فونون

الفونون هو شبه جسيم ، وهو عبارة عن إثارة جماعية في ترتيب دوري مرن للذرات أو الجزيئات في المادة المكثفة ، وتحديدًا في المواد الصلبة وبعض السوائل . في سياق الأجسام المحصورة بصريًا، يمكن تعريف نمط الاهتزاز الكمي بأنه فونون طالما أن الطول الموجي للنمط الاهتزازي أصغر من حجم الجسم. يُعد الفونون نوعًا من شبه الجسيمات في الفيزياء ، ^{[ 1 ]} وهو حالة مثارة في التكميم الكمي لأنماط اهتزازات الهياكل المرنة للجسيمات المتفاعلة. يمكن اعتبار الفونونات موجات صوتية كمية ، على غرار الفوتونات كموجات ضوئية كمية . ^{[ 2 ]}

تُعدّ دراسة الفونونات جزءًا مهمًا من فيزياء المادة المكثفة. فهي تلعب دورًا رئيسيًا في العديد من الخصائص الفيزيائية لأنظمة المادة المكثفة، مثل التوصيل الحراري والتوصيل الكهربائي ، بالإضافة إلى نماذج تشتت النيوترونات والتأثيرات ذات الصلة.

طُرح مفهوم الفونونات عام 1930 على يد الفيزيائي السوفيتي إيغور تام . واقترح ياكوف فرينكل اسم "فونون" . ^{[ 3 ]} وهو مشتق من الكلمة اليونانية φωνή ( فونيه )، والتي تعني الصوت ، لأن الفونونات ذات الأطوال الموجية الطويلة هي التي تُنتج الصوت . ويؤكد هذا الاسم على التشابه مع كلمة "فوتون" ، حيث تُمثل الفونونات ازدواجية الموجة والجسيم للموجات الصوتية، تمامًا كما تُمثل الفوتونات ازدواجية الموجة والجسيم للموجات الضوئية . وتُظهر المواد الصلبة التي تحتوي على أكثر من ذرة واحدة في أصغر وحدة خلية فونونات صوتية وبصرية .

الفونون هو الوصف الكمومي لحركة اهتزازية أولية تتذبذب فيها شبكة من الذرات أو الجزيئات بانتظام بتردد واحد . ^{[ 4 ]} في الميكانيكا الكلاسيكية، يُشير هذا إلى نمط اهتزاز طبيعي . تكتسب الأنماط الطبيعية أهمية بالغة لأن أي اهتزاز عشوائي للشبكة يُمكن اعتباره تراكبًا لهذه الأنماط الاهتزازية الأولية (انظر تحليل فورييه ). وبينما تُعدّ الأنماط الطبيعية ظواهر موجية في الميكانيكا الكلاسيكية، فإن للفونونات خصائص جسيمية أيضًا، بطريقة ترتبط بازدواجية الموجة والجسيم في الميكانيكا الكمومية.

لا تستخدم المعادلات الواردة في هذا القسم بديهيات ميكانيكا الكم، بل تستخدم علاقات يوجد لها تطابق مباشر في الميكانيكا الكلاسيكية.

على سبيل المثال: تتكون الشبكة البلورية المنتظمة الصلبة (غير المتبلورة ) من N جسيمًا. قد تكون هذه الجسيمات ذرات أو جزيئات. N عدد كبير، ولنقل من رتبة 10²³ ^، أو من رتبة عدد أفوجادرو لعينة نموذجية من مادة صلبة. ولأن الشبكة صلبة، فلا بد أن تؤثر الذرات بقوى على بعضها البعض للحفاظ على كل ذرة قريبة من موضع اتزانها. قد تكون هذه القوى قوى فان دير فالس ، أو روابط تساهمية ، أو تجاذبات كهروستاتيكية ، وغيرها، وكلها ناتجة في النهاية عن القوة الكهربائية . أما القوى المغناطيسية والجاذبية فهي مهملة عمومًا. يمكن وصف القوى بين كل زوج من الذرات بدالة طاقة كامنة V تعتمد على المسافة الفاصلة بين الذرات. الطاقة الكامنة للشبكة بأكملها هي مجموع جميع الطاقات الكامنة بين الأزواج مضروبة في 1/2 للتعويض عن الازدواجية في الحساب: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

حيث يمثل r _i موضع الذرة رقم i ، و V هي طاقة الوضع بين ذرتين.

يصعب حل مسألة الأجسام المتعددة هذه بشكل صريح في كل من الميكانيكا الكلاسيكية والكمية. ولتبسيط المهمة، يُفرض عادةً تقريبان مهمان. أولًا، يُجرى الجمع فقط على الذرات المتجاورة. ورغم أن القوى الكهربائية في المواد الصلبة الحقيقية تمتد إلى ما لا نهاية، إلا أن هذا التقريب يظل صالحًا لأن المجالات الناتجة عن الذرات البعيدة تُحجب فعليًا. ثانيًا، تُعامل الجهود V كجهود توافقية . وهذا جائز طالما بقيت الذرات قريبة من مواضع اتزانها. رسميًا، يتحقق ذلك بتوسيع تايلور لـ V حول قيمتها عند الاتزان حتى الرتبة التربيعية، مما يجعل V متناسبًا مع الإزاحة x² والقوة المرنة متناسبة ببساطة مع ^x . ويبقى الخطأ في تجاهل الحدود ذات الرتب الأعلى صغيرًا إذا بقيت x قريبة من موضع الاتزان.

يمكن تصور الشبكة الناتجة كنظام من الكرات المتصلة بنوابض. يوضح الشكل التالي شبكة مكعبة، وهي نموذج جيد للعديد من أنواع المواد الصلبة البلورية. تشمل الشبكات الأخرى سلسلة خطية، وهي شبكة بسيطة للغاية سنستخدمها قريبًا لنمذجة الفونونات. (للاطلاع على الشبكات الشائعة الأخرى، انظر بنية البلورة ).

يمكن الآن كتابة طاقة الوضع للشبكة على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

هنا، ω هي التردد الطبيعي للجهود التوافقية، والتي يُفترض أنها متساوية لأن الشبكة منتظمة. R _{_i} هو إحداثي موضع الذرة رقم i ، والذي نقيسه الآن من موضع اتزانها. ويُرمز إلى مجموع أقرب الجيران بـ (nn).

من المهم الإشارة إلى أن المعالجة الرياضية الواردة هنا مبسطة للغاية لتسهيل فهمها على غير المتخصصين. وقد تحقق هذا التبسيط من خلال افتراضين أساسيين في صيغة طاقة الوضع الكلية للبلورة. هذان الافتراضان هما: (أ) يمكن كتابة طاقة الوضع الكلية كمجموع تفاعلات ثنائية، و(ب) تتفاعل كل ذرة مع أقرب جيرانها فقط. يُستخدم هذان الافتراضان بشكل محدود في ديناميكيات الشبكة الحديثة. ^{[ 6 ]} ويتمثل النهج الأكثر عمومية في التعبير عن طاقة الوضع بدلالة ثوابت القوة. ^{[ 6 ]} انظر، على سبيل المثال، مقالة ويكيبيديا حول دوال غرين متعددة المقاييس.

موجات الشبكة

بسبب الروابط بين الذرات، يؤدي انزياح ذرة واحدة أو أكثر عن مواضع اتزانها إلى ظهور مجموعة من موجات الاهتزاز تنتشر عبر الشبكة البلورية. إحدى هذه الموجات موضحة في الشكل على اليمين. سعة الموجة تُحدد بانزياح الذرات عن مواضع اتزانها. ويُشار إلى الطول الموجي λ .

يوجد حد أدنى ممكن للطول الموجي، يُحدد بضعف المسافة بين الذرات عند الاتزان (a ). أي طول موجي أقصر من هذا الحد يمكن تحويله إلى طول موجي أطول من 2a ، وذلك بسبب دورية الشبكة البلورية. يمكن اعتبار ذلك نتيجة لنظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات ، حيث تُعتبر نقاط الشبكة البلورية بمثابة "نقاط أخذ عينات" لموجة مستمرة.

لا يمتلك كل اهتزاز شبكي محتمل طول موجة وترددًا محددين بدقة. ومع ذلك، فإن الأنماط الطبيعية تمتلك أطوال موجات وترددات محددة بدقة .

شبكة أحادية البعد

لتبسيط التحليل اللازم لشبكة ذرية ثلاثية الأبعاد، من الملائم نمذجة شبكة أحادية البعد أو سلسلة خطية. هذا النموذج معقد بما يكفي لعرض الخصائص البارزة للفونونات.

العلاج التقليدي

تُفترض القوى بين الذرات خطية وقريبة من بعضها، ويتم تمثيلها بنابض مرن. يُفترض أن كل ذرة عبارة عن جسيم نقطي وأن النواة والإلكترونات تتحرك في خطوة واحدة ( نظرية الحركة الأديباتية ).

n − 1 n n + 1 ← a →     

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→  →→→→ ​

u _{n − 1} u _n u _{n + 1}  

حيث يشير n إلى الذرة رقم n من إجمالي N ، و a هي المسافة بين الذرات عندما تكون السلسلة في حالة توازن، و u _n هي إزاحة الذرة رقم n من موضع توازنها.

إذا كان C هو ثابت المرونة للنابض و m كتلة الذرة، فإن معادلة حركة الذرة رقم n هي

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

هذه مجموعة من المعادلات المترابطة.

بما أن الحلول من المتوقع أن تكون تذبذبية، يتم تعريف إحداثيات جديدة بواسطة تحويل فورييه منفصل ، وذلك لفصلها. ^{[ 7 ]}

يضع

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

هنا، يتوافق المتغير na مع المتغير المستمر x في نظرية الحقل القياسي، ويتحول إليه . وتُعرف Q _k بالإحداثيات الطبيعية لأنماط حقل الاستمرارية.${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$مع${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$ل${\displaystyle j=1\dots N}$.

يؤدي التعويض في معادلة الحركة إلى المعادلات المنفصلة التالية (يتطلب هذا معالجة كبيرة باستخدام علاقات التعامد والاكتمال لتحويل فورييه المنفصل)، ^{[ 8 ]}

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

هذه هي معادلات المذبذبات التوافقية المنفصلة التي لها الحل التالي

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

يمثل كل إحداثي طبيعي Q _k نمط اهتزاز مستقل للشبكة مع العدد الموجي k ، وهو ما يُعرف بالنمط الطبيعي .

المعادلة الثانية، لـ ω _k ، تُعرف باسم علاقة التشتت بين التردد الزاوي والعدد الموجي .

في حالة الحد المتصل ، عندما a → 0 و N → ∞ مع تثبيت Na ، يصبح u _n → φ ( x ) ، وهو حقل قياسي، و ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$وهذا يرقى إلى نظرية المجال القياسي الحر الكلاسيكية ، وهي عبارة عن مجموعة من المذبذبات المستقلة.

العلاج الكمي

تتكون السلسلة التوافقية الكمومية أحادية البعد من N ذرة متطابقة. هذا هو أبسط نموذج كمومي لشبكة تسمح بنشوء الفونونات منها. ويمكن تعميم الصيغة الرياضية لهذا النموذج بسهولة إلى بعدين وثلاثة أبعاد.

على عكس القسم السابق، لا يتم تحديد مواقع الكتل بواسطة${\displaystyle u_{i}}$ولكن بدلاً من ذلك بواسطة${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$كما تم قياسها من مواضع اتزانها. (أي${\displaystyle x_{i}=0}$إذا كان الجسيم${\displaystyle i}$(في وضع التوازن.) في بعدين أو أكثر،${\displaystyle x_{i}}$هي كميات متجهة. الهاميلتوني لهذا النظام هو

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

حيث m هي كتلة كل ذرة (بافتراض تساويها للجميع)، و xᵢ و pᵢ _هما معاملا الموضع والزخم، على التوالي، للذرة رقم i ، _ويتم الجمع على أقرب الجيران (nn). مع ذلك، من المتوقع أن تظهر في الشبكة موجات تتصرف كجسيمات. من المعتاد التعامل مع الموجات في فضاء فورييه الذي يستخدم الأنماط الطبيعية لمتجه الموجة كمتغيرات بدلاً من إحداثيات الجسيمات. عدد الأنماط الطبيعية هو نفسه عدد الجسيمات. ومع ذلك، يظل فضاء فورييه مفيدًا جدًا نظرًا لدورية النظام.

يمكن إدخال مجموعة من N "الإحداثيات الطبيعية" Q _k ، والتي تُعرف بأنها تحويلات فورييه المنفصلة لـ x _k و N "الزخم المترافق" Π _k، والتي تُعرف بأنها تحويلات فورييه لـ p _k :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{محاذاة}}}$

اتضح أن الكمية k هي العدد الموجي للفونون، أي 2 π مقسومة على الطول الموجي .

يحافظ هذا الخيار على علاقات التبادل المطلوبة إما في الفضاء الحقيقي أو في فضاء متجه الموجة

$\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(kk'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

من النتيجة العامة

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk}=\sum _ {ك} Q_ {ك} Q_ {-ك} e ^ {iamk}\\\sum _ {l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{محاذاة}}}$

مصطلح طاقة الوضع هو

$// {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

أين

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

يمكن كتابة الهاميلتوني في فضاء متجه الموجة على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

تم تحويل الاقترانات بين متغيرات الموضع؛ إذا كانت Q و Π هيرميتية (وهي ليست كذلك)، فإن الهاميلتوني المحول سيصف N من المذبذبات التوافقية غير المقترنة.

يعتمد شكل التكميم على اختيار الشروط الحدية؛ ولتبسيط الأمر، تُفرض شروط حدية دورية ، تُعرّف الذرة ( N  +  1) على أنها مكافئة للذرة الأولى. فيزيائيًا، يتوافق هذا مع وصل السلسلة من طرفيها. والتكميم الناتج هو

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

يأتي الحد الأعلى لـ n من الحد الأدنى للطول الموجي، وهو ضعف المسافة بين الشبكات a ، كما نوقش أعلاه.

القيم الذاتية للمذبذب التوافقي أو مستويات الطاقة للنمط ω _k هي:

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

المستويات متباعدة بالتساوي عند:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

حيث ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω هي طاقة النقطة الصفرية للمذبذب التوافقي الكمي .

يجب تزويد شبكة المذبذب التوافقي بكمية محددة من الطاقة ħω لدفعها إلى مستوى الطاقة التالي. قياسًا على حالة الفوتون عندما يكون المجال الكهرومغناطيسي مُكمّمًا، يُطلق على كمّ الطاقة الاهتزازية اسم فونون.

تُظهر جميع الأنظمة الكمومية خصائص موجية وجسيمية في آن واحد. ويمكن فهم الخصائص الجسيمية للفونون على أفضل وجه باستخدام طرق التكميم الثاني وتقنيات المؤثرات الموصوفة لاحقًا. ^{[ 9 ]}

علاقة التشتت

بالنسبة لمصفوفة متناوبة أحادية البعد من نوعين من الأيونات أو الذرات ذات الكتلة m ₁ و m ₂ المتكررة بشكل دوري على مسافة a ، والمتصلة بنوابض ذات ثابت زنبركي K ، ينتج نمطان من الاهتزاز: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

حيث k هو متجه الموجة للاهتزاز المرتبط بطول موجته بواسطة ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$.

العلاقة بين التردد ومتجه الموجة، ω  = ω ( k )، تُعرف بعلاقة التشتت . تشير الإشارة الموجبة إلى ما يُسمى بالنمط البصري ، بينما تشير الإشارة السالبة إلى النمط الصوتي . في النمط البصري، تتحرك ذرتان متجاورتان مختلفتان في اتجاهين متعاكسين، بينما في النمط الصوتي تتحركان معًا. 

تُعطى سرعة انتشار الفونون الصوتي، وهي نفسها سرعة الصوت في الشبكة البلورية، بميل منحنى التشتت الصوتي، ∂ωk / ∂k ( انظر سرعة المجموعة ). عند قيم k المنخفضة ₍ أي الأطوال الموجية الطويلة)، يكون منحنى التشتت خطيًا تقريبًا، وتكون سرعة الصوت تقريبًا ωa ، بغض النظر عن تردد الفونون. ونتيجةً لذلك ، يمكن لحزم الفونونات ذات الأطوال الموجية المختلفة (ولكن الطويلة) أن تنتشر لمسافات كبيرة عبر الشبكة البلورية دون أن تتفكك. وهذا هو سبب انتشار الصوت عبر المواد الصلبة دون تشويه يُذكر. إلا أن هذا السلوك لا ينطبق عند قيم k العالية ، أي الأطوال الموجية القصيرة، نظرًا للتفاصيل المجهرية للشبكة البلورية.

بالنسبة لبلورة تحتوي على ذرتين على الأقل في خليتها الأولية ، تُظهر علاقات التشتت نوعين من الفونونات، وهما الأنماط البصرية والصوتية، والتي تُقابل المنحنى الأزرق العلوي والمنحنى الأحمر السفلي في الرسم التخطيطي على التوالي. يُمثل المحور الرأسي طاقة أو تردد الفونون، بينما يُمثل المحور الأفقي متجه الموجة . تُمثل الحدود عند −π/ a و −π / a حدود منطقة بريلوين الأولى . [ 11 ] تُظهر البلورة ^{التي تحتوي على} N ≥ 2 ذرة مختلفة في الخلية الأولية ثلاثة أنماط صوتية: نمط صوتي طولي واحد ونمطان صوتيان عرضيان . عدد الأنماط البصرية هو 3N – 3. يُظهر الشكل السفلي علاقات التشتت لعدة أنماط فونونية في GaAs كدالة لمتجه الموجة k في الاتجاهات الرئيسية لمنطقة بريلوين. ^{[ 10 ]}    

تُعرف هذه الأنماط أيضًا بفروع تشتت الفونونات. عمومًا، إذا وُجدت ذرات p (المشار إليها سابقًا بالرمز N) في الخلية الأولية، فسيكون هناك 3 فروع لتشتت الفونونات في البلورة ثلاثية الأبعاد. من بين هذه الفروع، 3 فروع تُقابل الأنماط الصوتية، بينما تُقابل الفروع المتبقية 3p-3 الأنماط البصرية. في بعض الاتجاهات الخاصة، تتطابق بعض الفروع بسبب التناظر، وتُسمى هذه الفروع بالفروع المتماثلة. في الأنماط الصوتية، تهتز جميع ذرات p في نفس الطور، لذا لا يحدث أي تغيير في الإزاحات النسبية لهذه الذرات أثناء انتشار الموجة.

تُعدّ دراسة تشتت الفونونات مفيدةً لنمذجة انتشار الموجات الصوتية في المواد الصلبة، والتي تتميز بوجود الفونونات. طاقة كل فونون، كما ذُكر سابقًا، هي ħω. تُعطى سرعة الموجة أيضًا بدلالة ω و k . يُشير اتجاه متجه الموجة إلى اتجاه انتشارها، بينما يُحدد متجه استقطاب الفونون اتجاه اهتزاز الذرات. في الواقع، تختلف سرعة الموجة في البلورة عمومًا باختلاف اتجاهات k. بعبارة أخرى، تُعتبر معظم البلورات غير متجانسة الخواص فيما يتعلق بانتشار الفونونات.

تكون الموجة طولية إذا اهتزت الذرات في نفس اتجاه انتشارها. أما في الموجة المستعرضة، فتهتز الذرات عموديًا على اتجاه انتشار الموجة. مع ذلك، باستثناء البلورات المتجانسة، لا تكون الموجات في البلورة طولية أو مستعرضة تمامًا. ففي البلورات غير المتجانسة عمومًا، تكون موجات الفونون طولية أو مستعرضة فقط في اتجاهات تناظر خاصة محددة. أما في الاتجاهات الأخرى، فقد تكون شبه طولية أو شبه مستعرضة. ولتبسيط التسمية، تُسمى هذه الموجات غالبًا بالطولية أو المستعرضة، بينما هي في الواقع شبه طولية أو شبه مستعرضة. تجدر الإشارة إلى أنه في الحالة ثلاثية الأبعاد، يوجد اتجاهان عموديان على خط مستقيم عند كل نقطة على هذا الخط. وبالتالي، يوجد دائمًا موجتان (شبه) مستعرضتان لكل موجة (شبه) طولية.

تم قياس العديد من منحنيات تشتت الفونون عن طريق تشتت النيوترونات غير المرن .

تختلف فيزياء الصوت في السوائل عن فيزياء الصوت في المواد الصلبة، على الرغم من أن كليهما موجات كثافة: فموجات الصوت في السوائل لها مركبات طولية فقط، بينما موجات الصوت في المواد الصلبة لها مركبات طولية وعرضية. ويعود ذلك إلى أن السوائل لا تتحمل إجهادات القص (لكن انظر إلى السوائل المرنة اللزجة ، التي تنطبق فقط على الترددات العالية).

تُظهر المواد الصلبة التي تحتوي على أكثر من ذرة واحدة في أصغر وحدة خلية نوعين من الفونونات: الفونونات الصوتية والفونونات الضوئية.

الفونونات الصوتية هي حركات متماسكة لذرات الشبكة البلورية خارج مواضع اتزانها. إذا كان الإزاحة في اتجاه الانتشار، فإن الذرات ستكون أقرب في بعض المناطق وأبعد في مناطق أخرى، كما هو الحال في الموجة الصوتية في الهواء (ومن هنا جاءت تسمية "صوتية"). أما الإزاحة العمودية على اتجاه الانتشار فتُشابه الموجات على وتر. إذا امتد الطول الموجي للفونونات الصوتية إلى ما لا نهاية، فإن هذا يُقابله إزاحة بسيطة للبلورة بأكملها، وهذا لا يتطلب أي طاقة تشوه. تُظهر الفونونات الصوتية علاقة خطية بين التردد ومتجه الموجة للفونون عند الأطوال الموجية الطويلة. تميل ترددات الفونونات الصوتية إلى الصفر مع زيادة الطول الموجي. غالبًا ما يُشار إلى الفونونات الصوتية الطولية والمستعرضة بالاختصارين LA وTA على التوالي.

الفونونات الضوئية هي حركات ذرية خارج الطور في الشبكة البلورية، حيث تتحرك ذرة إلى اليسار، وجارتها إلى اليمين. يحدث هذا إذا كانت الشبكة البلورية تتكون من ذرتين أو أكثر. سُميت ضوئية لأنها في البلورات الأيونية، مثل كلوريد الصوديوم ، تُحدث تقلبات في الإزاحة استقطابًا كهربائيًا يتفاعل مع المجال الكهرومغناطيسي. ^{[ 2 ]} وبالتالي، يمكن إثارتها بواسطة الأشعة تحت الحمراء : سيحرك المجال الكهربائي للضوء كل أيون صوديوم موجب في اتجاه المجال، وكل أيون كلوريد سالب في الاتجاه المعاكس، مما يتسبب في اهتزاز البلورة.

تتميز الفونونات الضوئية بتردد غير صفري عند مركز منطقة بريلوين، ولا تُظهر أي تشتت بالقرب من حد الطول الموجي الطويل هذا. ويعود ذلك إلى أنها تُقابل نمط اهتزاز تتأرجح فيه الأيونات الموجبة والسالبة في مواقع الشبكة المتجاورة عكس بعضها البعض، مما يُولّد عزم ثنائي قطب كهربائي متغير مع الزمن . تُسمى الفونونات الضوئية التي تتفاعل بهذه الطريقة مع الضوء بالفونونات النشطة في نطاق الأشعة تحت الحمراء . كما يمكن للفونونات الضوئية النشطة في نطاق رامان أن تتفاعل بشكل غير مباشر مع الضوء، من خلال تشتت رامان . غالبًا ما يُشار إلى الفونونات الضوئية بالاختصارين LO وTO، للدلالة على النمطين الطولي والعرضي على التوالي؛ ويُمكن وصف الفرق بين ترددي LO وTO بدقة باستخدام علاقة ليدان-ساكس-تيلر .

عند قياس طاقة الفونونات الضوئية تجريبياً، تُعطى ترددات الفونونات الضوئية أحياناً باستخدام ترميز العدد الموجي الطيفي ، حيث يرمز ω إلى التردد العادي (وليس التردد الزاوي)، ويُعبر عنه بوحدة سم⁻¹ ^. تُحسب القيمة بقسمة التردد على سرعة الضوء في الفراغ . بعبارة أخرى، يتوافق العدد الموجي بوحدة سم⁻¹ ^مع مقلوب طول موجة الفوتون في الفراغ الذي ^له نفس تردد الفونون المقاس. ^{[ 13} ]

قياسًا على الفوتونات وموجات المادة ، عُوملت الفونونات بمتجه الموجة k كما لو كان لها زخم ħk ؛ ^{[ 14 ]} إلا أن هذا ليس صحيحًا تمامًا، لأن ħk ليس زخمًا فيزيائيًا في الواقع؛ بل يُسمى زخم البلورة أو الزخم الزائف . وذلك لأن k يُحدد فقط حتى مجموع متجهات ثابتة ( متجهات الشبكة المقلوبة ومضاعفاتها الصحيحة). على سبيل المثال، في النموذج أحادي البعد، تُعرَّف الإحداثيات الطبيعية Q و Π بحيث

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

أين

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

لأي عدد صحيح n . وبالتالي ، فإن الفونون ذو العدد الموجي k يُكافئ عائلة لانهائية من الفونونات ذات الأعداد الموجية k  ± 2π / a ، و k ± 4π / a ، وهكذا . فيزيائيًا، تعمل متجهات الشبكة المقلوبة كأجزاء إضافية من الزخم التي يمكن للشبكة أن تُضفيها على الفونون. وتخضع إلكترونات بلوخ لمجموعة مماثلة من القيود .   

من الملائم عادةً النظر إلى متجهات الموجات الفونونية k التي لها أصغر قيمة مطلقة | k | ضمن مجموعتها. تُعرّف مجموعة جميع هذه المتجهات منطقة بريلوين الأولى . ويمكن تعريف مناطق بريلوين إضافية كنسخ من المنطقة الأولى، مُزاحة بمتجه شبكي معكوس.

ترتبط الخصائص الديناميكية الحرارية للمادة الصلبة ارتباطًا مباشرًا ببنيتها الفونونية. تتحد جميع الفونونات الممكنة، التي تُوصف بعلاقات تشتت الفونونات، فيما يُعرف بكثافة حالات الفونونات ، والتي تحدد السعة الحرارية للبلورة. وبحكم طبيعة هذا التوزيع، تهيمن الترددات العالية على السعة الحرارية، بينما تُعزى الموصلية الحرارية بشكل أساسي إلى منطقة الترددات المنخفضة.

عند درجة الصفر المطلق ، تكون الشبكة البلورية في حالتها الأرضية ، ولا تحتوي على أي فونونات. أما الشبكة عند درجة حرارة غير صفرية ، فلها طاقة غير ثابتة، بل تتذبذب عشوائيًا حول قيمة متوسطة . وتنتج هذه التذبذبات في الطاقة عن اهتزازات عشوائية في الشبكة، والتي يمكن اعتبارها غازًا من الفونونات. ولأن هذه الفونونات تتولد بفعل درجة حرارة الشبكة، فإنها تُسمى أحيانًا بالفونونات الحرارية. ^{[ 15 ]}

يمكن توليد الفونونات الحرارية وتدميرها بفعل تقلبات الطاقة العشوائية. في لغة الميكانيكا الإحصائية، يعني هذا أن الجهد الكيميائي لإضافة فونون يساوي صفرًا. ^{[ 15 ]} يُعد هذا السلوك امتدادًا للجهد التوافقي إلى النظام غير التوافقي. يشبه سلوك الفونونات الحرارية سلوك غاز الفوتونات الناتج عن تجويف كهرومغناطيسي ، حيث يمكن أن تنبعث الفوتونات أو تُمتص بواسطة جدران التجويف. هذا التشابه ليس من قبيل الصدفة، إذ يتضح أن المجال الكهرومغناطيسي يتصرف كمجموعة من المذبذبات التوافقية، مما يؤدي إلى إشعاع الجسم الأسود . يخضع كلا الغازين لإحصاءات بوز-أينشتاين : في حالة التوازن الحراري وضمن النظام التوافقي، يكون احتمال وجود فونونات أو فوتونات في حالة معينة بتردد زاوي معين كما يلي: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

حيث ω _{k , s} هو تردد الفونونات (أو الفوتونات) في الحالة، k _B هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة الحرارة.

يُعطى هاميلتونيان الفونون بالصيغة التالية

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

أما فيما يتعلق بمعاملات الإنشاء والإفناء ، فهي معطاة بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

هنا، عند التعبير عن الهاميلتوني بصيغة المؤثرات، لم نأخذ في الحسبان الحد _{⁠ ½ ⁠ ħω q} ، لأنه في حالة الوسط المتصل أو الشبكة اللانهائية ، تتجمع حدود ⁠ ​​½ ⁠ ħω q لتشكل حدًا لانهائيًا . ولأننا نقيس فرق الطاقة وليس قيمتها المطلقة، يمكن تجاهل الحد الثابت ⁠ ½ ⁠ ħω q دون _تغيير معادلات الحركة. وبالتالي، فإن العامل ⁠ ½ ⁠ ħω _{q غائب في} الصيغة المؤثرة للهاميلتوني .

الحالة الأرضية، وتُسمى أيضًا " حالة الفراغ "، هي الحالة التي لا تحتوي على أي فونونات. لذا، فإن طاقة الحالة الأرضية تساوي صفرًا. عندما يكون النظام في الحالة | n ₁ n ₂ n ₃ … ⟩ ، نقول إن هناك n _α فونونًا من النوع α ، حيث n _α هو عدد شغل الفونونات. تُعطى طاقة فونون واحد من النوع α بالعلاقة ħω _q ، وتُعطى الطاقة الكلية لنظام فونوني عام بالعلاقة n ₁ ħω ₁  + n ₂ ħω ₂ + .... نظرًا لعدم وجود حدود متقاطعة (مثل n ₁ ħω ₂ )، يُقال إن الفونونات غير متفاعلة. يُعطى تأثير مؤثرات الإنشاء والإفناء بالعلاقة التالية:  

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

و،

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

يُنشئ عامل الإنشاء، a _α ^†، فونونًا من النوع α، بينما يُفني عامل a _α واحدًا منه. لذا، فهما على التوالي عاملي الإنشاء والإفناء للفونونات. وبالمثل لحالة المذبذب التوافقي الكمومي ، يمكننا تعريف عامل عدد الجسيمات على النحو التالي:

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

يتبادل عامل العدد مع سلسلة من نواتج عوامل الإنشاء والإفناء إذا وفقط إذا كان عدد عوامل الإنشاء يساوي عدد عوامل الإفناء.

يمكن إثبات أن الفونونات متناظرة تحت التبادل (أي | α , β ⟩  = | β , α ⟩ )، ولذلك تعتبر بوزونات . ^{[ 18 ]} 

بالإضافة إلى الفوتونات ، يمكن للفونونات أن تتفاعل عبر التحويل البارامتري السفلي ^{[ 19 ]} وتشكل حالات متماسكة مضغوطة . ^{[ 20 ]}

أظهرت الأبحاث الحديثة أن للفونونات والروتونات كتلة غير مهملة، وأنها تتأثر بالجاذبية تمامًا كما تتأثر الجسيمات العادية. ^{[ 21 ]} وعلى وجه الخصوص، يُتوقع أن تمتلك الفونونات نوعًا من الكتلة السالبة والجاذبية السالبة. ^{[ 22 ]} ويمكن تفسير ذلك بأن الفونونات معروفة بأنها تنتقل بسرعة أكبر في المواد الأكثر كثافة. ولأن الجزء من المادة المواجه لمصدر الجاذبية يكون أقرب إلى الجسم، فإنه يصبح أكثر كثافة عند تلك النقطة. ومن هذا المنطلق، يُتوقع أن تنحرف الفونونات عند استشعارها لاختلاف الكثافة، مُظهرةً خصائص مجال جاذبية سالب. ^{[ 23 ]} ورغم أن هذا التأثير سيكون ضئيلاً جدًا بحيث لا يمكن قياسه، فمن الممكن أن تُسفر الأجهزة المستقبلية عن نتائج ناجحة.

الموصلية الفائقة هي حالة للمادة الإلكترونية حيث تنعدم المقاومة الكهربائية وتُطرد المجالات المغناطيسية من المادة. في الموصل الفائق، ترتبط الإلكترونات معًا في أزواج كوبر بواسطة قوة تجاذب ضعيفة. في الموصل الفائق التقليدي، يُعرف هذا التجاذب بتفاعل باردين-باينز ، وينتج عن تبادل الفونونات بين الإلكترونات. ^{[ 24 ]} ويُقدم تأثير النظائر، أي اعتماد درجة الحرارة الحرجة للموصلية الفائقة على كتلة الأيونات، دليلًا على أهمية الفونونات، وهي اهتزازات الشبكة الأيونية، في الموصلية الفائقة.

في عام 2019، تمكن الباحثون لأول مرة من عزل الفونونات الفردية دون تدميرها. ^{[ 25 ]}

كما تبين أن تدفق الفونونات مسؤول عن توليد التيار الكهربائي على المستوى النانوي عندما يتدفق سائل فوق سطح الجرافين. ^{[ 26 ]}

• بورن، ماكس؛ هوانغ، كون (1996) [1954]. النظرية الديناميكية للشبكات البلورية . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-267008-3.
• زيمان، ج.م. (2001) [1960]. الإلكترونات والفونونات . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-850779-6.
• أشكرُفت، نيل دبليو؛ ميرمين، ن. ديفيد (1976). فيزياء الحالة الصلبة . نيويورك: سينجايج ليرنينج. ISBN 978-0-03-083993-1.الفصول من 22 إلى 26
• كيتل، تشارلز (2004). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة (  الطبعة الثامنة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-0-471-41526-8.الفصلان 4 و 5
• جيرفين، ستيفن م.؛ يانغ، كون (2019). فيزياء المادة المكثفة الحديثة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 64-97 . ISBN  978-1-316-48064-9.

• اقتباسات متعلقة بـ Phonon على موقع Wikiquote
• "شرح: الفونونات" . أخبار معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا | معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 8 يوليو 2010. تاريخ الاسترجاع : 12 أكتوبر 2024 .* الأوضاع البصرية والصوتية