مثالي في مجموعة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 50 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف المثالي على مجموعة ما بأنه عائلة من المجموعات الجزئية المغلقة تحت المجموعات الجزئية والاتحادات المنتهية. وبشكل غير رسمي، تُعتبر المجموعات التي تنتمي إلى المثالي "صغيرة" أو "هامشية".

يتم تعميم المفهوم بواسطة المثاليات على مجموعة مرتبة جزئيًا (مثالي على مجموعةX{\displaystyle X}يُعدّ هذا مثاليًا في مجموعة الطاقةP(X){\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}مرتبة جزئياً حسب الاحتواء)، وحسب المثاليات على الحلقات (مثالي علىX{\displaystyle X}هو مثالي على حلقة البوليانP(X){\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}). المفهوم المقابل للمثاليات هو المرشحات .

تعريف

بالنظر إلى مجموعةX{\displaystyle X}مثالي​أنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}علىX{\displaystyle X}هي مجموعة من المجموعات الجزئية منX{\displaystyle X}بحيث:

  • أنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}مغلق للأسفل : إذاأ،ب⊆X{\displaystyle A,B\subseteq X}هي من النوع الذيأ∈أنا{\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}وب⊆أ{\displaystyle B\subseteq A}ثمب∈أنا{\displaystyle B\in {\mathcal {I}}}،
  • أنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}مغلق في ظل الاتحادات المحدودة:∅∈أنا{\displaystyle \varnothing \in I}، [ أ ] وإذاأ∈أنا{\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}وب∈أنا{\displaystyle B\in {\mathcal {I}}}ثمأ∪ب∈أنا{\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {I}}}.

المثالي الصحيح هو المثالي الذي يكون صحيحًا كمجموعة جزئية من مجموعة القوىP(X){\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}على النقيض من ذلك،P(X){\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}يُطلق على المجموعة الكاملة، التي تتكون من جميع المجموعات الجزئية الممكنة، اسم المثالي غير الصحيح . وبحسب مبدأ الإغلاق التنازلي، يكون المثالي صحيحًا إذا وفقط إذا لم يكن يحتوي علىX{\displaystyle X}يتبنى بعض المؤلفين العرف القائل بأن المثالي يجب أن يكون مناسباً بحكم التعريف.

مصطلحات

عنصر من عناصر المثاليةأنا{\displaystyle I}يقال إنهأنا{\displaystyle I}-null أوأنا{\displaystyle I}- ضئيل ، أو ببساطة معدوم أو ضئيل إذا كان الوضع المثاليأنا{\displaystyle I}يُفهم ذلك من السياق. إذاأنا{\displaystyle I}يُعدّ مثالاً يُحتذى به فيX،{\displaystyle X,}ثم مجموعة فرعية منX{\displaystyle X}يقال إنهأنا{\displaystyle I}-موجب (أو موجب فقط ) إذا لم يكن عنصرًا منأنا.{\displaystyle I.}مجموعة الكلأنا{\displaystyle I}- مجموعات فرعية إيجابية منX{\displaystyle X}يُشار إليه بـأنا+.{\displaystyle I^{+}.}

لوأنا{\displaystyle I}يُعدّ هذا مثالاً مناسباً علىX{\displaystyle X}ولكلأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}أيضاًأ∈أنا{\displaystyle A\in I}أوX∖أ∈أنا،{\displaystyle X\setminus A\in I,}ثمأنا{\displaystyle I}هو مثال مثالي .

أمثلة على المُثُل العليا

أمثلة عامة

  • لأي مجموعةX{\displaystyle X}وأي مجموعة فرعية مختارة بشكل تعسفيب⊆X،{\displaystyle B\subseteq X,}المجموعات الفرعية منب{\displaystyle B}تكوين مثال علىX.{\displaystyle X.}لـ t المحدودةX،{\displaystyle X,}جميع المُثُل العليا تتخذ هذا الشكل.
  • المجموعات الجزئية المنتهية لأي مجموعةX{\displaystyle X}تكوين مثال علىX.{\displaystyle X.}
  • لأي فضاء قياس ، مجموعات جزئية من مجموعات ذات قياس صفري.
  • لأي فضاء قياس ، توجد مجموعات ذات قياس محدود . وهذا يشمل المجموعات الجزئية المحدودة (باستخدام قياس العد ) والمجموعات الصغيرة أدناه.
  • علم الولادة في موقع تصويرX{\displaystyle X}هو مثال مثالي يغطيX.{\displaystyle X.}
  • عائلة غير فارغةب{\displaystyle {\mathcal {B}}}من مجموعات فرعية منX{\displaystyle X}يُعدّ هذا مثالاً مناسباً علىX{\displaystyle X}إذا وفقط إذا كان ثنائيها فيX،{\displaystyle X,}والذي يُشار إليه ويُحدد بواسطةX∖ب:={X∖ب:ب∈ب}،{\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},}يُعدّ هذا مرشحًا مناسبًا علىX{\displaystyle X}(يكون المرشح مناسبًا إذا لم يكن مساويًا لـ)℘(X){\displaystyle \wp (X)}). ثنائي مجموعة القوى℘(X){\displaystyle \wp (X)}هو نفسه؛ أيX∖℘(X)=℘(X).{\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}وبالتالي عائلة غير فارغةب⊆℘(X){\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}يُعدّ مثالاً يُحتذى به فيX{\displaystyle X}إذا وفقط إذا كان ثنائيهاX∖ب{\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}هو مثال مزدوج علىX{\displaystyle X}(والتي بحكم تعريفها إما مجموعة القوى)℘(X){\displaystyle \wp (X)}أو فلتر مناسبX{\displaystyle X}).

المُثُل المتعلقة بالأعداد الطبيعية

  • يُرمز إلى المثال الأعلى لجميع المجموعات المنتهية من الأعداد الطبيعية بالرمز Fin.
  • المثالي القابل للجمع على الأعداد الطبيعية، ويرمز له بـأنا1/ن،{\displaystyle {\mathcal {I}}_{1/n},}هي مجموعة جميع المجموعاتأ{\displaystyle A}الأعداد الطبيعية بحيث يكون مجموعها∑ن∈أ1ن+1{\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}}مجموعة محدودة. انظر المجموعة الصغيرة .
  • المثالي للمجموعات ذات الكثافة الصفرية التقاربية على الأعداد الطبيعية، ويرمز له بـZ0،{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{0},}هي مجموعة جميع المجموعاتأ{\displaystyle A}من الأعداد الطبيعية بحيث تكون نسبة الأعداد الطبيعية أقل منن{\displaystyle n}التي تنتمي إلىأ،{\displaystyle A,}يميل إلى الصفر عندمان{\displaystyle n}يؤول إلى اللانهاية. (أي الكثافة التقاربية لـأ{\displaystyle A}(صفر.)

المثل العليا المتعلقة بالأعداد الحقيقية

الأفكار في مجموعات أخرى

عمليات على المُثُل

بفرض وجود مثاليين I و J على المجموعتين الأساسيتين X و Y على التوالي، يتم تكوين الضرب المائل أو ضرب فوبينيأنا×ج{\displaystyle I\times J}، مثالي على المنتج الديكارتيX×Y،{\displaystyle X\times Y,}كما يلي: لأي مجموعة جزئيةأ⊆X×Y،{\displaystyle A\subseteq X\times Y,}أ∈أنا×ج إذا وفقط إذا {x∈X:{y:⟨x،y⟩∈أ}∉ج}∈أنا{\displaystyle A\in I\times J\quad {\text{ إذا وفقط إذا }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I} بمعنى آخر، تقع مجموعة ما في المثالي الضربي إذا كانت مجموعة ضئيلة فقط من الإحداثيات السينية تقابل شريحة غير ضئيلة من A في الاتجاه الصادي . (ربما يكون التعبير الأوضح: تكون المجموعة موجبة في المثالي الضربي إذا كان عدد موجب من الإحداثيات السينية يقابل شرائح موجبة.)

يُنشئ المثالي I على مجموعة X علاقة تكافؤ على℘(X)،{\displaystyle \wp (X),}مجموعة القوى لـ X ، مع اعتبار A و B متكافئتين (لـأ،ب{\displaystyle A,B}تكون المجموعات الجزئية من X إذا وفقط إذا كان الفرق المتناظر بين A و B عنصرًا من I. خارج قسمة℘(X){\displaystyle \wp (X)}بموجب علاقة التكافؤ هذه، فإن الجبر البولياني يُرمز له بـ℘(X)/أنا{\displaystyle \wp (X)/I}(اقرأ "P of X mod I ").

لكل مثالي مرشح مقابل ، يُسمى مرشحه الثنائي . إذا كان I مثاليًا على X ، فإن المرشح الثنائي لـ I هو مجموعة جميع المجموعاتX∖أ،{\displaystyle X\setminus A,}حيث A عنصر من I. (هنا)X∖أ{\displaystyle X\setminus A}يشير إلى المكمل النسبي لـ A في X ؛ أي مجموعة جميع عناصر X التي ليست في A ).

العلاقات بين المُثُل

لوأنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}هي مُثُل علىX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}على التوالى،أنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}تكون المجموعات متماثلة من نوع رودين-كيسلر إذا كانت تمثل نفس المثال باستثناء إعادة تسمية عناصر مجموعاتها الأساسية (مع تجاهل المجموعات المهملة). وبشكل أكثر دقة، فإن الشرط هو وجود مجموعاتأ{\displaystyle A}وب،{\displaystyle B,}عناصر منأنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}على التوالي، وتقابلφ:X∖أ→Y∖ب،{\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}بحيث يكون لأي مجموعة جزئيةج⊆X،{\displaystyle C\subseteq X,}ج∈أنا{\displaystyle C\in I}إذا وفقط إذا كانت صورةج{\displaystyle C}تحتφ∈ج.{\displaystyle \varphi \in J.}

لوأنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}إذا كانت متماثلة من نوع رودين-كيسلر،℘(X)/أنا{\displaystyle \wp (X)/I}و℘(Y)/ج{\displaystyle \wp (Y)/J}هي متماثلة كجبر بولياني. تسمى التشاكلات في جبر بولياني خارج القسمة، المستحثة بواسطة تشاكلات رودين-كيسلر للمثاليات، بالتشاكلات التافهة .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ اتحاد المجموعات الجزئية الصفرية منX{\displaystyle X}هي المجموعة الفارغة.

مراجع