مجموعة ثنائية السطوح لانهائية

p1m1, ( *∞∞ )	ص2، (22∞)	p2mg, (2*∞)
في بُعدين، تتشابه ثلاث مجموعات زخرفية p1m1 و p2 و p2mg مع المجموعة Dih∞ . ولكل منها مولدان. ​​الأول له خطان انعكاس متوازيان، والثاني له دورانان ثنائيان، والأخير له مرآة واحدة ودوران ثنائي واحد.

في الرياضيات ، تعتبر المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية Dih _∞ مجموعة لانهائية ذات خصائص مماثلة لتلك الخاصة بالمجموعات ثنائية السطوح المحدودة .

في الهندسة ثنائية الأبعاد ، تمثل المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية تناظر مجموعة الزخرفة ، p 1 m 1، والتي تُرى على أنها مجموعة لانهائية من الانعكاسات المتوازية على طول محور.

تُولَّد كل مجموعة ثنائية السطوح بواسطة دوران r وانعكاس s؛ إذا كان الدوران مضاعفًا نسبيًا لدوران كامل، فإنه يوجد عدد صحيح n بحيث يكون r_ⁿ هو العنصر المحايد، وبالتالي نحصل على مجموعة ثنائية السطوح منتهية من الرتبة 2ⁿ . أما إذا لم يكن الدوران مضاعفًا نسبيًا لدوران كامل، فلا يوجد عدد صحيح n يحقق هذا الشرط ، وتكون المجموعة الناتجة ذات عدد لا نهائي من العناصر وتُسمى Dih_{_∞}. ولها تمثيلات

${\displaystyle \langle r,s\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle \,\!}$

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle \,\!}$^{[ 1 ]}

وهي متماثلة مع حاصل الضرب شبه المباشر لـ Z و Z /2، ومع حاصل الضرب الحر Z /2  * Z /2. وهي زمرة التماثل الذاتي للرسم البياني المكون من مسار لانهائي من كلا الجانبين. وبالمثل، فهي زمرة التناظر لـ Z (انظر أيضًا زمر التناظر في بُعد واحد )، وزمرة التبديلات α : Z → Z التي تحقق | i − j | = | α ( i ) − ^α ( j ) |، لكل i و j في Z. ^{[ 2} ]        

يمكن تعريف المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية أيضًا على أنها الشكل الكامل للمجموعة الدورية اللانهائية .

ومن الأمثلة على التناظر ثنائي السطوح اللانهائي هو التداخل في الإشارات ذات القيم الحقيقية.

عند أخذ عينات من دالة بتردد f _s (فترات 1/ f _s )، تُنتج الدوال التالية مجموعات متطابقة من العينات: {sin(2 π ( f  + Nf _s ) t + φ ), N = 0, ±1, ±2, ±3, ...          }. وبالتالي، فإن القيمة المُكتشفة للتردد f دورية ، مما يُعطي عنصر الإزاحة r = f _s . يُقال إن الدوال وتردداتها هي أسماء بديلة لبعضها البعض. مع ملاحظة المتطابقة المثلثية:

${\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi )={\begin{cases}+\sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi ),&f+Nf_{s}\geq 0,\\[4pt]-\sin(2\pi |f+Nf_{s}|t-\varphi ),&f+Nf_{s}<0,\end{cases}}}$

يمكننا كتابة جميع ترددات الأسماء المستعارة كقيم موجبة:${\textstyle |f+Nf_{s}|}$يُعطي هذا عنصر الانعكاس ( f )، أي f  ↦ − f . على سبيل المثال، مع f = 0.6 f _s و N = −1 ، فإن f + Nf _s = −0.4 f _s ينعكس إلى 0.4 f _s ، مما ينتج عنه النقطتان السوداوان في أقصى اليسار في الشكل. ^{[ ملاحظة 1 ]} النقطتان الأخريان تُقابلان N = −2 و N = 1. كما يُوضح الشكل، توجد تناظرات انعكاس عند 0.5 f _s ، و f _s ، و 1.5 f _s ، إلخ. رسميًا، يكون ناتج القسمة تحت تأثير التداخل هو الفضاء المداري [0، 0.5 f _s ]، مع تأثير Z /2 عند نقاط النهاية (نقاط الفضاء المداري)، وهو ما يُقابل الانعكاس.    

• المجموعة المتعامدة O(2)، وهي تعميم لانهائي آخر للمجموعات ثنائية السطوح المحدودة
• المجموعة المتناظرة الأفينية ، وهي عائلة من المجموعات تشمل المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية