المدى الربيعي

في الإحصاء الوصفي ، يُعدّ المدى الربيعي ( IQR ) مقياسًا للتشتت الإحصائي ، أي مدى انتشار البيانات. ^{[ 1 ]} يُعرف المدى الربيعي أيضًا باسم الانتشار المتوسط ، أو النسبة المئوية الوسطى 50% ، أو الانتشار الرابع ، أو الانتشار H. ويُعرَّف بأنه الفرق بين المئين 75 والمئين 25 من البيانات. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} لحساب المدى الربيعي، تُقسَّم مجموعة البيانات إلى أرباع ، أو أربعة أجزاء زوجية مرتبة تصاعديًا، باستخدام الاستيفاء الخطي. _[^{1 ] يُرمز} لهذه الأرباع بـ Q1 (ويُسمى أيضًا الربيع الأدنى)، _وQ2 ( الوسيط )، و _Q3( ويُسمى أيضًا الربيع الأعلى). يتوافق الربيع الأدنى مع المئين 25، ويتوافق الربيع الأعلى مع المئين 75، لذا فإن المدى الربيعي ₌Q3 - Q1 _.^[¹^]

يُعدّ المدى الربيعي (IQR) مثالًا على المُقدِّر المُقَصَّر ، ويُعرَّف بأنه المدى المُقَصَّر بنسبة 25% ، والذي يُحسِّن دقة إحصاءات مجموعة البيانات عن طريق استبعاد النقاط الشاذة ذات المساهمة المنخفضة. ^{[ 5 ]} كما يُستخدم كمقياس قوي للمقياس . ^{[ 5 ]} ويمكن تمثيله بوضوح من خلال الصندوق في مخطط الصندوق . ^{[ 1 ]}

يستخدم

على عكس المدى الكلي ، فإن المدى الربيعي له نقطة انهيار تبلغ 25٪ ^{[ 6 ]} وبالتالي غالبًا ما يفضل على المدى الكلي.

يُستخدم المدى الربيعي (IQR) لإنشاء مخططات الصندوق ، وهي تمثيلات بيانية بسيطة لتوزيع الاحتمالات .

يُستخدم المدى الربيعي (IQR) في الشركات كمؤشر لمعدلات دخلها .

بالنسبة للتوزيع المتماثل (حيث يكون الوسيط مساوياً للمفصل الأوسط ، وهو متوسط الربيعين الأول والثالث)، فإن نصف المدى الربيعي يساوي الانحراف المطلق الوسيط (MAD).

الوسيط هو المقياس المقابل للنزعة المركزية .

يمكن استخدام المدى الربيعي لتحديد القيم الشاذة (انظر أدناه ). كما قد يشير المدى الربيعي إلى مدى انحراف مجموعة البيانات. ^{[ 1 ]}

يُعرَّف الانحراف الربيعي أو المدى الربيعي النصفي بأنه نصف المدى الربيعي. ^{[ 7 ]}

الخوارزمية

يتم حساب المدى الربيعي لمجموعة من القيم على أنه الفرق بين الربيعين العلوي والسفلي، Q3 _و Q1 _. كل ربيع هو الوسيط ^{[ 8 ]} الذي يتم حسابه على النحو التالي.

بافتراض عدد زوجي من القيم يساوي 2n أو عدد فردي يساوي 2n+1

الربيع الأول _Q1 = الوسيط لأصغر n قيمة

الربع الثالث Q ₃ = الوسيط لأكبر n قيمة ^{[ 8 ]}

الربع الثاني Q2 _هو نفسه الوسيط العادي. ^{[ 8 ]}

أمثلة

مجموعة البيانات في جدول

يحتوي الجدول التالي على 13 صفًا، ويتبع قواعد عدد الإدخالات الفردية.

أنا	x[i]	متوسط	الربع
1	7	الربع _الثاني = 87 (الوسيط للجدول بأكمله)	Q ₁ = 31 (الوسيط للنصف السفلي، من الصف 1 إلى 6)
2	7
3	31
4	31
5	47
6	75
7	87
8	115		Q ₃ = 119 (الوسيط للنصف العلوي، من الصف 8 إلى الصف 13)
9	116
10	119
11	119
12	155
13	177

بالنسبة للبيانات الموجودة في هذا الجدول، فإن المدى الربيعي هو IQR = Q ₃− Q ₁ = 119 - 31 = 88.

مجموعة البيانات في مخطط صندوقي بنص عادي

 +−−−−−+−+ * |−−−−−−−−−−−| | |−−−−−−−−−−−| +−−−−−+−+ +−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+ خط الأعداد ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢

بالنسبة لمجموعة البيانات في مخطط الصندوق هذا :

الربع الأدنى (الأول) Q ₁ = 7
الوسيط (الربيع الثاني) Q ₂ = 8.5
الربع الأعلى (الثالث) Q ₃ = 9
المدى الربيعي، IQR ₌Q3 - Q1 = ₂
الحد الأدنى للشعيرة 1.5*IQR = Q ₁ - 1.5 * IQR = 7 - 3 = 4. (إذا لم تكن هناك نقطة بيانات عند 4، فإن أدنى نقطة أكبر من 4.)
الحد الأعلى 1.5*IQR = Q ₃ + 1.5 * IQR = 9 + 3 = 12. (إذا لم تكن هناك نقطة بيانات عند 12، فإن أعلى نقطة أقل من 12.)
نمط النقطتين الأخيرتين: إذا لم تكن هناك نقاط بيانات عند الأرباع الحقيقية، فاستخدم نقاط البيانات "الداخلية" قليلاً (أقرب إلى الوسيط) من الأرباع الفعلية.

هذا يعني أن شعيرات 1.5*IQR قد تكون غير متساوية في الطول. يشكل الوسيط، والحد الأدنى، والحد الأقصى، والربيع الأول، والربيع الثالث ملخص الأرقام الخمسة . ^{[ 9 ]}

التوزيعات

يمكن حساب المدى الربيعي لتوزيع مستمر بتكامل دالة كثافة الاحتمال (التي تُنتج دالة التوزيع التراكمي - أي طريقة أخرى لحساب دالة التوزيع التراكمي تُجدي أيضًا). الربيع الأدنى، Q1 _، هو عددٌ بحيث يكون تكامل دالة كثافة الاحتمال من -∞ إلى _Q1مساويًا لـ 0.25، بينما الربيع الأعلى، Q3 ، هو عددٌ بحيث يكون تكامل دالة كثافة الاحتمال من -∞ إلى Q3 _{مساويًا}_لـ 0.75؛ ويمكن تعريف الربيعات بدلالة دالة التوزيع التراكمي كما يلي:

Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25),

Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),

حيث CDF ⁻¹ هي دالة الكمية .

يُعرض أدناه المدى الربيعي والوسيط لبعض التوزيعات الشائعة

توزيع	متوسط	المدى الربيعي
طبيعي	μ	2 Φ ^{− 1} (0.75)σ ≈ 1.349σ ≈ (27/20)σ
لابلاس	μ	2 b ln(2) ≈ 1.386 b
كوشي	μ	2γ

اختبار المدى الربيعي لاختبار التوزيع الطبيعي

يمكن استخدام المدى الربيعي (IQR) والمتوسط والانحراف المعياري لمجموعة بيانات P في اختبار بسيط لتحديد ما إذا كانت P تتبع التوزيع الطبيعي (غاوسي). إذا كانت P تتبع التوزيع الطبيعي، فإن القيمة المعيارية للربيع الأول، z1 _، تساوي -0.67، والقيمة المعيارية للربيع الثالث، z3 _، تساوي +0.67. علماً بأن المتوسط = ${\bar {P}}$ والانحراف المعياري = σ لـ P ، إذا كان P موزعًا توزيعًا طبيعيًا، فإن الربيع الأول

Q_{1}=(\sigma \,z_{1})+{\bar {P}}

والربع الثالث

Q_{3}=(\sigma \,z_{3})+{\bar {P}}

إذا اختلفت القيم الفعلية للربيع الأول أو الثالث اختلافًا كبيرًا عن القيم المحسوبة، فإن P لا يتبع التوزيع الطبيعي. مع ذلك، يمكن تعديل التوزيع الطبيعي بسهولة للحفاظ على قيمتيه الانحرافيتين للربيعين الأول والثاني عند 0.67 و-0.67 على التوالي، وبالتالي لا يتبع التوزيع الطبيعي (لذا فإن الاختبار المذكور أعلاه سيعطي نتيجة إيجابية خاطئة). يُنصح هنا باستخدام اختبار أفضل للتحقق من التوزيع الطبيعي، مثل مخطط Q-Q .

القيم الشاذة

يُستخدم المدى الربيعي غالبًا لتحديد القيم الشاذة في البيانات. تُعرَّف القيم الشاذة هنا بأنها القيم التي تقل عن Q1 - 1.5 IQR أو تزيد عن Q3 + 1.5 IQR. في مخطط الصندوق، تُشير شعيرات الصندوق (غالبًا مع شريط إضافي في نهاية الشعيرة) إلى أعلى وأدنى قيمة ضمن هذا الحد، بينما تُمثل أي قيم شاذة بنقاط منفصلة.

انظر أيضاً

نطاق ما بين العُشيرات – مقياس إحصائي
ميدهينج
الخطأ المحتمل – مقياس التشتت الإحصائي
مقاييس قوية للمقياس – مؤشرات إحصائية لانحراف العينة

مراجع

1 2 3 4 5 ديكينغ، فريدريك ميشيل؛ كرايكامب، كورنيليس؛ لوبوها، هين بول؛ ميستر، لودولف إروين (2005). مقدمة حديثة للاحتمالات والإحصاء . نصوص سبرينغر في الإحصاء. لندن: سبرينغر لندن. دوى : 10.1007/1-84628-168-7 . رقم ISBN 978-1-85233-896-1.
↑ أبتون، غراهام؛ كوك، إيان (1996). فهم الإحصاء . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 55. ISBN 0-19-914391-9.
↑ زويلينجر، د.، كوكوسكا، س. (2000) جداول وصيغ الاحتمالات والإحصاءات القياسية من سي آر سي ، مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-059-7الصفحة 18.
↑ روس، شيلدون (2010). الإحصاء التمهيدي . بيرلينجتون، ماساتشوستس: إلسيفير. الصفحات 103-104 . ISBN 978-0-12-374388-6.
1 2 كالتنباخ، هانز مايكل (2012). دليل موجز للإحصاء . هايدلبرغ: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-23502-3. OCLC 763157853 .
↑ روسيو، بيتر جيه؛ كرو، كريستوف (1992). واي. دودج (محرر). "مُقدِّرات المقياس الصريحة ذات نقطة الانهيار العالية" (ملف PDF) . التحليل الإحصائي L1 والأساليب ذات الصلة . أمستردام: نورث هولاند. الصفحات 77-92 .
↑ يول، جي. أودني (1911). مقدمة في نظرية الإحصاء . تشارلز غريفين وشركاه. ص 147-148 .
1 2 3 بيرتيل، ويسترغرين (1988). دليل بيتا للرياضيات : المفاهيم، النظريات، الطرق، الخوارزميات، الصيغ، الرسوم البيانية، الجداول . ستودنتليتراتور . ص 348. ISBN 9144250517. OCLC 18454776 .
^ Dekking، Kraaikamp، Lopuhaä & Meester، ص 235 – 237

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بنطاق الربيعيات على ويكيميديا كومنز

[:1-1] 1 2 3 4 5 ديكينغ، فريدريك ميشيل؛ كرايكامب، كورنيليس؛ لوبوها، هين بول؛ ميستر، لودولف إروين (2005). مقدمة حديثة للاحتمالات والإحصاء . نصوص سبرينغر في الإحصاء. لندن: سبرينغر لندن. دوى : 10.1007/1-84628-168-7 . رقم ISBN 978-1-85233-896-1.

[Upton-2] أبتون، غراهام؛ كوك، إيان (1996). فهم الإحصاء . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 55. ISBN 0-19-914391-9.

[ZK-3] زويلينجر، د.، كوكوسكا، س. (2000) جداول وصيغ الاحتمالات والإحصاءات القياسية من سي آر سي ، مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-059-7الصفحة 18.

[4] روس، شيلدون (2010). الإحصاء التمهيدي . بيرلينجتون، ماساتشوستس: إلسيفير. الصفحات 103-104 . ISBN 978-0-12-374388-6.

[:2-5] 1 2 كالتنباخ، هانز مايكل (2012). دليل موجز للإحصاء . هايدلبرغ: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-23502-3. OCLC 763157853 .

[6] روسيو، بيتر جيه؛ كرو، كريستوف (1992). واي. دودج (محرر). "مُقدِّرات المقياس الصريحة ذات نقطة الانهيار العالية" (ملف PDF) . التحليل الإحصائي L1 والأساليب ذات الصلة . أمستردام: نورث هولاند. الصفحات 77-92 .

[Yule-7] يول، جي. أودني (1911). مقدمة في نظرية الإحصاء . تشارلز غريفين وشركاه. ص 147-148 .

[:0-8] 1 2 3 بيرتيل، ويسترغرين (1988). دليل بيتا للرياضيات : المفاهيم، النظريات، الطرق، الخوارزميات، الصيغ، الرسوم البيانية، الجداول . ستودنتليتراتور . ص 348. ISBN 9144250517. OCLC 18454776 .

[9] Dekking، Kraaikamp، Lopuhaä & Meester، ص 235 – 237

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗