مخطط Q-Q

في الإحصاء، يُعدّ مخطط Q-Q ( مخطط الكميات ) مخططًا احتماليًا، وهو أسلوب بياني لمقارنة توزيعين احتماليين برسم كمياتهما مقابل بعضها البعض. ^{[ 1 ]} تُشير النقطة $(س ، ص)$ على المخطط إلى إحدى كميات التوزيع الثاني ( الإحداثي $ص$ ) مُقابلة لنفس الكمية من التوزيع الأول ( الإحداثي $س$ ). يُحدد هذا منحنىً بارامتريًا، حيث يُمثل البارامتر دليل فاصل الكميات.

إذا كان التوزيعان المُقارنان متشابهين، فإن النقاط في مخطط Q-Q ستقع تقريبًا على خط التطابق $y = x$ . أما إذا كان التوزيعان مرتبطين خطيًا، فإن النقاط في مخطط Q-Q ستقع تقريبًا على خط، ولكن ليس بالضرورة على الخط $y = x$ . ويمكن أيضًا استخدام مخططات Q-Q كوسيلة بيانية لتقدير المعلمات في عائلة توزيعات الموقع والمقياس .

يُستخدم مخطط AQ-Q لمقارنة أشكال التوزيعات، حيث يُقدّم عرضًا بيانيًا لكيفية تشابه أو اختلاف خصائص مثل الموقع والمقياس والالتواء بين التوزيعين. يُمكن استخدام مخططات Q-Q لمقارنة مجموعات البيانات أو التوزيعات النظرية . يُمكن اعتبار استخدام مخططات Q-Q لمقارنة عينتين من البيانات نهجًا غير معلمي لمقارنة توزيعاتهما الأساسية. يُعد مخطط AQ-Q عمومًا أكثر دلالة من مقارنة المدرجات التكرارية للعينات ، ولكنه أقل شيوعًا. تُستخدم مخططات Q-Q عادةً لمقارنة مجموعة بيانات بنموذج نظري. ^[²^]^[³^] يُمكن لهذا أن يُقدّم تقييمًا بيانيًا لمدى جودة المطابقة ، بدلًا من اختزاله إلى إحصائية موجزة عددية . بما أن مخططات Q-Q تُقارن التوزيعات، فلا حاجة إلى مُلاحظة القيم كأزواج، كما هو الحال في مخطط التشتت ، أو حتى أن يكون عدد القيم في المجموعتين المُقارنتين متساويًا.

يشير مصطلح "مخطط الاحتمالية" أحيانًا إلى مخطط Q-Q تحديدًا، وأحيانًا إلى فئة أعم من المخططات، وأحيانًا إلى مخطط P-P الأقل شيوعًا . يُعد مخطط معامل ارتباط مخطط الاحتمالية (مخطط PPCC) كمية مشتقة من فكرة مخططات Q-Q، تقيس مدى توافق التوزيع المُطابق مع البيانات المرصودة، ويُستخدم أحيانًا كوسيلة لمطابقة التوزيع مع البيانات.

التعريف والبناء

مخطط AQ–Q هو رسم بياني يقارن بين كميات توزيعين، أو رسم بياني يعتمد على تقديرات الكميات. ويُستخدم نمط النقاط في الرسم البياني لمقارنة التوزيعين.

تتمثل الخطوة الرئيسية في إنشاء مخطط Q-Q في حساب أو تقدير الكميات المراد تمثيلها. إذا كان أحد المحورين أو كلاهما في مخطط Q-Q مبنيًا على توزيع نظري ذي دالة توزيع تراكمي متصلة ، فإن جميع الكميات تكون محددة بشكل فريد ويمكن الحصول عليها عن طريق عكس دالة التوزيع التراكمي. أما إذا كان أحد التوزيعين المُقارنين توزيعًا احتماليًا نظريًا ذا دالة توزيع تراكمي غير متصلة، فقد لا تكون بعض الكميات محددة، وبالتالي يمكن تمثيل كمية مُستنبطة. إذا كان مخطط Q-Q مبنيًا على بيانات، فسيتم استخدام عدة مُقدِّرات للكميات. تُسمى قواعد إنشاء مخططات Q-Q عندما يتعين تقدير الكميات أو استنباطها بمواقع التمثيل .

في حالة بسيطة، يكون لدينا مجموعتان من البيانات متساويتان في الحجم. في هذه الحالة، لرسم مخطط Q-Q، نرتب كل مجموعة تصاعديًا، ثم نقارن القيم المتناظرة ونرسمها. أما في حالة مقارنة مجموعتين من البيانات مختلفتي الحجم، فيكون الرسم أكثر تعقيدًا. لرسم مخطط Q-Q في هذه الحالة، من الضروري استخدام تقدير كمي مُستنبط، بحيث يمكن إنشاء كميات تتوافق مع نفس الاحتمالية الأساسية.

بصورة أكثر تجريدًا، ^{[ 5 ]} $إذا$ $كان$ لدينا دالتا توزيع احتمالي تراكمي $F$ و $G$ ، مع دوال كمية مرتبطة بهما $F⁻¹$ و $G⁻¹$ (الدالة العكسية لدالة التوزيع الاحتمالي التراكمي هي دالة الكمية)، فإن مخطط Q-Q يرسم الكمية $q$ من $F$ مقابل الكمية $q$ من $G$ لنطاق من قيم $q$ . وبالتالي، فإن مخطط Q-Q هو منحنى وسيطي مُفهرس على الفترة [0,1] بقيم في المستوى الحقيقي $R² .$

عادةً في تحليل التوزيع الطبيعي، يُظهر المحور الرأسي قيم المتغير محل الاهتمام، ولنقل $x$ مع دالة التوزيع التراكمي $F (x)$ ، ويمثل المحور الأفقي $N -1 (F (x))$ ، حيث يمثل $N -1 (.)$ دالة التوزيع الطبيعي التراكمي العكسي.

تفسير

تتميز النقاط المرسومة في مخطط Q-Q بميل موجب دائمًا، أي أنها تزداد عند النظر إليها من اليسار إلى اليمين. إذا كان التوزيعان المُقارنان متطابقين، فإن مخطط Q-Q يتبع الخط $y = x$ بزاوية 45 درجة . إذا اتفق التوزيعان بعد تحويل القيم في أحدهما خطيًا، فإن مخطط Q-Q يتبع خطًا ما، ولكن ليس بالضرورة الخط $y = x$ . إذا كان الاتجاه العام لمخطط Q-Q أقل انحدارًا من الخط $y = x$ ، فإن التوزيع المرسوم على المحور الأفقي يكون أكثر تشتتًا من التوزيع المرسوم على المحور الرأسي. وعلى العكس، إذا كان الاتجاه العام لمخطط Q-Q أكثر انحدارًا من الخط $y = x$ ، فإن التوزيع المرسوم على المحور الرأسي يكون أكثر تشتتًا من التوزيع المرسوم على المحور الأفقي. غالبًا ما تكون مخططات Q-Q مقوسة أو على شكل حرف S، مما يشير إلى أن أحد التوزيعين أكثر انحرافًا من الآخر، أو أن أحد التوزيعين له ذيول أثقل من الآخر.

على الرغم من أن مخطط Q-Q يعتمد على المئينيات، إلا أنه لا يُمكن في مخطط Q-Q القياسي تحديد النقطة التي تُمثل مئيناً مُعيناً. على سبيل المثال، لا يُمكن تحديد الوسيط لأي من التوزيعين المُقارنين بمجرد النظر إلى مخطط Q-Q. تُشير بعض مخططات Q-Q إلى العُشيرات لتسهيل مثل هذه التحديدات.

يُعطي كلٌّ من نقطة التقاطع وميل خط الانحدار الخطي بين الكميات مقياسًا للموقع النسبي والحجم النسبي للعينات. إذا كان الوسيط للتوزيع المرسوم على المحور الأفقي يساوي صفرًا، فإن نقطة تقاطع خط الانحدار تُعدّ مقياسًا للموقع، بينما يُعدّ الميل مقياسًا للحجم. تُعدّ المسافة بين الوسيطين مقياسًا آخر للموقع النسبي، وينعكس ذلك في مخطط Q-Q. يُعرَّف " مخطط معامل الارتباط الاحتمالي " (PPCC) بأنه معامل الارتباط بين الكميات المزدوجة للعينات. كلما اقترب معامل الارتباط من واحد، اقتربت التوزيعات من كونها نسخًا مُزاحة ومُقاسة من بعضها البعض. بالنسبة للتوزيعات ذات مُعامل شكل واحد، يُوفّر مخطط معامل الارتباط الاحتمالي طريقةً لتقدير مُعامل الشكل - حيث يتم ببساطة حساب معامل الارتباط لقيم مختلفة لمُعامل الشكل، واستخدام القيمة التي تُناسب التوزيع بشكل أفضل، تمامًا كما لو كان المرء يُقارن توزيعات من أنواع مختلفة.

يُستخدم مخطط Q-Q أيضاً بشكل شائع لمقارنة توزيع عينة ما بتوزيع نظري، مثل التوزيع الطبيعي القياسي $N (0,1)$ ، كما هو الحال في مخطط الاحتمالية الطبيعية . وكما هو الحال عند مقارنة عينتين من البيانات، يتم ترتيب البيانات (بشكل رسمي، حساب إحصائيات الترتيب)، ثم يتم رسمها مقابل كميات معينة من التوزيع النظري. ^{[ 3 ]}

تحديد المواقع

يعتمد اختيار الكميات من التوزيع النظري على السياق والغرض. أحد الخيارات، عند وجود عينة بحجم $n$ ، هو $k / n$ حيث $k = 1، ...، n$ ، لأن هذه هي الكميات التي يحققها توزيع المعاينة . آخر هذه الخيارات، $n / n$ ، يُقابل النسبة المئوية 100 - القيمة القصوى للتوزيع النظري، والتي قد تكون لانهائية أحيانًا. من الخيارات الأخرى استخدام $(k - 0.5)/ n$ ، أو بدلاً من ذلك، توزيع النقاط $n$ بحيث تكون المسافة متساوية بين جميعها، وكذلك بين أبعد نقطتين وحواف التوزيع. $[0,1]$ الفترة، باستخدام $k / (n + 1)$ . ^{[ 6 ]}

تم اقتراح العديد من الخيارات الأخرى، الرسمية منها والاستدلالية، استنادًا إلى النظريات أو المحاكاة ذات الصلة بالسياق. وتناقش الأقسام الفرعية التالية بعضًا من هذه الخيارات. أما المسألة الأكثر تحديدًا فهي اختيار القيمة القصوى (تقدير القيمة القصوى للمجموعة)، والمعروفة باسم مسألة الدبابة الألمانية ، والتي توجد لها حلول مشابهة "القيمة القصوى للعينة، بالإضافة إلى فجوة"، وأبسطها $m + m / n - 1.$ ويظهر تطبيق أكثر رسمية لهذا التوحيد في التباعد في تقدير التباعد الأقصى للمعلمات.

القيمة المتوقعة لإحصائية الترتيب لتوزيع منتظم

تُعادل طريقة $k / (n + 1)$ طريقة رسم النقاط وفقًا لاحتمالية ألا تتجاوز القيمة الأخيرة من بين ( $n + 1 ) قيمةً مختارة عشوائيًا أصغر قيمة$ $k$ من بين أول $n$ قيمة مختارة عشوائيًا. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

القيمة المتوقعة لإحصائية الترتيب لتوزيع طبيعي معياري

عند استخدام مخطط الاحتمالية الطبيعية ، فإن الكميات التي يستخدمها المرء هي الرتب ، وهي كمية القيمة المتوقعة لإحصائية الترتيب للتوزيع الطبيعي القياسي.

بشكل عام، يستخدم اختبار شابيرو-ويلك القيم المتوقعة لإحصاءات الترتيب للتوزيع المعطى؛ ويُنتج الرسم البياني والخط الناتج تقدير المربعات الصغرى المعمم للموقع والمقياس (من نقطة التقاطع وميل الخط المُطابق). ^[⁹^] على الرغم من أن هذا ليس ذا أهمية كبيرة للتوزيع الطبيعي (حيث يُقدّر الموقع والمقياس بالمتوسط والانحراف المعياري، على التوالي)، إلا أنه قد يكون مفيدًا للعديد من التوزيعات الأخرى.

ومع ذلك، يتطلب هذا حساب القيم المتوقعة لإحصائية الترتيب، وهو أمر قد يكون صعبًا إذا لم يكن التوزيع طبيعيًا.

الوسيط لإحصاءات الطلب

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام تقديرات الوسيط لإحصاءات الترتيب، والتي يمكن حسابها بناءً على تقديرات الوسيط لإحصاءات الترتيب لتوزيع منتظم ودالة الكمية للتوزيع؛ وقد اقترح ذلك فيليبين (1975) . ^{[ 9 ]}

يمكن توليد هذا بسهولة لأي توزيع يمكن حساب دالة الكمية له، ولكن على العكس من ذلك فإن التقديرات الناتجة للموقع والمقياس لم تعد تقديرات المربعات الصغرى بالضبط، على الرغم من أن هذه تختلف بشكل كبير فقط بالنسبة لـ $n$ صغيرة.

الأساليب الاستدلالية

استُخدمت أو اقتُرحت عدة صيغ مختلفة كمواضع رسم متناظرة أفينية . تأخذ هذه الصيغ الشكل $($ $k$ $-$ $a$ $) / ($ $n$ $+ 1 - 2a$ $)$ $لقيمة$ معينة لـ $a$ في النطاق من 0 إلى 1، مما يعطي نطاقًا بين $k$ $/ ($ $n$ $+ 1)$ و $($ $k$ $- 1) / ($ $n$ $-$ $1)$ .

تشمل التعبيرات ما يلي:

$k / (n + 1)$
$(k - 0.3) / (n + 0.4)$ . ^{[ 10 ]}
$(k - 0.3175) / (n + 0.365)$ . ^{[ 11 ]}^{[ ملاحظة 1 ]}
$(k - 0.326) / (n + 0.348)$ . ^{[ 12 ]}
$(k - ⅓) / (n + ⅓)$ . ^{[ ملاحظة 2 ]}
$(k - 0.375) / (n + 0.25)$ . ^{[ ملاحظة 3 ]}
$(k - 0.4) / (n + 0.2)$ .
$(k - 0.44) / (n + 0.12)$ . ^{[ ملاحظة 4 ]}
$(k - 0.5) / n$ . ^{[ 14 ]}
$(k - 0.567) / (n - 0.134)$ .
$(k - 1) / (n - 1)$ . ^{[ ملاحظة 5 ]}

بالنسبة لحجم العينة الكبير، $n$ ، هناك فرق ضئيل بين هذه التعبيرات المختلفة.

تقدير فيليبين

الوسيط الإحصائي للترتيب هو وسيط الإحصائيات الترتيبية للتوزيع. ويمكن التعبير عنه بدلالة دالة الكمية والوسيط الإحصائي للترتيب للتوزيع المنتظم المستمر كما يلي: $N(i)=G(U(i))$ حيث تمثل $U (i)$ الوسائط الإحصائية المرتبة المنتظمة، و $G$ دالة الكمية للتوزيع المطلوب. دالة الكمية هي معكوس دالة التوزيع التراكمي (احتمالية أن تكون $X$ أقل من أو تساوي قيمة معينة). أي، بمعلومية احتمال معين، نريد الكمية المقابلة لدالة التوزيع التراكمي.

يستخدم جيمس ج. فيليبين التقديرات التالية لمتوسطات إحصاءات الترتيب المنتظم: ^{[ 15 ]} $m(i)={\begin{cases}1-0.5^{1/n}&i=1\\[2ex]{\dfrac {i-0.3175}{n+0.365}}&i=2,3,\ldots ,n-1\\[2ex]0.5^{1/n}&i=n.\end{cases}}$ والسبب في هذا التقدير هو أن الوسائط الإحصائية الترتيبية ليس لها شكل بسيط.

برمجة

تتضمن لغة البرمجة R دوالًا لإنشاء مخططات Q-Q، وهي qqnorm وqqplot من statsالحزمة. fastqqتُتيح هذه الحزمة رسمًا أسرع للبيانات ذات العدد الكبير من النقاط.

انظر أيضاً

دالة التوزيع التجريبية
تم تطوير تحليل بروبيت بواسطة تشيستر إيتنر بليس في عام 1934.

ملحوظات

↑ لاحظ أن هذا يستخدم أيضًا تعبيرًا مختلفًا للنقطتين الأولى والأخيرة.يستشهد بالعمل الأصلي لفيلبين (1975) $.$ هذا التعبير هو تقدير لوسائط U $(k)$ .
↑ صيغة بسيطة (وسهلة التذكر) لرسم المواقع؛ تستخدم فيحزمة BMDP الإحصائية.
↑ هذا هو التقريب السابق لبلوم (1958) وهو التعبير المستخدم في MINITAB .
↑ تم استخدام موضع الرسم هذا بواسطة إيرفينغ آي. غرينغورتن^{[ 13 ]} لرسم النقاط في اختبارات توزيع غامبل .
↑ استخدمها فيليبين (1975) $،$ نقاط الرسم هذه تساوي أنماط U $(k)$ .

مراجع

الاقتباسات

↑ ويلك، إم بي؛ غناناديسيكان، آر. (1968)، "طرق رسم الاحتمالات لتحليل البيانات"، Biometrika ، 55 (1)، Biometrika Trust: 1– 17، doi : 10.1093/biomet/55.1.1 ، JSTOR 2334448 ، PMID 5661047 .
↑ Gnanadesikan (1977) ، ص 199.
1 2 ثود (2002) ، القسم 2.2.2، مخططات الكمية-الكمية، ص 21
↑ "الطريق السريع رقم 20 - طريق شمال كاسكيدز السريع - تاريخ الافتتاح والإغلاق" . ممرات شمال كاسكيدز . وزارة النقل بولاية واشنطن. أكتوبر 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 فبراير 2009 .
^ جيبونز وتشاكرابورتي (2003) ، ص. 144
↑ ويبول، والودي (1939)، "النظرية الإحصائية لقوة المواد"، IVA Handlingar، الأكاديمية الملكية السويدية للعلوم الهندسية (151)
↑ مادسن، إتش أو؛ وآخرون (1986)، أساليب السلامة الهيكلية
↑ ماكونين، ل. (2008)، "حسم الجدل حول موضع الرسم البياني"، الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب ، 37 (3): 460-467 ، doi : 10.1080/03610920701653094 ، S2CID 122822135
1 2 اختبار التوزيع الطبيعي ، بقلم هنري سي. ثود، دار نشر سي آر سي، 2002، رقم ISBN 978-0-8247-9613-6، ص 31
↑ بينارد، أ.؛ بوس-ليفنباخ، إي سي (سبتمبر 1953). "رسم الملاحظات على ورق الاحتمالات" . Statistica Neerlandica (باللغة الهولندية). 7 : 163-173 . doi : 10.1111/j.1467-9574.1953.tb00821.x .
↑ "1.3.3.21. مخطط الاحتمالية الطبيعية" . itl.nist.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 فبراير 2022 .
↑ توزيع الموقع الحر للرسم البياني ، يو وهوانغ
↑ غرينغورتن، إيرفينغ آي. (1963). "قاعدة رسم بياني لورق الاحتمالات القصوى" . مجلة البحوث الجيوفيزيائية . 68 (3): 813-814 . Bibcode : 1963JGR....68..813G . doi : 10.1029/JZ068i003p00813 . ISSN 2156-2202 .
↑ هازن، ألين (1914)، "تخزين يجب توفيره في خزانات التجميع لإمدادات المياه البلدية"، معاملات الجمعية الأمريكية للمهندسين المدنيين (77) : 1547-1550
↑ فيليبين (1975) .

مصادر

تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا
بلوم، ج. (1958)، التقديرات الإحصائية ومتغيرات بيتا المحولة ، نيويورك: جون وايلي وأولاده
تشامبرز، جون؛ كليفلاند، ويليام ؛ كلاينر، بيت؛ توكي، بول (1983)، الأساليب البيانية لتحليل البيانات ، وادسوورث
كليفلاند، دبليو إس (1994) عناصر تمثيل البيانات بيانيًا ، مطبعة هوبارت، رقم ISBN 0-9634884-1-4
فيليبين، جيه جيه (فبراير 1975)، "اختبار معامل الارتباط لمخطط الاحتمالية للتوزيع الطبيعي"، تكنومتركس ، 17 (1)، الجمعية الأمريكية للجودة: 111-117 ، doi : 10.2307/1268008 ، JSTOR 1268008 .
جيبونز، جين ديكنسون ؛ تشاكرابورتي، سوبابراتا (2003)، الاستدلال الإحصائي غير البارامتري ( الطبعة الرابعة)، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-8247-4052-8
غناناديسيكان، ر. (1977). أساليب التحليل الإحصائي للملاحظات متعددة المتغيرات . وايلي. ISBN 0-471-30845-5.
ثود، هنري سي. (2002)، اختبار الحياة الطبيعية ، نيويورك: مارسيل ديكر، ISBN 0-8247-9613-6

روابط خارجية

مخطط الاحتمالية
مانويل جيموند، مخطط QQ التجريبي (ومخطط توكي المشتق لمتوسط الفرق)

[12] لاحظ أن هذا يستخدم أيضًا تعبيرًا مختلفًا للنقطتين الأولى والأخيرة.يستشهد بالعمل الأصلي لفيلبين (1975) $.$ هذا التعبير هو تقدير لوسائط U $(k)$ .

[14] صيغة بسيطة (وسهلة التذكر) لرسم المواقع؛ تستخدم فيحزمة BMDP الإحصائية.

[15] هذا هو التقريب السابق لبلوم (1958) وهو التعبير المستخدم في MINITAB .

[17] تم استخدام موضع الرسم هذا بواسطة إيرفينغ آي. غرينغورتن^{[ 13 ]} لرسم النقاط في اختبارات توزيع غامبل .

[19] استخدمها فيليبين (1975) $،$ نقاط الرسم هذه تساوي أنماط U $(k)$ .

[1] ويلك، إم بي؛ غناناديسيكان، آر. (1968)، "طرق رسم الاحتمالات لتحليل البيانات"، Biometrika ، 55 (1)، Biometrika Trust: 1– 17، doi : 10.1093/biomet/55.1.1 ، JSTOR 2334448 ، PMID 5661047 .

[FOOTNOTEGnanadesikan1977199-2] Gnanadesikan (1977) ، ص 199.

[thode21-3] 1 2 ثود (2002) ، القسم 2.2.2، مخططات الكمية-الكمية، ص 21

[closure-4] "الطريق السريع رقم 20 - طريق شمال كاسكيدز السريع - تاريخ الافتتاح والإغلاق" . ممرات شمال كاسكيدز . وزارة النقل بولاية واشنطن. أكتوبر 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 فبراير 2009 .

[gibbons-5] جيبونز وتشاكرابورتي (2003) ، ص. 144

[6] ويبول، والودي (1939)، "النظرية الإحصائية لقوة المواد"، IVA Handlingar، الأكاديمية الملكية السويدية للعلوم الهندسية (151)

[7] مادسن، إتش أو؛ وآخرون (1986)، أساليب السلامة الهيكلية

[8] ماكونين، ل. (2008)، "حسم الجدل حول موضع الرسم البياني"، الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب ، 37 (3): 460-467 ، doi : 10.1080/03610920701653094 ، S2CID 122822135

[thode31-9] 1 2 اختبار التوزيع الطبيعي ، بقلم هنري سي. ثود، دار نشر سي آر سي، 2002، رقم ISBN 978-0-8247-9613-6، ص 31

[10] بينارد، أ.؛ بوس-ليفنباخ، إي سي (سبتمبر 1953). "رسم الملاحظات على ورق الاحتمالات" . Statistica Neerlandica (باللغة الهولندية). 7 : 163-173 . doi : 10.1111/j.1467-9574.1953.tb00821.x .

[11] "1.3.3.21. مخطط الاحتمالية الطبيعية" . itl.nist.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 فبراير 2022 .

[13] توزيع الموقع الحر للرسم البياني ، يو وهوانغ

[16] غرينغورتن، إيرفينغ آي. (1963). "قاعدة رسم بياني لورق الاحتمالات القصوى" . مجلة البحوث الجيوفيزيائية . 68 (3): 813-814 . Bibcode : 1963JGR....68..813G . doi : 10.1029/JZ068i003p00813 . ISSN 2156-2202 .

[18] هازن، ألين (1914)، "تخزين يجب توفيره في خزانات التجميع لإمدادات المياه البلدية"، معاملات الجمعية الأمريكية للمهندسين المدنيين (77) : 1547-1550

[FOOTNOTEFilliben1975-20] فيليبين (1975) .

[ 1 ]

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ 12 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ 14 ]

[ ملاحظة 5 ]

[ 15 ]

[ 13 ]