تدوين أوربيفولد

في الهندسة ، يُعدّ ترميز الفضاء المداري (أو توقيع الفضاء المداري ) نظامًا ابتكره عالم الرياضيات ويليام ثورستون وروّج له جون كونواي ، لتمثيل أنواع مجموعات التناظر في الفضاءات ثنائية الأبعاد ذات الانحناء الثابت. وتكمن ميزة هذا الترميز في أنه يصف هذه المجموعات بطريقة تُشير إلى العديد من خصائصها؛ فعلى وجه الخصوص، يتبع ويليام ثورستون في وصف الفضاء المداري الناتج عن قسمة الفضاء الإقليدي على المجموعة قيد الدراسة.

تشمل المجموعات التي يمكن تمثيلها بهذه الصيغة مجموعات النقاط على الكرة ( $S^{2}$ ، ومجموعات الزخارف الجدارية ومجموعات ورق الجدران في المستوى الإقليدي ( $E^{2}$ ونظائرها على المستوى الزائدي ( $H^{2}$ ).

تعريف الترميز

يمكن أن تحدث الأنواع التالية من التحويلات الإقليدية في مجموعة موصوفة برمز المدار:

انعكاس عبر خط (أو مستوى)
الترجمة بواسطة متجه
دوران من رتبة محدودة حول نقطة
دوران لانهائي حول خط في الفضاء ثلاثي الأبعاد
انعكاس الانزلاق، أي الانعكاس متبوعًا بالانتقال.

يُفترض أن جميع عمليات التحويل التي تحدث تشكل مجموعة فرعية منفصلة من تناظرات المجموعة التي يتم وصفها.

يتم تمثيل كل مجموعة في تدوين المدارات بواسطة سلسلة محدودة تتكون من الرموز التالية:

الأعداد الصحيحة الموجبة $1,2,3,\dots$
رمز اللانهاية ، $\infty$
النجمة ، *
الرمز o (دائرة مصمتة في الوثائق القديمة)، والذي يُطلق عليه اسم " العجيبة" و" المقبض" لأنه يُمثل طوبولوجيًا سطحًا مغلقًا على شكل حلقة (مقبض واحد). تتكرر الأنماط بمقدار إزاحتين.
الرمز $\times$ (دائرة مفتوحة في الوثائق القديمة)، والتي تسمى معجزة وتمثل غطاءً متقاطعًا طوبولوجيًا حيث يتكرر النمط كصورة معكوسة دون عبور خط المرآة.

يمثل النص المكتوب بخط غامق مجموعة من التناظرات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. أما النص غير المكتوب بخط غامق فيمثل مجموعة من التناظرات في المستوى الإقليدي، والذي يُفترض أنه يحتوي على إزاحتين مستقلتين.

كل رمز يقابل تحويلاً مميزاً:

يشير العدد الصحيح n الموجود على يسار علامة النجمة إلى دوران من الرتبة n حول نقطة دوران
تشير علامة النجمة (*) إلى الانعكاس
يشير العدد الصحيح n الموجود على يمين علامة النجمة إلى تحويل من الرتبة 2 n يدور حول نقطة متغيرة وينعكس من خلال خط (أو مستوى).
أن $\times$ يشير إلى انعكاس انزلاقي
الرمز $\infty$ يشير هذا إلى تناظر دوراني لانهائي حول خط؛ ولا يمكن أن يحدث إلا في مجموعات الخطوط العريضة. وبتعبير مجازي، يمكننا القول إن هذه المجموعة هي مجموعة فرعية من تناظرات المستوى الإقليدي ذات إزاحة مستقلة واحدة فقط. وتظهر مجموعات الزخارف بهذه الطريقة.
يشير الرمز الاستثنائي o إلى وجود إزاحتين مستقلتين خطيًا بالضبط.

أوربيفولدز جيدة

يُطلق على رمز المدار اسم جيد إذا لم يكن أحد الرموز التالية: p ، pq ، * p ، * pq ، حيث p ، q ≥ 2، و p ≠ q .

الكيرالية واللا كيرالية

يكون الجسم كيراليًا إذا لم تحتوي مجموعة التناظر الخاصة به على أي انعكاسات؛ وإلا فإنه يُسمى غير كيرالي . ويكون الفضاء المداري المقابل قابلاً للتوجيه في الحالة الكيرالية وغير قابل للتوجيه في الحالة الأخرى.

خاصية أويلر والترتيب

يمكن قراءة خاصية أويلر للمتشعب المداري من رمز كونواي الخاص به، كما يلي. لكل خاصية قيمة:

يُعتبر الحرف n بدون علامة النجمة أو قبلها بمثابة ${\frac {n-1}{n}}$
يُعتبر الحرف n الذي يلي علامة النجمة بمثابة ${\frac {n-1}{2n}}$
علامة النجمة و $\times$ يُحسب كـ 1
يُحسب o كـ 2.

طرح مجموع هذه القيم من 2 يعطي خاصية أويلر.

إذا كان مجموع قيم الخصائص يساوي 2، فإن الترتيب يكون لانهائيًا، أي أن الرمز يمثل مجموعة ورق جدران أو مجموعة إفريز. في الواقع، تشير "نظرية كونواي السحرية" إلى أن مجموعات ورق الجدران السبعة عشر هي تحديدًا تلك التي يكون مجموع قيم خصائصها مساويًا لـ 2. وإلا، فإن الترتيب يساوي 2 مقسومًا على خاصية أويلر.

مجموعات متساوية

المجموعات التالية متماثلة:

1* و *11
22 و 221
* 22 و *221
2* و 2*1.

وذلك لأن الدوران أحادي الطي هو الدوران "الفارغ".

المجموعات ثنائية الأبعاد

ندفة الثلج المثالية تتمتع بتناظر سداسي (6•).

يتمتع الشكل الخماسي بالتناظر *5•، والصورة الكاملة مع الأسهم 5•.

علم هونغ كونغ له تناظر دوراني خماسي، 5•.

يمكن وصف تناظر جسم ثنائي الأبعاد يفتقر إلى التناظر الانتقالي بنوع التناظر ثلاثي الأبعاد ، وذلك بإضافة بُعد ثالث إلى الجسم دون إضافة أو إخلال بالتناظر. على سبيل المثال، بالنسبة لصورة ثنائية الأبعاد، يمكننا اعتبار قطعة كرتون معروضة عليها تلك الصورة على أحد وجهيها؛ يجب أن يكون شكل الكرتون بحيث لا يُخل بالتناظر، أو يمكن تخيله على أنه لانهائي. وبالتالي، لدينا n • و * n •. تُضاف النقطة (•) إلى المجموعات أحادية وثنائية الأبعاد للدلالة على وجود نقطة ثابتة. (في ثلاثة أبعاد، توجد هذه المجموعات في فضاء مداري ثنائي الأبعاد من الرتبة n، ويتم تمثيلها بـ nn و * nn ).

وبالمثل، يمكن رسم صورة أحادية البعد أفقيًا على قطعة من الورق المقوى، مع إمكانية تجنب التناظر الإضافي بالنسبة لخط الصورة، مثلاً برسم شريط أفقي أسفل الصورة. وبالتالي، فإن مجموعات التناظر المنفصلة في بُعد واحد هي *•، *1•، ∞ •، و* ∞ •.

هناك طريقة أخرى لإنشاء جسم ثلاثي الأبعاد من جسم أحادي البعد أو ثنائي الأبعاد لوصف التناظر وهي أخذ حاصل الضرب الديكارتي للجسم وجسم غير متناظر ثنائي الأبعاد أو أحادي البعد، على التوالي.

جداول المراسلات

كروي

المجالات الأساسية لمجموعات النقاط ثلاثية الأبعاد العاكسة
(*11)، C _1v = C _s	(*22)، C _2v	(*33)، C _3v	(*44)، C _4v	(*55)، C _5v	(*66)، C _6v
الطلب رقم 2	الطلب رقم 4	الطلب رقم 6	الطلب رقم 8	الطلب رقم 10	الطلب رقم ١٢
(*221)، D _1h = C _2v	(*222)، D _2h	(*223)، D _{3 ساعات}	(*224)، D _{4 ساعات}	(*225)، D _{5 ساعات}	(*226)، D _{6 ساعات}
الطلب رقم 4	الطلب رقم 8	الطلب رقم ١٢	الطلب رقم 16	الطلب رقم 20	الطلب رقم 24
(*332)، T _d		(*432)، _أوه		(*532)، أنا _ح
الطلب رقم 24		الطلب رقم 48		الطلب رقم 120

مجموعات التناظر الكروي ^{[ 1 ]}
توقيع أوربيفولد	كوكسيتر	شونفليس	هيرمان-ماوجين	طلب
المجموعات متعددة السطوح
*532	[3,5]	أنا	53 مترًا	120
532	[3,5] ⁺	أنا	532	60
*432	[3,4]	أوه	m3m	48
432	[3,4] ⁺	يا	432	24
*332	[3,3]	تي _دي	4 3م	24
3*2	[3 ⁺ ,4]	ذ	م3	24
332	[3,3] ⁺	تي	23	12
المجموعات ثنائية السطوح والحلقية: ن = 3، 4، 5 ...
*22n	[2,n]	D _nh	n/mmm أو 2 n m2	4ن
2*ن	[2 ⁺ ,2n]	د _ند	2 n 2m أو n m	4ن
22ن	[2,n] ⁺	د _ن	ن2	2ن
*nn	[ن]	سي _{إن في}	نانومتر	2ن
ن*	[ن ⁺ ،2]	سي _{إن إتش}	n/m أو 2 n	2ن
ن×	[2 ⁺ ,2n ⁺ ]	S _2n	2 ن أو ن	2ن
nn	[ن] ⁺	سي _إن	ن	ن
حالات خاصة
*222	[2,2]	D _2h	2/mmm أو 2 2 م2	8
2*2	[2 ⁺ ,4]	D _2d	2 2 2م أو 2 م	8
222	[2,2] ⁺	د ₂	22	4
*22	[2]	C _2v	2 متر	4
2*	[2 ⁺ ,2]	C _2h	2/م أو 2 2	4
2×	[2 ⁺ ،4 ⁺ ]	S ₄	2 2 أو 2	4
22	[2] ⁺	ج ₂	2	2
*22	[1,2]	D _1h = C _2v	1/ممم أو 2 1 م2	4
2*	[2 ⁺ ,2]	D _1d = C _2h	2 1 2 متر أو 1 متر	4
22	[1,2] ⁺	D ₁ = C ₂	12	2
*1	[ ]	C _1v = C _s	1 متر	2
1*	[2,1 ⁺ ]	C _1h = C _s	1/م أو 2 1	2
1×	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	S ₂ = C _i	2 1 أو 1	2
1	[ ] ⁺	ج ₁	1	1

المستوى الإقليدي

مجموعات الزخارف الجدارية

مجموعات الزخارف الجدارية
IUC	كوكس.	شون. ^*	أوربيفولد		وصف
ص1	[∞] ⁺	C _∞Z _∞	∞∞	قفزة	(T) عمليات الإزاحة فقط: يتم توليد هذه المجموعة بشكل فردي، عن طريق إزاحة بأصغر مسافة يكون النمط دوريًا عليها.
ص11غ	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ]	S _∞ Z _∞	∞×	خطوة	(TG) الانعكاسات الانزلاقية والانتقالات: يتم توليد هذه المجموعة بشكل فردي، عن طريق انعكاس انزلاقي، مع الحصول على الانتقالات من خلال الجمع بين انعكاسين انزلاقيين.
p1m1	[∞]	C _∞vDih _∞	*∞∞	مشى جانبا	(TV) خطوط الانعكاس الرأسية والانتقالات: المجموعة هي نفسها المجموعة غير التافهة في الحالة أحادية البعد؛ يتم توليدها عن طريق الانتقال والانعكاس في المحور الرأسي.
ص2	[∞,2] ⁺	D _∞ Dih _∞	22∞	القفزة الدوارة	(TR) الانتقالات والدوران 180 درجة: يتم توليد المجموعة عن طريق الانتقال والدوران 180 درجة.
p2mg	[∞,2 ⁺ ]	D _∞d Dih _∞	2*∞	دوار جانبي	(TRVG) خطوط الانعكاس الرأسية، انعكاسات الانزلاق، الانتقالات والدوران 180 درجة: تنشأ الانتقالات هنا من انعكاسات الانزلاق، لذلك يتم توليد هذه المجموعة بواسطة انعكاس انزلاقي إما ودوران أو انعكاس رأسي.
ص11م	[∞ ⁺ ,2]	C _∞h Z _∞ ×Dih ₁	∞*	قفزة	(THG) الإزاحات، والانعكاسات الأفقية، والانعكاسات الانزلاقية: تنشأ هذه المجموعة من إزاحة وانعكاس حول المحور الأفقي. وينشأ الانعكاس الانزلاقي هنا نتيجةً لتركيب الإزاحة والانعكاس الأفقي.
p2mm	[∞,2]	D _∞h Dih _∞ × Dih ₁	*22∞	قفزة دورانية	(TRHVG) خطوط الانعكاس الأفقية والرأسية، والتحويلات والدوران بزاوية 180 درجة: تتطلب هذه المجموعة ثلاثة مولدات، مع مجموعة توليد واحدة تتكون من تحويل، وانعكاس في المحور الأفقي، وانعكاس عبر محور رأسي.

^* تم توسيع ترميز مجموعة النقاط لشونفليس هنا ليشمل حالات لا نهائية من تناظرات النقاط ثنائية السطوح المتكافئة

^§ يوضح الرسم التخطيطي مجالًا أساسيًا واحدًا باللون الأصفر، مع خطوط انعكاس باللون الأزرق، وخطوط انعكاس انزلاقية باللون الأخضر المتقطع، ومتجهات انتقالية عمودية باللون الأحمر، ونقاط دوران ثنائية على شكل مربعات خضراء صغيرة.

مجموعات خلفيات الشاشة

المجالات الأساسية للمجموعات الانعكاسية الإقليدية
(*442)، ص4م	(4*2)، ص4غ

(*333)، ص3م	(632)، ص6

17 مجموعة خلفيات ^{[ 3 ]}
توقيع أوربيفولد	كوكسيتر	هيرمان- ماوجين	سبيسر نيغلي	بوليا غوغنهايم	فيجيس توث كادويل
*632	[6,3]	ص6م	ج ⁽¹⁾_{6 فولت}	د ₆	W ¹₆
632	[6,3] ⁺	ص6	ج ⁽¹⁾₆	ج ₆	W ₆
*442	[4,4]	p4m	ج ⁽¹⁾₄	د ^*₄	W ¹₄
4*2	[4 ⁺ ,4]	p4g	C ^II_4v	D ^o₄	W ²₄
442	[4,4] ⁺	ص4	ج ⁽¹⁾₄	ج ₄	W ₄
*333	[3 ^[3] ]	ص3م1	C ^II_3v	D ^*₃	W ¹₃
3*3	[3 ⁺ ,6]	ص31م	C ^I_3v	D ^o₃	W ²₃
333	[3 ^[3] ] ⁺	ص3	C ^I₃	ج ₃	W ₃
*2222	[∞,2,∞]	pmm	C ^I_2v	D ₂ kkkk	W ²₂
2*22	[∞,2 ⁺ ,∞]	سم	ج ⁴_2v	D ₂ كجم كجم	W ¹₂
22*	[(∞,2) ⁺ ,∞]	بي إم جي	C ^III_2v	D ₂ kkgg	W ³₂
22×	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]	pgg	C ^II_2v	D ₂ gggg	W ⁴₂
2222	[∞,2,∞] ⁺	ص2	ج ⁽¹⁾₂	ج ₂	W ₂
**	[∞ ⁺ ,2,∞]	مساءً	C ^I_s	D ₁ kk	W ²₁
*×	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞]	سم	ج ^٣_س	D ₁ كجم	W ¹₁
××	[∞ ⁺ ,(2,∞) ⁺ ]	صفحة	ج ^٢_٢	D ₁ gg	W ³₁
o	[∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ]	ص1	ج ⁽¹⁾₁	ج ₁	W ₁

المستوى الزائدي

نموذج قرص بوانكاريه للمثلثات الأساسية للمجال
مثال على المثلثات القائمة الزاوية (*2pq)
237	*238	*239	*23 ∞
*245	246	*247	*248	* ∞ 42
*255	*256	*257	*266	*2 ∞ ∞
مثال على المثلثات العامة (*pqr)
*334	335	*336	*337	*33 ∞
*344	*366	*3 ∞ ∞	*6 ³	* ∞ ³
مثال على المضلعات العليا (*pqrs...)
*2223	*(23) ²	*(24) ²	*3 ⁴	*4 ⁴
2 ⁵	*2 ⁶	2 ⁷	*2 ⁸
*222 ∞	*(2 ∞ ) ²	* ∞ ⁴	*2 ^∞	* ∞ ^∞

المجموعات الزائدية القليلة الأولى، مرتبة حسب خاصية أويلر الخاصة بها، هي:

مجموعات التناظر الزائدي ^{[ 4 ]}
−1/ χ	أوربيفولدز	كوكسيتر
84	237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3] ⁺
40	*245	[5,4]
36–26.4	239، 2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	2 3 12، 246، 334، 34، 238	[12,3]، [6,4]، [(4,3,3)]، [3 ⁺ ,8]، [8,3] ⁺
22.3–21	2 3 13، 2 3 14	[13,3], [14,3]
20	2 3 15، 255، 5*2، 245	[15,3]، [5,5]، [5 ⁺ ,4]، [5,4] ⁺
19.2	*2 3 16	[16,3]
18 + 2 ⁄ 3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3]، [9,3] ⁺
17.5–16.2	2 3 19، 2 3 20، 2 3 21، 2 3 22، *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	2 3 24، 248	[24,3], [8,4]
15	2 3 30، 256، 335، 35، 2 3 10	[30,3]، [6,5]، [(5,3,3)]، [3 ⁺ ,10]، [10,3] ⁺
14 + 2 ⁄ 5 – 13 + 1 ⁄ 3	2 3 36 ... 2 3 70، 249، 2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13 + 1 ⁄ 5	*2 3 66، 2 3 11	[66,3]، [11,3] ⁺
12 + 8 ⁄ 11	2 3 105، 257	[105,3], [7,5]
12 + 4 ⁄ 7	2 3 132، 2 4 11 ...	[132,3]، [11,4]، ...
12	23 ∞ ، 2 4 12، 266، 62، 336، 36، 344، 43، 2223، 223، 2 3 12، 246، 334	[ ∞ ,3] [12,4], [6,6], [6 ⁺ ,4], [(6,3,3)], [3 ⁺ ,12], [(4,4,3)], [4 ⁺ ,6], [ ∞ ,3, ∞ ], [12,3] ⁺ , [6,4] ⁺ [(4,3,3)] ⁺
...

انظر أيضاً

طفرة المدارات
تدوين الألياف - امتداد لتدوين المدارات لمجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد

مراجع

↑ تناظرات الأشياء، الملحق أ، صفحة 416
↑ أنماط الزخارف الجدارية: ابتكر عالم الرياضيات جون كونواي أسماءً تتعلق بآثار الأقدام لكل مجموعة من مجموعات الزخارف الجدارية.
↑ تناظرات الأشياء، الملحق أ، صفحة 416
↑ تناظرات الأشياء، الفصل 18، المزيد عن المجموعات الزائدية، تعداد المجموعات الزائدية، ص 239

جون إتش. كونواي، أولاف ديلجادو فريدريش، دانيال إتش. هوسون، وويليام بي. ثورستون. حول مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد. مساهمات في الجبر والهندسة ، 42(2):475-507، 2001.
JH Conway, DH Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Stringural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
جيه إتش كونواي (1992). "ترميز المدارات للمجموعات السطحية". في: إم دبليو ليبك وجيه ساكسل (محرران)، المجموعات، التوافقية والهندسة ، وقائع ندوة جمعية لندن الرياضية في دورهام، 5-15 يوليو، دورهام، المملكة المتحدة، 1990؛ سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية 165. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج. ص 438-447
جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5
هيوز، سام (2022)، "علم التماثل للمجموعات الفوشية والمجموعات البلورية غير الإقليدية"، مخطوطات رياضية ، 170 ( 3-4 ): 659-676 ، arXiv : 1910.00519 ، Bibcode : 2019arXiv191000519H ، doi : 10.1007/s00229-022-01369-z ، S2CID 203610179

روابط خارجية

دليل ميداني للمساحات المدارية (ملاحظات من محاضرة بعنوان "الهندسة والخيال" في مينيابوليس، مع جون كونواي، وبيتر دويل، وجين جيلمان، وبيل ثورستون، في الفترة من 17 إلى 28 يونيو 1991. انظر أيضًا ملف PDF، 2006 )
برنامج Tegula لعرض التبليطات ثنائية الأبعاد للمستوى والكرة والمستوى الزائدي، وتعديل مجموعات التناظر الخاصة بها في تدوين المدارات.

[1] تناظرات الأشياء، الملحق أ، صفحة 416

[2] أنماط الزخارف الجدارية: ابتكر عالم الرياضيات جون كونواي أسماءً تتعلق بآثار الأقدام لكل مجموعة من مجموعات الزخارف الجدارية.

[3] تناظرات الأشياء، الملحق أ، صفحة 416

[4] تناظرات الأشياء، الفصل 18، المزيد عن المجموعات الزائدية، تعداد المجموعات الزائدية، ص 239

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗