المستوى الإسقاطي

في الرياضيات ، المستوى الإسقاطي هو بنية هندسية تُوسّع مفهوم المستوى. في المستوى الإقليدي العادي ، يتقاطع خطان عادةً في نقطة واحدة، ولكن توجد بعض أزواج الخطوط (أي الخطوط المتوازية) التي لا تتقاطع. يمكن اعتبار المستوى الإسقاطي مستوىً عاديًا مزودًا بنقاط إضافية عند اللانهاية حيث تتقاطع الخطوط المتوازية. وبالتالي، يتقاطع أي خطين مختلفين في المستوى الإسقاطي في نقطة واحدة فقط.

وضع فنانو عصر النهضة، بتطويرهم لتقنيات الرسم المنظوري ، الأسس لهذا الموضوع الرياضي. والمثال النموذجي هو المستوى الإسقاطي الحقيقي ، المعروف أيضًا بالمستوى الإقليدي الممتد . ^{[ 1 ]} يُعد هذا المثال، بأشكال مختلفة قليلاً، مهمًا في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا والهندسة الإسقاطية ، حيث يُرمز إليه برموز متنوعة مثل PG (2, R ) أو RP² أو ^P² ( _{R )، من بين رموز أخرى. وهناك العديد} من المستويات الإسقاطية الأخرى، منها اللانهائية، مثل المستوى الإسقاطي المركب ، ومنها المحدودة، مثل مستوى فانو .

المستوى الإسقاطي هو فضاء إسقاطي ثنائي الأبعاد . لا يمكن تضمين جميع المستويات الإسقاطية في فضاءات إسقاطية ثلاثية الأبعاد؛ إن إمكانية التضمين هذه هي نتيجة لخاصية تُعرف باسم نظرية ديزارج ، وهي خاصية لا تشترك فيها جميع المستويات الإسقاطية.

المستوى الإسقاطي هو بنية وقوع من الرتبة 2${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$يتكون من مجموعة من النقاط${\displaystyle {\mathcal {P}}}$مجموعة من الخطوط${\displaystyle {\mathcal {L}}}$وعلاقة متناظرة${\displaystyle I}$في موقع التصوير${\displaystyle {\mathcal {P}}\cup {\mathcal {L}}}$يُطلق عليها اسم "الوقوع" ، ولها الخصائص التالية: ^{[ 2 ]}

الشرط الثاني يعني عدم وجود خطوط متوازية . أما الشرط الأخير فيستثني ما يُسمى بالحالات الشاذة (انظر أدناه ). يُستخدم مصطلح "الوقوع" للتأكيد على الطبيعة المتناظرة للعلاقة بين النقاط والخطوط. لذا، يُستخدم التعبير "النقطة P واقعة على الخط ℓ " بدلاً من " P تقع على ℓ " أو " ℓ يمر عبر P ".

ويترتب على التعريف أن عدد النقاط${\displaystyle s+1}$عدد الخطوط المتقاطعة مع أي خط معين في مستوى إسقاطي يساوي عدد الخطوط المتقاطعة مع أي نقطة معينة. العدد الأصلي (الذي قد يكون لانهائيًا)${\displaystyle s}$يُطلق عليه ترتيب الطائرة.

على الرغم من أن الخط الموجود في اللانهاية للمستوى الحقيقي الممتد قد يبدو ذا طبيعة مختلفة عن الخطوط الأخرى في ذلك المستوى الإسقاطي، إلا أن هذا ليس صحيحًا. يُظهر بناء آخر لنفس المستوى الإسقاطي أنه لا يمكن تمييز أي خط (من الناحية الهندسية) عن أي خط آخر. في هذا البناء، تُمثل كل "نقطة" في المستوى الإسقاطي الحقيقي فضاءً جزئيًا أحادي البعد ( خطًا هندسيًا ) يمر بنقطة الأصل في فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد، وينشأ "الخط" في المستوى الإسقاطي من مستوى ( هندسي ) يمر بنقطة الأصل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن تعميم هذه الفكرة وتدقيقها بشكل أكبر كما يلي. ^{[ 3 ]}

ليكن K أي حلقة قسمة (حقل معكوس). ولتكن ^K³ مجموعة جميع الثلاثيات x = ( x₀ _, x₁ _, x₂ ₎ لعناصر K ( وهو حاصل ضرب ديكارتي يُنظر إليه كفضاء متجهي ). لأي عنصر x غير صفري في K³ ، فإن ^أصغر فضاء جزئي من ^K³ يحتوي على x ( والذي يمكن تصوره على أنه جميع المتجهات في خط مستقيم يمر بنقطة الأصل) هو المجموعة الجزئية

${\displaystyle \{kx:k\in K\}}$

من K ^3. وبالمثل، ليكن x و y عنصرين مستقلين خطيًا من K ³ ، مما يعني أن kx + my = 0 يستلزم أن k = m = 0. أصغر فضاء جزئي من K ³ يحتوي على x و y (والذي يمكن تصوره على أنه جميع المتجهات في مستوى يمر بنقطة الأصل) هو المجموعة الجزئية

${\displaystyle \{kx+my:k,m\in K\}}$

من K ^3. يحتوي هذا الفضاء الجزئي ثنائي الأبعاد على فضاءات جزئية أحادية الأبعاد مختلفة تمر بنقطة الأصل، ويمكن الحصول عليها بتثبيت قيمتي k و m وأخذ مضاعفات المتجه الناتج. اختيار قيم مختلفة لـ k و m بنفس النسبة سيعطي نفس الخط.

المستوى الإسقاطي على K ، ويرمز له بـ PG(2, K ) أو K P ² ، يحتوي على مجموعة من النقاط تتألف من جميع الفضاءات الجزئية أحادية البعد في K ^3. وتُسمى المجموعة الجزئية L من نقاط PG(2, K ) خطًا في PG(2, K ) إذا وُجد فضاء جزئي ثنائي البعد من K ³ تكون مجموعة فضاءاته الجزئية أحادية البعد هي L تحديدًا .   

عادة ما يتم ترك التحقق من أن هذا البناء ينتج مستوى إسقاطي كتمرين في الجبر الخطي.

يُمكن تقديم رؤية بديلة (جبرية) لهذا البناء على النحو التالي. نقاط هذا المستوى الإسقاطي هي فئات التكافؤ للمجموعة K ³ \ {(0, 0, 0)} بتردد علاقة التكافؤ

x ~ kx ، لكل k في K ^× .

يتم تعريف الخطوط في المستوى الإسقاطي تمامًا كما هو موضح أعلاه.

تُسمى إحداثيات النقطة ( x₀ _, x₁ _, x₂ ) في PG(2 , K ) بالإحداثيات المتجانسة . يُمثل كل ثلاثي ( x₀ _, x₁ _, x₂ ) نقطةً محددةً جيدًا في PG(2, K ) ، باستثناء الثلاثي (0, 0, 0) _الذي لا يُمثل أي نقطة. مع ذلك، تُمثل كل نقطة في PG(2, _K ) بالعديد من الثلاثيات.   

إذا كان K فضاءً طوبولوجيًا ، فإن K P 2 ^يرث طوبولوجيا عبر طوبولوجيا الضرب والفضاء الجزئي والقسمة .

الحقول المنتهية

بحسب نظرية ويدربورن ، يجب أن تكون حلقة القسمة المنتهية تبديلية، وبالتالي حقلاً. باعتبار K حقلاً منتهياً يحتوي على q = p ⁿ عنصراً، حيث p عدد أولي، ينتج مستوى إسقاطي مكون من q² + q + 1 نقطة. يُرمز لهذه المستويات عادةً بالرمز PG(2, ^q ) ، حيث PG اختصار للهندسة الإسقاطية، و"2" هو البُعد، و q يُسمى رتبة المستوى (وهو أقل بواحد من عدد النقاط على أي خط). يُرمز لمستوى فانو، الذي سنناقشه لاحقاً، بالرمز PG(2, 2). المثال الثالث أعلاه هو المستوى الإسقاطي PG(2, 3).   

مستوى فانو هو المستوى الإسقاطي الناتج عن حقل عنصرين. وهو أصغر مستوى إسقاطي، إذ يحتوي على سبع نقاط وسبعة خطوط فقط. في الشكل على اليمين، تظهر النقاط السبع على شكل كرات صغيرة، والخطوط السبعة على شكل ستة قطع مستقيمة ودائرة. مع ذلك، يمكن اعتبار الكرات بمثابة "خطوط" والقطع المستقيمة والدائرة بمثابة "نقاط" - وهذا مثال على الازدواجية في المستوى الإسقاطي: فإذا تم تبديل الخطوط والنقاط، يبقى الناتج مستوى إسقاطيًا (انظر أدناه ). يُطلق على تبديل النقاط السبع الذي يُبقي النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد اسم "التناظر" أو " التناظر " في المستوى. تُشكل تراكيب التناظر في أي شكل هندسي مجموعةً تحت التركيب، وبالنسبة لمستوى فانو، تحتوي هذه المجموعة على 168 عنصرًا. إنها المجموعة شبه الخطية الإسقاطية PΓL(3, 2)، والتي تتطابق في هذه الحالة مع المجموعة الخطية الإسقاطية PGL(3, 2) لأن المستوى له رتبة أولية.${\displaystyle q=2^{1}}$وبالتالي الحقل المنتهي${\displaystyle \operatorname {GF} (q)}$لا يوجد له أي تماثلات ذاتية غير تافهة.

مستوى فرعي من مستوى إسقاطي${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$هو مستوى إسقاطي${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')}$مع${\displaystyle {{\mathcal {P}}'}\subseteq {\mathcal {P}}}$، ${\displaystyle {{\mathcal {L}}'}\subseteq {\mathcal {L}}}$و${\displaystyle I'}$تقييد علاقة الحدوث${\displaystyle I}$ل${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})\times ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})}$.

( بروك 1955 ) يثبت النظرية التالية. ليكن Π مستوى إسقاطي محدود من الرتبة N مع مستوى فرعي مناسب Π ₀ من الرتبة M. عندئذٍ إما N = M ² أو N ≥ M ² + M.

طائرة فرعية${\displaystyle ({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')}$ل${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)}$يُعتبر مستوى فرعي من مستويات باير إذا كان كل خط في${\displaystyle {\mathcal {L}}\setminus {{\mathcal {L}}'}}$حادثة ذات نقطة واحدة بالضبط في${\displaystyle {\mathcal {P}}'}$وكل نقطة في${\displaystyle {\mathcal {P}}\setminus {{\mathcal {P}}'}}$الحادثة تحدث مع سطر واحد فقط من${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$.

مستوى إسقاطي ديزارغي محدود من الرتبة ${\displaystyle q}$يقبل مستويات باير الفرعية (جميعها بالضرورة ديزارغيسية) إذا وفقط إذا${\displaystyle q}$مربع؛ في هذه الحالة يكون ترتيب المستويات الفرعية لباير هو${\displaystyle {\sqrt {q}}}$.

في المستويات الديزارجية المنتهية PG(2, p ⁿ )، تكون رتب المستويات الفرعية هي رتب الحقول الفرعية للحقل المنتهي GF( p ⁿ )، أي p ⁱ حيث i قاسم للعدد n . أما في المستويات غير الديزارجية، فإن نظرية بروك هي المعلومة الوحيدة حول رتب المستويات الفرعية. ولا يُعرف ما إذا كانت حالة المساواة في متباينة هذه النظرية تحدث. يبقى السؤال مفتوحًا حول ما إذا كان يوجد مستوى فرعي من الرتبة M في مستوى من الرتبة N بحيث M ² + M = N. وإذا وُجدت مثل هذه المستويات الفرعية، فستكون هناك مستويات إسقاطية من رتبة مركبة (ليست أسية أولية). 

أدى إسقاط المستوى الإقليدي إلى إنتاج المستوى الإسقاطي الحقيقي. أما العملية العكسية - بدءًا من المستوى الإسقاطي، وإزالة خط واحد وجميع النقاط الواقعة على هذا الخط - فتنتج مستوىً أفينيًا .

لا تُحقق المستويات المنحلة الشرط الثالث في تعريف المستوى الإسقاطي. فهي ليست معقدة بنيويًا بما يكفي لتكون مثيرة للاهتمام في حد ذاتها، ولكنها تظهر من حين لآخر كحالات خاصة في سياقات عامة. يوجد سبعة أنواع من المستويات المنحلة وفقًا لـ ( ألبرت وساندلر ، 1968 ) . وهي:

1. المجموعة الفارغة؛
2. نقطة واحدة، بدون خطوط؛
3. خط واحد، بدون نقاط؛
4. نقطة واحدة، مجموعة من الخطوط، النقطة تقع على جميع الخطوط؛
5. خط واحد، مجموعة من النقاط، جميع النقاط تقع على الخط؛
6. نقطة P تقع على خط m ، ومجموعة عشوائية من الخطوط التي تقع جميعها على P ومجموعة عشوائية من النقاط التي تقع جميعها على m ؛
7. نقطة P لا تقع على خط m ، ومجموعة عشوائية (يمكن أن تكون فارغة) من الخطوط التي تقع جميعها على P وجميع نقاط تقاطع هذه الخطوط مع m .

هذه الحالات السبع ليست مستقلة، ويمكن اعتبار الحالتين الرابعة والخامسة حالتين خاصتين من الحالة السادسة، بينما تُعتبر الحالتان الثانية والثالثة حالتين خاصتين من الحالتين الرابعة والخامسة على التوالي. ويمكن اعتبار الحالة الخاصة للمستوى السابع بدون خطوط إضافية مستوىً ثامناً. وبالتالي، يمكن تنظيم جميع الحالات في مجموعتين متناظرتين ذاتياً من المستويات المنحلة كما يلي (هذا التمثيل خاص بالمستويات المنحلة المحدودة، ولكن يمكن توسيعه ليشمل المستويات المنحلة غير المحدودة بطريقة طبيعية):

1 ) لأي عدد من النقاط P1 _، ...، Pn _، والخطوط L1 _، ...، Lm _،

L ₁ = { P ₁ , P ₂ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ }

L ₃ = { P ₁ }

...

L _m = { P ₁ }

2) لأي عدد من النقاط P ₁ ، ... ، P _n ، والخطوط L ₁ ، ... ، L _n ، (نفس عدد النقاط مثل الخطوط)

L ₁ = { P ₂ , P ₃ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ , P ₂ }

L ₃ = { P ₁ , P ₃ }

...

L _n = { P ₁ , P _n }

إن استقامة المستوى الإسقاطي هي خريطة تقابلية من المستوى إلى نفسه والتي تحول النقاط إلى نقاط والخطوط إلى خطوط مع الحفاظ على التداخل، مما يعني أنه إذا كانت σ تقابلية وكانت النقطة P على الخط m ، فإن P ^σ تقع على m ^σ . ^{[ 10 ]}

إذا كان σ استقامة لمستوى إسقاطي، فإن النقطة P التي تحقق P = P ^σ تُسمى نقطة ثابتة لـ σ ، والمستقيم m الذي يحقق m = m ^σ يُسمى مستقيمًا ثابتًا لـ σ . لا يشترط أن تكون النقاط الواقعة على المستقيم الثابت نقاطًا ثابتة، فصورها تحت تأثير σ مُقيدة فقط بالوقوع على هذا المستقيم. تُشكل مجموعة النقاط والخطوط الثابتة للاستقامة تكوينًا مغلقًا ، وهو نظام من النقاط والخطوط التي تُحقق الشرطين الأولين، ولكن ليس بالضرورة الشرط الثالث، في تعريف المستوى الإسقاطي. بالتالي، فإن بنية النقطة والخط الثابت لأي استقامة تُشكل إما مستوى إسقاطيًا بحد ذاتها، أو مستوى مُنحطًا . تُسمى الاستقامات التي تُشكل بنيتها الثابتة مستوىً استقامات مستوية . 

يُعرَّف المستوى الإسقاطي بديهيًا بأنه بنية وقوع ، بدلالة مجموعة P من النقاط، ومجموعة L من الخطوط، وعلاقة وقوع I التي تحدد أي النقاط تقع على أي الخطوط. وبما أن P و L مجرد مجموعات، يمكن تبديل أدوارهما وتعريف بنية ثنائية للمستوى .

من خلال تبديل دور "النقاط" و"الخطوط" في

ج = ( ف ، ل ، ي )

نحصل على البنية الثنائية

C * = ( L , P , I *),

حيث أن I * هي العلاقة العكسية لـ I.

في المستوى الإسقاطي، تُسمى العبارة التي تتضمن نقاطًا وخطوطًا وتقاطعًا بينها، والتي تُشتق من عبارة أخرى مماثلة عن طريق تبديل كلمتي "نقطة" و"خط" وإجراء التعديلات النحوية اللازمة، بالعبارة الثنائية للأولى. العبارة الثنائية للعبارة "نقطتان على خط واحد" هي "خطان يلتقيان في نقطة واحدة". ويُعرف تكوين العبارة الثنائية بعبارة " تثنية العبارة".

إذا كانت عبارة ما صحيحة في مستوى إسقاطي C ، فإن المستوى الثنائي لتلك العبارة يجب أن يكون صحيحًا في المستوى الثنائي C *. ويترتب على ذلك أن تحويل كل عبارة في البرهان إلى ثنائية "في C " يعطي عبارة من البرهان "في C *".

في المستوى الإسقاطي C ، يمكن إثبات وجود أربعة خطوط، لا يتقاطع أي منها في خط واحد. وبتطبيق هذه النظرية والبديهيتين الأوليين في تعريف المستوى الإسقاطي على المستوى الثنائي، يتضح أن البنية الثنائية للمستوى C * هي أيضًا مستوى إسقاطي، ويُسمى المستوى الثنائي لـ C.

إذا كانت C و C * متماثلتين، فإن C تُسمى ذاتية التناظر . المستويات الإسقاطية PG(2, K ) لأي حلقة قسمة K هي ذاتية التناظر. مع ذلك، توجد مستويات غير ديزارغيسية ليست ذاتية التناظر، مثل مستويات هول، وبعضها ذاتي التناظر، مثل مستويات هيوز . 

ينص مبدأ الازدواجية المستوية على أن ازدواجية أي نظرية في مستوى إسقاطي ذاتي الازدواجية C ينتج عنها نظرية أخرى صالحة في C.

الازدواجية هي دالة من مستوى إسقاطي C = ( P , L , I ) إلى مستواه المزدوج C * = ( L , P , I *) (انظر أعلاه ) تحافظ على التداخل. أي أن الازدواجية σ تُسقط النقاط على ^الخطوط والخطوط على النقاط ( Pσ = L و Lσ = P ) بحيث إذا كانت النقطة Q تقع على خط m (يرمز لها بـ Q ∈ I m )، فإن ^Q ∈ ^I * m ∈ ^σ ⇔ m ^∈ I Q ∈ ^σ . تُسمى الازدواجية المتماثلة بالارتباط . ^{[ 12 ]} إذا وُجد ارتباط، فإن المستوى الإسقاطي C يكون مزدوجًا ذاتيًا.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها المستوى الإسقاطي من النوع PG(2, K )  ، حيث K حلقة قسمة، تُسمى الازدواجية تبادلية . ^{[ 13 ]} هذه المستويات متناظرة ذاتيًا دائمًا. وبحسب النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية، فإن التبادلية هي تركيب دالة ذاتية الشكل لـ K وتجانس . إذا كان التشاكل الذاتي المعني هو دالة التطابق، فإن التبادلية تُسمى ارتباطًا إسقاطيًا .

يُطلق على الارتباط من الرتبة الثانية ( الانعكاس ) اسم القطبية . إذا لم يكن الارتباط φ قطبية، فإن φ ² يكون استقامة غير تافهة.

يمكن إثبات أن المستوى الإسقاطي يحتوي على نفس عدد الخطوط وعدد النقاط (سواء كان العدد لانهائيًا أو محدودًا). ​​وبالتالي، لكل مستوى إسقاطي محدود، يوجد عدد صحيح N ≥ 2 بحيث يكون للمستوى

N ² + N + 1 نقطة،

N ² + N + 1 خطًا،

N + 1 نقطة على كل خط، و

N + 1 خطًا تمر عبر كل نقطة.

يُطلق على العدد N اسم رتبة المستوى الإسقاطي.

يُطلق على المستوى الإسقاطي من الرتبة الثانية اسم مستوى فانو . انظر أيضًا مقالة الهندسة المنتهية .

باستخدام بناء الفضاء المتجهي مع الحقول المنتهية، يوجد مستوى إسقاطي من الرتبة N = p ⁿ ، لكل قوة أولية p ⁿ . في الواقع، بالنسبة لجميع المستويات الإسقاطية المنتهية المعروفة، فإن الرتبة N هي قوة أولية. ^{[ 14 ]}

إن وجود مستويات إسقاطية منتهية من رتب أخرى مسألة مفتوحة. القيد العام الوحيد المعروف على الرتبة هو نظرية بروك-رايزر-تشاولا التي تنص على أنه إذا كانت الرتبة N متطابقة مع 1 أو 2 بتردد 4، فلا بد أن تكون مجموع مربعين. هذا يستبعد N = 6. أما الحالة التالية N = 10 فقد تم استبعادها بواسطة حسابات حاسوبية مكثفة. ^{[ 15 ]} لا يُعرف شيء آخر؛ وعلى وجه الخصوص، لا تزال مسألة وجود مستوى إسقاطي منتهٍ من الرتبة N = 12 مفتوحة. ^{[ 16 ]}

ومن المسائل المفتوحة الأخرى التي ظلت قائمة لفترة طويلة ما إذا كانت هناك مستويات إسقاطية منتهية ذات رتبة أولية ليست مستويات حقول منتهية (أو بعبارة أخرى، ما إذا كان هناك مستوى إسقاطي غير ديزارغيزي ذو رتبة أولية). ^{[ 17 ]}

المستوى الإسقاطي من الرتبة N هو نظام شتاينر S(2, N + 1, N ² + N + 1) (انظر نظام شتاينر ). وبالعكس، يمكن إثبات أن جميع أنظمة شتاينر من هذا الشكل ( λ = 2 ) هي مستويات إسقاطية.

عدد المربعات اللاتينية المتعامدة المتبادلة من الرتبة N هو على الأكثر N − 1. يوجد N − 1 إذا وفقط إذا كان هناك مستوى إسقاطي من الرتبة N.

لتحديد عدد التوازيات في المستوى الإسقاطي PG(2,k) حيث k=p ^m ، لاحظ أولاً أن المصفوفة القابلة للعكس 3 × 3 على GF( k ) تُحدد بصورة أساس تحت عملية الضرب. يوجد${\displaystyle k^{3}-1}$خيارات الصورة غير الصفرية لمتجه الأساس الأول،${\displaystyle k^{3}-k}$خيارات لصورة متجه الأساس الثاني مستقلة خطيًا عن الصورة الأولى، و${\displaystyle k^{3}-k^{2}}$خيارات لصورة متجه الأساس الثالث مستقلة خطيًا عن الصورتين الأوليين. وبالتالي، هناك${\displaystyle \left(k^{3}-1\right)\left(k^{3}-k\right)\left(k^{3}-k^{2}\right)}$مصفوفات قابلة للعكس مختلفة - ولكن${\displaystyle k-1}$بعضها مضاعفات لبعضها البعض، وبالتالي تمثل نفس التجانس، لذلك يوجد

${\displaystyle {\frac {\left(k^{3}-1\right)\left(k^{3}-k\right)\left(k^{3}-k^{2}\right)}{k-1}}=\left(k^{2}+k+1\right)(k+1)k^{3}(k-1)^{2}}$

تماثلات مختلفة. كل تماثل خطي هو نتاج تماثل وتماثل ذاتي لـ GF( pm )، وهناك m من هذه التماثلات ^{الذاتية} ، لذا يوجد${\displaystyle m\left(k^{2}+k+1\right)(k+1)k^{3}(k-1)^{2}}$ترتيبات مختلفة.

على الرغم من أن تصنيف جميع المستويات الإسقاطية لم يكتمل بعد، إلا أن النتائج معروفة بالنسبة للترتيبات الصغيرة:

• 2  : جميعها متماثلة مع PG(2, 2) ، التكوين (7 ₃ ) مع 168 خطًا متوازيًا
• 3  : جميعها متماثلة مع PG(2, 3) ، التكوين (13 ₄ ) مع 5616 خطًا متوازيًا
• 4  : جميعها متماثلة مع PG(2, 4)، التكوين (21 ₅ ) مع 120960 خطًا متوازيًا
• 5  : جميعها متماثلة مع PG(2, 5)، التكوين (31 ₆ ) مع 372000 خط مستقيم
• 6  : مستحيل كرتبة مستوى إسقاطي، وقد أثبت ذلك تاري الذي بيّن أن مسألة الضباط الستة والثلاثين لأويلر ليس لها حل. ومع ذلك، لم تكن العلاقة بين هذه المسائل معروفة حتى أثبتها بوز في عام 1938. ^{[ 18 ]}
• 7  : جميعها متماثلة مع PG(2, 7)، التكوين (57 ₈ ) مع 5,630,688 خطًا متوازيًا
• 8  : جميعها متماثلة مع PG(2, 8)، التكوين (73 ₉ ) مع 32,965,632 خطًا متوازيًا
• 9  : PG(2, 9)، وثلاثة مستويات أخرى مختلفة (غير متماثلة) وغير ديزارغيسية : مستوى هيوز ، ومستوى هول ، والمستوى المزدوج لمستوى هول هذا. جميعها موصوفة في ( Room & Kirkpatrick 1971 ) .
• 10  : مستحيل كترتيب لمستوى إسقاطي، وقد تم إثبات ذلك من خلال حسابات حاسوبية مكثفة. ^{[ 15 ]}
• 11  : على الأقل PG(2, 11)، التكوين (133 ₁₂ ) مع 212,427,600 محاذاة؛ والأخرى غير معروفة ولكنها ممكنة.
• 12  : يُعتقد أنه مستحيل كترتيب لمستوى إسقاطي. ^{[ 19 ]}

يمكن اعتبار المستويات الإسقاطية بمثابة هندسات إسقاطية ثنائية الأبعاد. ^{[ 20 ]} ويمكن تعريف الهندسات الإسقاطية ذات الأبعاد الأعلى من حيث علاقات التلاقي بطريقة مماثلة لتعريف المستوى الإسقاطي.

أصغر فضاء إسقاطي ذو بُعد 3 هو PG(3,2) .

تُعتبر هذه الأشكال "أكثر اعتدالًا" من المستويات الإسقاطية، إذ تسمح درجات الحرية الإضافية بإثبات نظرية ديزارغ هندسيًا في الهندسة ذات الأبعاد الأعلى. وهذا يعني أن "حلقة" الإحداثيات المرتبطة بالهندسة يجب أن تكون حلقة قسمة (حقل معكوس) K ، وأن الهندسة الإسقاطية متماثلة مع تلك المُنشأة من الفضاء المتجهي K d +1 ، أي PG( d , K ). وكما في الإنشاء المذكور سابقًا، فإن نقاط الفضاء الإسقاطي ذي البعد d ، PG( d , K )، هي الخطوط المارة بنقطة الأصل في K d +1 ، ويقابل كل خط في PG( d , K ) مستوىً يمر بنقطة الأصل في K d +1  . في الواقع، كل كائن ذي بُعد i في PG( d , K )، حيث i < d ، هو فضاء متجهي (جبري) ذو بُعد ( i +1) من K d +1 ("يمر بنقطة الأصل"). وتعمم الفضاءات الإسقاطية بدورها إلى فضاءات غراسمان .    

يمكن إثبات أنه إذا تحققت نظرية ديزارغ في فضاء إسقاطي ذي بُعد أكبر من اثنين، فإنها تتحقق أيضًا في جميع المستويات التي يحتويها ذلك الفضاء. ولأن هناك مستويات إسقاطية لا تنطبق عليها نظرية ديزارغ ( مستويات غير ديزارغية )، فلا يمكن تضمين هذه المستويات في فضاء إسقاطي ذي بُعد أعلى. فقط المستويات الناتجة عن بناء الفضاء المتجهي PG(2, K ) يمكن أن تظهر في الفضاءات الإسقاطية ذات الأبعاد الأعلى. بعض فروع الرياضيات تقصر معنى المستوى الإسقاطي على هذا النوع فقط، وإلا لكانت العبارات العامة حول الفضاءات الإسقاطية ستضطر دائمًا إلى ذكر الاستثناءات عندما يكون البُعد الهندسي اثنين. ^{[ 21 ]} 

• تصميم الكتلة - تعميم للمستوى الإسقاطي المحدود.
• التصميم التوافقي
• مجموعة الفروق
• هيكل الحدوث
• المضلع المعمم
• الهندسة الإسقاطية
• المستوى غير الديزارغي
• مستوى إسقاطي أملس
• المستعرضات في الطائرات الإسقاطية المحدودة
• المستوى الإسقاطي المبتور – مستوى إسقاطي تمت إزالة رأس واحد منه.
• البعد VC لمستوى إسقاطي محدود

• ألبرت، أ. أدريان ؛ ساندلر، روبن (1968)، مقدمة في المستويات الإسقاطية المحدودة ، نيويورك: هولت، راينهارت ووينستون
• بايز، جون سي. (2002)، "الأوكتونيونات" ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 39 (2): 145-205 ، arXiv : math/0105155 ، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X ، S2CID 586512 
• باجشي، بهاسكار (2019)، "نهج نظري للترميز لتخمين التفرد للمستويات الإسقاطية ذات الرتبة الأولية"، التصاميم، والرموز، والتشفير ، 87 (10): 2375-2389 ، arXiv : 1801.07038 ، doi : 10.1007/s10623-019-00623-y ، MR 4001798 
• بامبرغ، جون؛ بنتيلا، تيم (2015)، "إكمال برهان سيغري لنظرية ويدربورن الصغيرة" (ملف PDF) ، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 47 (3): 483-492 ، doi : 10.1112/blms/bdv021 ، S2CID 123036578 
• بريدون، جلين إي. (1993)، الطوبولوجيا والهندسة ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-97926-3
• بروك، آر إتش (1955)، "مجموعات الفرق في زمرة منتهية"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 78 (2): 464-481 ، doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0069791-3
• بروك، آر إتش ؛ بوس، آر سي (1964)، "إنشاء مستويات الإزاحة من الفضاءات الإسقاطية" (ملف PDF) ، مجلة الجبر ، 1 : 85-102 ، doi : 10.1016/0021-8693(64)90010-9
• كاس، ري (2006)، الهندسة الإسقاطية: مقدمة ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 0-19-929886-6
• كوك، ديفيد الثاني؛ ميغليوري، خوان؛ ناغل، أوفه؛ زانيلو، فابريزيو (2016)، "مقاربة جبرية للمستويات الإسقاطية المحدودة"، مجلة التوافقية الجبرية ، 43 (3): 495-519 ، arXiv : 1503.04335 ، doi : 10.1007/s10801-015-0644-8 ، MR 3482438 
• ديمبوفسكي ، بيتر (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، الفرقة 44، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 3-540-61786-8، MR 0233275 
• جليسون، أندرو م. (1956)، "مستويات فانو المحدودة"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 78 (4): 797-807 ، doi : 10.2307/2372469 ، JSTOR 2372469 ، MR 0082684  
• غورودكوف، دينيس (2019)، "تثليث ذو 15 رأسًا للمستوى الإسقاطي الرباعي"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 62 (2): 348-373 ، arXiv : 1603.05541 ، doi : 10.1007/s00454-018-00055-w
• هول، مارشال (1943)، "المستويات الإسقاطية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 54 (2)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 229-277 ، doi : 10.2307/1990331 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1990331 ، MR 0008892   
• هيوز، د.؛ بايبر، ف. (1973)، المستويات الإسقاطية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90044-6
• كارتيزي، ف. (1976)، مقدمة في الهندسات المنتهية ، أمستردام: نورث هولاند، ISBN 0-7204-2832-7
• قبلة، جيورجي؛ سزونيي، تاماس (2020)، الهندسات المحدودة ، بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة CRC، ISBN 978-1-4987-2165-3MR 4242245​ 
• لام، كليمنت دبليو إتش (1991)، "البحث عن مستوى إسقاطي محدود من الرتبة 10" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 98 (4): 305-318 ، doi : 10.1080/00029890.1991.12000759 ، JSTOR 2323798 ، تاريخ الاسترجاع : 19 يوليو 2026 
• ليندنر، تشارلز سي؛ رودجر، كريستوفر أ، محرران (31 أكتوبر 1997)، نظرية التصميم (  الطبعة الثانية)، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 0-8493-3986-3
• لونبورغ، هاينز (1980)، طائرات الترجمة ، برلين: سبرينغر فيرلاغ، ISBN 0-387-09614-0
• مولتون، فورست راي (1902)، "هندسة مستوية بسيطة غير ديزارغيسية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 3 (2): 192-195 ، doi : 10.2307/1986419 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1986419  
• نيومان ، هانا (1954) ، “في بعض المستويات غير المحدودة من الديسارجيسية”، Archiv der Mathematik ، 6 : 36–40 ، دوى : 10.1007 / BF01899210
• روم، تي جي ؛ كيركباتريك، بي بي (1971)، هندسة الكواتيرنيون المصغر ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-07926-8
• شافاريفيتش، آي آر (1994)، الهندسة الجبرية الأساسية ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-54812-2
• ستيفنسون، فريدريك و. (1972)، المستويات الإسقاطية ، سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان وشركاه، رقم ISBN 0-7167-0443-9
• سويتاكي، تشيهيرو (2004)، "عدم وجود مستويات إسقاطية من الرتبة 12 مع مجموعة استقامة من الرتبة 16"، مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ ، 107 (1): 21-48 ، doi : 10.1016/j.jcta.2004.03.006 ، MR 2063952 
• تايت، مايكل (2019)، "حول مسألة نيومان"، الرياضيات المتقطعة ، 342 (10): 2843-2845 ، arXiv : 1509.06587 ، doi : 10.1016/j.disc.2018.11.004
• وينتروب، ستيفن هـ. (1978)، "تأثيرات المجموعات على المستويات الإسقاطية الرباعية المتماثلة"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 70 (1): 75-82 ، doi : 10.2307/2042588 ، JSTOR 2042588 

• جي. إريك مورهاوس، المستويات الإسقاطية ذات الرتبة الصغيرة ، (2003)
• تش. ويبيل : مسح للمستويات غير الديزارغيسية
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "المستوى الإسقاطي" ، عالم الرياضيات
• "المستوى الإسقاطي" في PlanetMath .