نظرية التقاطع

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الإسقاطية ، تُعرف نظرية التقاطع أو نظرية الوقوع بأنها بيان يتعلق ببنية وقوع - تتكون من نقاط وخطوط، وربما كائنات ذات أبعاد أعلى، ووقوعها - بالإضافة إلى زوج من الكائنات A و B (على سبيل المثال، نقطة وخط). تنص هذه النظرية على أنه كلما استوفت مجموعة من الكائنات شروط الوقوع ( أي يمكن تحديدها مع كائنات بنية الوقوع بحيث يبقى الوقوع قائمًا)، فإن الكائنين A و B يجب أن يكونا واقعين أيضًا. لا تُعدّ نظرية التقاطع صحيحة بالضرورة في جميع الهندسات الإسقاطية؛ فهي خاصية تنطبق على بعض الهندسات دون غيرها.

على سبيل المثال، يمكن صياغة نظرية ديزارج باستخدام بنية الوقوع التالية:

  • نقاط:{أ،ب،ج،أ،ب،ج،P،سؤال،R،يا}{\displaystyle \{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}}
  • الأسطر:{أب،أج،بج،أب،أج،بج،أأ،بب،جج،Pسؤال}{\displaystyle \{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}}
  • الحوادث (بالإضافة إلى الحوادث الواضحة مثل(أ،أب){\displaystyle (A,AB)}):{(يا،أأ)،(يا،بب)،(يا،جج)،(P،بج)،(P،بج)،(سؤال،أج)،(سؤال،أج)،(R،أب)،(R،أب)}{\displaystyle \{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}}

والنتيجة المترتبة على ذلك هي(R،Pسؤال){\displaystyle (R,PQ)}—أن النقطة R تقع على الخط PQ .

أمثلة شهيرة

تتحقق نظرية ديزارج في المستوى الإسقاطي P إذا وفقط إذا كان P هو المستوى الإسقاطي فوق حلقة قسمة (حقل معكوس) D —P=P2د{\displaystyle P=\mathbb {P} _{2}D}يُطلق على المستوى الإسقاطي حينها اسم المستوى الديسارجي . وتنص نظرية أميتسور وبرغمان على أنه، في سياق المستويات الإسقاطية الديسارجية، لكل نظرية تقاطع، توجد هوية نسبية بحيث يحقق المستوى P نظرية التقاطع إذا وفقط إذا حققت حلقة القسمة D الهوية النسبية.

  • تنطبق نظرية بابوس السداسية في مستوى إسقاطي ديسارغيزيP2د{\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}إذا وفقط إذا كان D حقلاً ؛ فهو يطابق العنصر المحايد∀أ،ب∈د،أ⋅ب=ب⋅أ{\displaystyle \forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a}.
  • مبدأ فانو (الذي ينص على أن تقاطعًا معينًا لا يحدث) صحيح فيP2د{\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}إذا وفقط إذا كان لدى D خاصية≠2{\displaystyle \neq 2}؛ وهو ما يتوافق مع المعادلة a + a = 0 .

مراجع