حلقة منطقية

في الرياضيات ، الحلقة البوليانية R هي حلقة ^يكون فيها x² = x لكل x في R ، أي حلقة تتكون فقط من عناصر متساوية القوة . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} مثال على ذلك حلقة الأعداد الصحيحة بتردد 2 .

كل حلقة بولية تُنتج جبرًا بوليًا ، حيث يُقابل ضرب الحلقة الاقتران أو التقاطع ∧ ، وجمع الحلقة الفصل الحصري أو الفرق المتناظر (وليس الفصل ∨ ، ^{[ 4 ]} الذي يُشكل شبه حلقة ). وبالعكس، كل جبر بولي يُنتج حلقة بولية. سُميت الحلقات البولية نسبةً إلى مؤسس الجبر البولي، جورج بول .

يوجد على الأقل أربعة أنظمة تدوين مختلفة وغير متوافقة للحلقات البوليانية والجبر:

• في الجبر التبادلي، يكون الترميز القياسي هو استخدام x + y = ( x ∧ ¬ y ) ∨ (¬ x ∧ y ) لمجموع الحلقة لـ x و y ، واستخدام xy = x ∧ y لضربهما.
• في المنطق ، من الشائع استخدام x ∧ y للتقاطع (كما هو الحال في ضرب الحلقة) واستخدام x ∨ y للوصل، معطاة بدلالة تدوين الحلقة (المعطى أعلاه) بواسطة x + y + xy .
• في نظرية المجموعات والمنطق، من الشائع أيضًا استخدام x · y للدلالة على الالتقاء، و x + y للدلالة على الانضمام x ∨ y . ^{[ 5 ]} يختلف استخدام + هذا عن استخدامه في نظرية الحلقات.
• من الاصطلاحات النادرة استخدام xy للضرب و x ⊕ y لمجموع الحلقة، في محاولة لتجنب الغموض في + .

تاريخيًا، استُخدم مصطلح "الحلقة البوليانية" للدلالة على "حلقة بوليانية قد لا تحتوي على عنصر محايد"، بينما استُخدم مصطلح "الجبر البولياني" للدلالة على حلقة بوليانية تحتوي على عنصر محايد. وجود العنصر المحايد ضروري لاعتبار الحلقة جبرًا على حقل عنصرين ؛ وإلا فلا يمكن أن يكون هناك تشاكل حلقي (أحادي) من حقل عنصرين إلى الحلقة البوليانية. (وهذا يُشابه الاستخدام القديم لمصطلحي "الحلقة" و"الجبر" في نظرية القياس . ^{[ أ ]} )

أحد الأمثلة على الحلقات البوليانية هو مجموعة القوى لأي مجموعة X ، حيث تُسمى عملية الجمع في الحلقة بالفرق المتناظر ، وعملية الضرب بالتقاطع . كمثال آخر، يمكننا أيضًا اعتبار مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية أو المتكافئة من X ، حيث تُسمى العمليات بالفرق المتناظر والتقاطع. وبشكل أعم، مع هذه العمليات، يُعد أي حقل من المجموعات حلقة بوليانية. وبحسب نظرية تمثيل ستون، فإن كل حلقة بوليانية متماثلة مع حقل من المجموعات (يُعامل كحلقة مع هذه العمليات).

بما أن عملية الربط ∨ في الجبر البولياني غالبًا ما تُكتب بشكل جمعي، فمن المنطقي في هذا السياق الإشارة إلى جمع الحلقة بواسطة ⊕ ، وهو رمز يستخدم غالبًا للدلالة على "أو الحصرية" .

بفرض وجود حلقة منطقية R ، يمكننا تعريف x و y في R

x ∧ y = xy ,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy ,

¬ x = 1 ⊕ x .

تُحقق هذه العمليات جميع بديهيات التقاطع والوصل والتكمل في الجبر البولياني . وبالتالي، تُصبح كل حلقة بوليانية جبرًا بوليانيًا. وبالمثل، يُصبح كل جبر بولياني حلقة بوليانية على النحو التالي:

xy = x ∧ y ,

x ⊕ y = ( x ∨ y ) ∧ ¬( x ∧ y ).

إذا تُرجمت حلقة منطقية إلى جبر منطقي بهذه الطريقة، ثم تُرجم الجبر المنطقي إلى حلقة، فإن النتيجة هي الحلقة الأصلية. وينطبق الأمر نفسه عند البدء بجبر منطقي.

تُسمى الدالة بين حلقتين بوليتين متماثلة الحلقات إذا وفقط إذا كانت متماثلة الجبر البولياني المناظر لهما. علاوة على ذلك، تُسمى مجموعة جزئية من حلقة بولية مثالية حلقة (مثالية حلقة أولية، مثالية حلقة عظمى) إذا وفقط إذا كانت مثالية ترتيب (مثالية ترتيب أولية، مثالية ترتيب عظمى) للجبر البولياني. وتُقابل حلقة القسمة لحلقة بولية بتردد مثالي حلقة جبر العوامل للجبر البولياني المناظر بتردد مثالي الترتيب المناظر له.

كل حلقة منطقية R تحقق x ⊕ x = 0 لجميع قيم x في R ، لأننا نعلم

x ⊕ x = ( x ⊕ x ) ² = x ² ⊕ x ² ⊕ x ² ⊕ x ² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

وبما أن ( R , ⊕) زمرة تبديلية، يمكننا طرح x ⊕ x من طرفي هذه المعادلة، مما يعطي x ⊕ x = 0. ويُظهر برهان مماثل أن كل حلقة بولية تبديلية .

x ⊕ y = ( x ⊕ y ) ² = x ² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y ² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y وهذا ينتج عنه xy ⊕ yx = 0 ، مما يعني أن xy = yx (باستخدام الخاصية الأولى أعلاه).

تُظهر الخاصية x ⊕ x = 0 أن أي حلقة بولية هي جبر ترابطي على الحقل F² يحتوي على عنصرين، بطريقة واحدة فقط. على _وجه الخصوص ، أي حلقة بولية منتهية يكون عدد عناصرها قوة للعدد اثنين . ليس كل جبر ترابطي أحادي على F² حلقة بولية: لنأخذ على سبيل المثال _حلقة كثيرات الحدود F² [ X ] _.

حلقة القسمة R / I لأي حلقة منطقية R بتردد أي مثالي I هي أيضاً حلقة منطقية. وبالمثل، فإن أي حلقة جزئية من حلقة منطقية هي حلقة منطقية.

أي موضع RS ⁻¹ لحلقة منطقية R بواسطة مجموعة S ⊆ R هو حلقة منطقية، لأن كل عنصر في الموضع هو عنصر متطابق.

إن الحلقة القصوى لحواصل القسمة Q ( R ) (بمعنى أوتومي ولامبيك ) لحلقة بولية R هي حلقة بولية، لأن كل تشاكل داخلي جزئي هو تشاكل متطابق. ^{[ 6 ]}

كل مثالي أولي P في حلقة بولية R هو مثالي أعظمي : حلقة القسمة R / P هي مجال تكاملي وحلقة بولية أيضًا، لذا فهي متماثلة مع الحقل F² _، مما يدل على عظمة P. وبما أن المثاليات العظمى تكون دائمًا أولية، فإن المثاليات الأولية والمثاليات العظمى تتطابق في الحلقات البولية.

كل مثالي مولد نهائيًا في حلقة بولية هو مثالي رئيسي (في الواقع، ( س ، ص ) = ( س + ص + س ص )) . علاوة على ذلك، بما أن جميع العناصر متساوية القوة، فإن الحلقات البولية هي حلقات فون نيومان منتظمة تبديلية ، وبالتالي فهي مسطحة تمامًا، مما يعني أن كل وحدة نمطية عليها مسطحة .

يُعدّ التوحيد في الحلقات البوليانية مسألة قابلة للتقرير ، ^{[ 7 ]} أي توجد خوارزميات لحل أي معادلات على الحلقات البوليانية. ويُعتبر كلٌّ من التوحيد والمطابقة في الحلقات البوليانية الحرة المولدة نهائيًا مسألةً كاملةً من فئة NP ، وكلاهما مسألة صعبة من فئة NP في الحلقات البوليانية المعروضة نهائيًا . ^{[ 8 ]} (في الواقع، بما أن أي مسألة توحيد f ( X ) = g ( X ) في حلقة بوليانية يمكن إعادة كتابتها على شكل مسألة مطابقة f ( X ) + g ( X ) = 0 ، فإن المسألتين متكافئتان).

يكون التوحيد في الحلقات البوليانية وحدويًا إذا كانت جميع رموز الدوال غير المفسرة صفرية، ومنتهيًا خلاف ذلك (أي إذا كانت رموز الدوال التي لا تظهر في توقيع الحلقات البوليانية كلها ثوابت، فإنه يوجد موحد عام للغاية ، وإلا فإن المجموعة الكاملة الدنيا للموحدات تكون منتهية). ^{[ 9 ]}

• مجموع حلقي - الصيغة الطبيعية

• أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ ماكدونالد، آي جي (1969)، مقدمة في الجبر التبادلي ، دار ويستفيو للنشر، رقم ISBN 978-0-201-40751-8
• بوديه، أ.؛ جوانو، ج.-ب .؛ شميدت-شاوس، م. (1989). "توحيد الحلقات البوليانية والمجموعات الأبيلية". مجلة الحساب الرمزي . 8 (5): 449-477 . doi : 10.1016/s0747-7171(89)80054-9 .
• برينرد، ب.؛ لامبيك، ج. (1959). "حول حلقة قسمة حلقة بولية" . النشرة الرياضية الكندية . 2 : 25-29 . doi : 10.4153/CMB-1959-006-x .
• فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد (  الطبعة الثانية)، أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 978-0-201-01984-1
• هيرستين، إنديانا (1975)، مواضيع في الجبر (الطبعة الثانية  )، جون وايلي وأولاده
• كاندري-رودي، عبد الإله؛ كابور، ديباك؛ ناريندران، بالياث (1985). "مقاربة نظرية مثالية لمسائل الكلمات ومسائل التوحيد على الجبر التبادلي المعروض بشكل محدود". تقنيات إعادة الكتابة وتطبيقاتها . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  202. الصفحات 345-364 . doi : 10.1007/3-540-15976-2_17 . ISBN  978-3-540-15976-6.
• كوبلبرغ، سابين (1989). دليل الجبر البولياني، المجلد 1. أمستردام: نورث هولاند. ISBN 0-444-70261-X.
• مارتن، يو.؛ نيبكو، تي. (1986). "التوحيد في الحلقات البوليانية". في: يورغ هـ. سيكمان (محرر). وقائع المؤتمر الثامن لـ CADE . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  230. سبرينغر. الصفحات 506-513 . doi : 10.1007/3-540-16780-3_115 . ISBN  978-3-540-16780-8.
• مكوي، نيل هـ. (1968)، مقدمة في الجبر الحديث (  طبعة منقحة)، ألين وبيكون ، رقم مكتبة الكونغرس 68015225 
• ريابوخين، يو. إم. (2001) [1994]، "الحلقة البوليانية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

• جون أرمسترونج، حلقات منطقية