود ذات المعاملات غير السالبة التي لا يمكن تحليلها أكثر من ذلك.

الحساب العددي

توجد عمليات حسابية على الأعداد الترتيبية بفضل التناظر الأحادي بين الأعداد الترتيبية والأعداد الطبيعية . من العمليات الشائعة على الأعداد الطبيعية: جمع الأعداد الطبيعية، وضرب الأعداد الطبيعية، والقيمة المستبعدة الدنيا (MEX) . يُعد جمع الأعداد الطبيعية تعميمًا لعملية " أو " الحصرية الثنائية على الأعداد الطبيعية. القيمة $المستبعدة$ الدنيا لمجموعة من الأعداد الترتيبية هي أصغر عدد ترتيبي غير موجود في المجموعة.

ملحوظات

^ إرنست جاكوبستال، Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen، Mathematische Annalen ، دينار بحريني 64 (1907)، 475-488. متاح هنا
↑ دي جونغ، دي إتش جيه، وباريك ، آر. ، الترتيبات والتسلسلات الهرمية الجزئية الجيدة، إنداج. ماث. 39 (1977)، 195-206. متاح هنا
↑ فيليب دبليو. كاروث، حساب الأعداد الترتيبية مع تطبيقات على نظرية الزمر الأبيلية المرتبة، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 48 (1942)، 262-271. انظر النظرية 1. متاح هنا
1 2 ألتمان، هاري (2017-11-01). "العمليات الحسابية الوسيطة على الأعداد الترتيبية" (ملف PDF) . مجلة المنطق الرياضي الفصلية . 63 ( 3-4 ): 228-242 . arXiv : 1501.05747 . doi : 10.1002/malq.201600006 . تاريخ الاسترجاع: 2024-08-28 .

مراجع

توماس جيتش (21 مارس 2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-44085-7.
كونين، كينيث (1980)، نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال ، إلسيفير، رقم ISBN 0-444-86839-9
Sierpiński، Wacław (1958)، الأرقام الكاردينالية والترتيبية ، Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne، المجلد. 34، وارسو: Państwowe Wydawnictwo Naukowe، السيد 0095787

روابط خارجية

آلة حاسبة الترتيب ordCalc في Wayback Machine (تمت أرشفة الموقع في 5 يونيو 2021)

[1] إرنست جاكوبستال، Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen، Mathematische Annalen ، دينار بحريني 64 (1907)، 475-488. متاح هنا

[2] دي جونغ، دي إتش جيه، وباريك ، آر. ، الترتيبات والتسلسلات الهرمية الجزئية الجيدة، إنداج. ماث. 39 (1977)، 195-206. متاح هنا

[3] فيليب دبليو. كاروث، حساب الأعداد الترتيبية مع تطبيقات على نظرية الزمر الأبيلية المرتبة، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 48 (1942)، 262-271. انظر النظرية 1. متاح هنا

[Altman-4] 1 2 ألتمان، هاري (2017-11-01). "العمليات الحسابية الوسيطة على الأعداد الترتيبية" (ملف PDF) . مجلة المنطق الرياضي الفصلية . 63 ( 3-4 ): 228-242 . arXiv : 1501.05747 . doi : 10.1002/malq.201600006 . تاريخ الاسترجاع: 2024-08-28 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗