طائرة فانو

في الهندسة المنتهية ، يُعدّ مستوى فانو (نسبةً إلى جينو فانو ) مستوىً إسقاطيًا منتهيًا بأقل عدد ممكن من النقاط والخطوط: 7 نقاط و7 خطوط، مع 3 نقاط على كل خط و3 خطوط تمر بكل نقطة. لا يمكن أن توجد هذه النقاط والخطوط بهذا النمط من التلاقي في الهندسة الإقليدية ، ولكن يمكن إعطاؤها إحداثيات باستخدام الحقل المنتهي ذي العنصرين، GF(2) . يُرمز لهذا المستوى، كعضو في عائلة الفضاءات الإسقاطية ، بالرمز PG(2, 2) . هنا، يرمز PG إلى " الهندسة الإسقاطية "، والمعامل الأول هو البُعد الهندسي (فهو مستوى ذو بُعد 2)، والمعامل الثاني هو الرتبة (عدد النقاط لكل خط، ناقص واحد).

يُعدّ مستوى فانو مثالاً على بنية التلاقي المحدود ، لذا يمكن تحديد العديد من خصائصه باستخدام التقنيات التوافقية وغيرها من الأدوات المستخدمة في دراسة هندسة التلاقي . وبما أنه فضاء إسقاطي، فإن التقنيات الجبرية تُعدّ أيضاً أدوات فعّالة في دراسته.

في استخدام منفصل، يُعرف مستوى فانو بأنه مستوى إسقاطي لا يحقق بديهية فانو مطلقًا ؛ بمعنى آخر، تكون النقاط القطرية لرباعي كامل دائمًا على استقامة واحدة. ^{[ 1 ]} مستوى فانو المكون من 7 نقاط وخطوط هو مستوى فانو.

يُصوّر التمثيل القياسي لمستوى فانو نقاطه السبع على أنها رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، ومنتصفات أضلاعه ، ومركزه، بينما تُمثّل خطوطه السبعة أضلاع المثلث الثلاثة ومحاور تناظره الثلاثة، بالإضافة إلى دائرة تمر بمنتصفات الأضلاع الثلاثة. مع ذلك، فإن الاختلافات المرئية بين مواقع هذه النقاط وأشكال هذه الخطوط ما هي إلا نتيجة لطريقة التمثيل. وباعتباره بنية مجردة، يتميز مستوى فانو بتناظر عالٍ، حيث تربط التناظرات أي نقطة بأي نقطة أخرى، أو أي خط بأي خط آخر.

يمكن إنشاء مستوى فانو باستخدام الجبر الخطي باعتباره المستوى الإسقاطي على الحقل المنتهي ذي العنصرين. وبالمثل، يمكن إنشاء مستويات إسقاطية على أي حقل منتهٍ آخر، مع العلم أن مستوى فانو هو أصغرها.

باستخدام البناء القياسي للفضاءات الإسقاطية عبر الإحداثيات المتجانسة ، يمكن تسمية النقاط السبع في مستوى فانو بسبعة ثلاثيات مرتبة غير صفرية من الأرقام الثنائية: 001، 010، 011، 100، 101، 110، و111. ويمكن تحقيق ذلك بحيث يكون لكل نقطتين p و q ، تكون النقطة الثالثة على الخط pq هي النقطة التي تُشكل مجموع تسميتي p و q بتردد 2 رقمًا برقم (مثلاً، 010 و111 ينتج عنهما 101). وبعبارة أخرى، تتوافق نقاط مستوى فانو مع النقاط غير الصفرية في الفضاء المتجهي المحدود ذي البعد 3 على الحقل المحدود ذي الرتبة 2.

بسبب هذا البناء، يعتبر مستوى فانو مستوى ديزارغي ، على الرغم من أن المستوى صغير جدًا بحيث لا يحتوي على تكوين ديزارغي غير متدهور (والذي يتطلب 10 نقاط و10 خطوط).

يمكن أيضًا إعطاء خطوط مستوى فانو إحداثيات متجانسة، باستخدام ثلاثيات غير صفرية من الأرقام الثنائية. في هذا النظام الإحداثي، تقع نقطة على خط إذا كان لكل من إحداثيات النقطة وإحداثيات الخط عدد زوجي من المواضع التي تحتوي على بتات غير صفرية: على سبيل المثال، النقطة 101 تقع على الخط 111، لوجود بتات غير صفرية في موضعين مشتركين. من منظور الجبر الخطي، تقع نقطة على خط إذا كان حاصل الضرب الداخلي للمتجهين اللذين يمثلان النقطة والخط يساوي صفرًا.

يمكن تصنيف الخطوط إلى ثلاثة أنواع.

• في ثلاثة من الخطوط، تحتوي الثلاثيات الثنائية للنقاط على الصفر في موضع ثابت: الخط 100 (الذي يحتوي على النقاط 001 و010 و011) يحتوي على الصفر في الموضع الأول، ويتم تشكيل الخطين 010 و001 بنفس الطريقة.
• في ثلاثة من الخطوط، يكون لموضعين في الثلاثيات الثنائية لكل نقطة نفس القيمة: في الخط 110 (الذي يحتوي على النقاط 001 و110 و111) يكون الموضع الأول والثاني متساويين دائمًا، ويتم تشكيل الخطين 101 و011 بنفس الطريقة.
• في السطر المتبقي 111 (الذي يحتوي على النقاط 011 و 101 و 110)، تحتوي كل ثلاثية ثنائية على اثنين من البتات غير الصفرية بالضبط.

بدلاً من ذلك، تتوافق النقاط السبع للمستوى مع العناصر السبعة غير المحايدة للمجموعة ( Z² ₎ ³ ⁼ Z² _× Z² _× Z² _. وتتوافق خطوط المستوى مع الزمر الجزئية من الرتبة 4، المتماثلة مع Z² × Z² _. زمرة التشاكل الذاتي GL(3, 2) للمجموعة (Z² _{) ³} ^هي زمرة مستوى فانو ، ورتبتها 168.

كما هو الحال مع أي بنية تقاطع، فإن مخطط ليفي لمستوى فانو هو مخطط ثنائي الأجزاء ، حيث تمثل رؤوس أحد الجزأين النقاط، بينما يمثل الآخر الخطوط، ويتصل رأسان إذا كانت النقطة والخط المقابلان متقاطعين . هذا المخطط تحديدًا هو مخطط مكعب متصل (منتظم من الدرجة 3)، محيطه 6 ، ويحتوي كل جزء منه على 7 رؤوس. وهو مخطط هيوود ، وهو مخطط القفص السداسي الفريد . ^{[ 2 ]}

التوازي ، أو التشاكل الذاتي ، أو التناظر في مستوى فانو هو تبديل للنقاط السبع يحافظ على التوازي: أي أنه ينقل النقاط المتوازية (على نفس الخط) إلى نقاط متوازية أخرى. وبحسب النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية ، فإن مجموعة التوازي الكاملة (أو مجموعة التشاكل الذاتي ، أو مجموعة التناظر ) هي المجموعة الخطية الإسقاطية PGL(3, 2) ، ^{[ أ ]} هيرشفيلد 1979 ، ص 131 ^{[ 3 ].} 

هذه مجموعة معروفة من الرتبة 168 = 2 ³ ·3·7، وهي المجموعة البسيطة غير التبديلية التالية بعد A ₅ من الرتبة 60 (مرتبة حسب الحجم).

باعتبارها مجموعة تبديلات تؤثر على النقاط السبع في المستوى، فإن مجموعة التوازي متعدية مرتين، مما يعني أنه يمكن ربط أي زوج مرتب من النقاط بواسطة توازي واحد على الأقل بأي زوج مرتب آخر من النقاط. ^{[ 4 ]} (انظر أدناه).

يمكن أيضًا اعتبار عمليات التجميع على أنها عمليات تحويل ذاتي تحافظ على اللون لمخطط هيوود (انظر الشكل).

بنية الدورة

تحتوي مجموعة التبديلات للنقاط السبع على 6 فئات اقتران .

تحدد كل من هذه الهياكل الدورية الأربعة فئة اقتران واحدة:

• تبديل الهوية
• 21 تبديلاً مع دورتين من 2
• 42 تبديلاً مع دورة رباعية ودورة ثنائية
• 56 تبديلاً مع دورتين ثلاثيتين

تُشكل التباديل الـ 48 ذات الدورة الكاملة المكونة من 7 عناصر فئتين متميزتين من الترافق مع 24 عنصرًا:

• A ترتبط بـ B ، وB بـ C ، وC بـ D. إذن D تقع على نفس الخط الذي تقع عليه A و B.
• A ترتبط بـ B ، و B بـ C ، وC بـ D. إذن D تقع على نفس الخط مع A و C.

(انظر هنا للاطلاع على القائمة الكاملة.)

عدد التلوينات غير المتكافئة لمستوى فانو مع${\displaystyle n}$يمكن حساب عدد الألوان عن طريق إدخال عدد هياكل الدورة في نظرية تعداد بوليا . هذا العدد من التلوينات هو ${\textstyle {{n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n} \over 168}}$(التسلسل A241929 في OEIS ) .

في أي مستوى إسقاطي، تُعرف مجموعة من أربع نقاط، لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة، والخطوط الستة الواصلة بين أزواج هذه النقاط، باسم الشكل الرباعي الكامل . تُسمى هذه الخطوط أضلاعًا ، ويُطلق على أزواج الأضلاع التي لا تلتقي عند أي من النقاط الأربع اسم الأضلاع المتقابلة . تُسمى النقاط التي تلتقي عندها الأضلاع المتقابلة نقاط القطر ، وعددها ثلاث. ^{[ 7 ]}

إذا كان هذا التكوين يقع في مستوى إسقاطي وكانت النقاط القطرية الثلاثة على خط مستقيم واحد، فإن النقاط السبع والخطوط السبعة للتكوين الموسع تشكل مستوى فرعي من المستوى الإسقاطي متماثل مع مستوى فانو ويسمى مستوى فرعي فانو .

تنص إحدى النتائج الشهيرة التي توصل إليها أندرو إم. غليسون على أنه إذا امتد كل شكل رباعي كامل في مستوى إسقاطي محدود إلى مستوى فرعي من مستويات فانو (أي أن نقاط قطره تقع على استقامة واحدة)، فإن هذا المستوى يكون ديزارغيزيًا. ^{[ 8 ]} أطلق غليسون على أي مستوى إسقاطي يحقق هذا الشرط اسم مستوى فانو، مما أدى إلى بعض الالتباس مع المصطلحات الحديثة. ومما يزيد الأمر تعقيدًا، أن بديهية فانو تنص على أن نقاط قطر الشكل الرباعي الكامل لا تقع أبدًا على استقامة واحدة، وهو شرط ينطبق على المستويين الإقليدي والحقيقي. وبالتالي، فإن ما أطلق عليه غليسون اسم مستويات فانو لا يحقق بديهية فانو. ^{[ 9 ]}

يحتوي مستوى فانو على الأعداد التالية من التكوينات المختلفة للنقاط والخطوط. لكل نوع من التكوينات، يكون حاصل ضرب عدد نسخ التكوين في عدد تناظرات المستوى التي تُبقي التكوين دون تغيير مساويًا لـ 168، وهو حجم مجموعة التناظرات الخطية الكاملة، بشرط إمكانية ربط كل نسخة بأي نسخة أخرى (انظر نظرية المدار-المثبت ). ولأن مستوى فانو ذاتي التناظر، فإن هذه التكوينات تأتي في أزواج ثنائية، ويمكن إثبات أن عدد التناظرات الخطية التي تُثبّت تكوينًا ما يساوي عدد التناظرات الخطية التي تُثبّت تكوينه الثنائي.

• توجد 7 نقاط ذات 24 تناظرًا تُثبّت أي نقطة، وبالمقابل، توجد 7 خطوط ذات 24 تناظرًا تُثبّت أي خط. ويُستنتج عدد التناظرات من خاصية التعدي الثنائي لمجموعة التوازي، مما يعني أن المجموعة تؤثر بشكل متعدٍّ على النقاط.
• يوجد 42 زوجًا مرتبًا من النقاط، ويمكن ربط كل زوج منها بأي زوج مرتب آخر عن طريق التناظر. ولكل زوج مرتب 4 تناظرات تثبته. وبالمثل، يوجد 21 زوجًا غير مرتب من النقاط، ويمكن ربط كل زوج منها بأي زوج غير مرتب آخر عن طريق التناظر. ولكل زوج غير مرتب 8 تناظرات تثبته.
• يوجد 21 علمًا، يتكون كل منها من خط ونقطة عليه. كل علم يُمثل زوجًا غير مُرتب من النقطتين الأخريين على نفس الخط. ولكل علم، ثمانية تناظرات مختلفة تُبقيه ثابتًا.
• توجد سبع طرق لاختيار شكل رباعي يتكون من أربع نقاط (غير مرتبة) لا تقع أي ثلاث منها على استقامة واحدة. تُشكل هذه النقاط الأربع مُتمِّمة خط، وهو الخط القطري للشكل الرباعي، وتُثبِّت الاستقامة الشكل الرباعي إذا وفقط إذا ثبَّتت الخط القطري. بالتالي، توجد 24 تناظرًا تُثبِّت أي شكل رباعي من هذا النوع. أما الشكل الثنائي فهو شكل رباعي يتكون من أربعة خطوط لا تتقاطع ثلاثة منها في نقطة واحدة، ونقاط تقاطعها الست هي مُتمِّمة نقطة في مستوى فانو.
• هناك${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}}$= 35 ثلاثية من النقاط، سبع منها ثلاثية متوازية، مما يترك 28 ثلاثية غير متوازية أو مثلثات . يُمثَّل التكوين المكون من نقاط المثلث الثلاث والخطوط الثلاثة الواصلة بين أزواج هذه النقاط بدورة سداسية في مخطط هيوود. يجب أن يكون التشاكل الذاتي الحافظ للألوان في مخطط هيوود، والذي يُثبِّت كل رأس من رؤوس الدورة السداسية، هو التشاكل الذاتي المحايد. ^{[ 2 ]} هذا يعني وجود 168 مثلثًا مُصنَّفًا مُثبَّتًا فقط بواسطة التوازي المحايد، وستة توازيات فقط تُثبِّت مثلثًا غير مُصنَّف، واحد لكل تبديل من النقاط. يمكن اعتبار هذه المثلثات الـ 28 مُقابلة للمماسات الثنائية الـ 28 لمنحنى رباعي . ^{[ 10 ]} هناك 84 طريقة لتحديد مثلث مع نقطة مميزة واحدة على ذلك المثلث وتناظرين يُثبِّتان هذا التكوين. ثنائي تكوين المثلث هو أيضًا مثلث.
• توجد 28 طريقة لاختيار نقطة وخط غير متجاورين ( علامة مضادة )، وست طرق لتبديل مستويات فانو مع تثبيت العلامة المضادة. لكل زوج من النقاط والخطوط غير المتجاورة ( p , l ) ، تشكل النقاط الثلاث التي لا تساوي p ولا تنتمي إلى l مثلثًا، ولكل مثلث توجد طريقة فريدة لتجميع النقاط الأربع المتبقية في علامة مضادة.
• هناك 28 طريقة لتحديد شكل سداسي لا تقع فيه ثلاثة رؤوس متتالية على خط مستقيم، وستة تناظرات تثبت أي شكل سداسي من هذا القبيل.
• هناك 84 طريقة لتحديد شكل خماسي لا تقع فيه ثلاثة رؤوس متتالية على خط مستقيم، وتناظران يحددان أي شكل خماسي.

يُعدّ مستوى فانو مثالًا على التكوين ( n³ ) ، أي مجموعة من n نقطة و n خطًا _، حيث تقع ثلاث نقاط على كل خط وثلاثة خطوط تمر بكل نقطة. مستوى فانو، وهو تكوين (7³ ₎ ، فريد من نوعه وأصغر تكوين من هذا النوع. ^{[ 11 ]} وفقًا لنظرية شتاينيتز ^{[ 12 ]،} يمكن تحقيق تكوينات من هذا النوع في المستوى الإقليدي بحيث لا تحتوي إلا على خط منحني واحد على الأكثر (جميع الخطوط الأخرى تقع على خطوط إقليدية). ^{[ 13 ]}

مستوى فانو هو تصميم كتلي متناظر صغير ، وتحديدًا تصميم 2-(7، 3، 1) . تمثل نقاط التصميم نقاط المستوى، بينما تمثل كتل التصميم خطوط المستوى. ^{[ 14 ]} ولذلك، يُعد مثالًا قيّمًا في نظرية التصميم (الكتلي).

باستخدام النقاط المُرقمة 0، 1، 2، ...، 6، تُمثل الخطوط (كمجموعات نقاط) إزاحات مجموعة الفرق المستوية (7، 3، 1) المُعطاة بـ {0، 1، 3} في المجموعة Z / 7Z . [ ^{14 ] وباستخدام} الخطوط المُرقمة ℓ0 _، ...، ℓ6 _، تُعطى مصفوفة الوقوع (الجدول) كما يلي :

نقطة خط	0	1	2	3	4	5	6
ℓ 0	1	1	0	1	0	0	0
ℓ 1	0	1	1	0	1	0	0
ℓ 2	0	0	1	1	0	1	0
ℓ 3	0	0	0	1	1	0	1
ℓ 4	1	0	0	0	1	1	0
5 لتر	0	1	0	0	0	1	1
6 لتر	1	0	1	0	0	0	1

يتم تشكيل مصفوفة فانو F ₇ عن طريق أخذ نقاط مستوى فانو كمجموعة أرضية، والمجموعات الفرعية غير الخطية المكونة من ثلاثة عناصر كقواعد.

يُعد مستوى فانو أحد الأمثلة المهمة في نظرية بنية الماترويدات . ويُعدّ استبعاد مستوى فانو كجزء صغير من الماترويدات ضروريًا لتوصيف العديد من الفئات المهمة من الماترويدات، مثل الماترويدات المنتظمة ، والماترويدات الرسومية ، والماترويدات الإسقاطية.

إذا قمت بتقسيم خط واحد إلى ثلاثة خطوط ثنائية النقاط، فستحصل على "التكوين غير الفانو"، والذي يمكن تضمينه في المستوى الحقيقي. وهو مثال مهم آخر في نظرية الماترويد، إذ يجب استبعاده لكي تصح العديد من النظريات.

يمكن تمديد مستوى فانو في بُعد ثالث لتشكيل فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد، يُرمز له بـ PG(3,  2) . يحتوي هذا الفضاء على 15 نقطة، و35 خطًا، و15 مستوى، وهو أصغر فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد . ^{[ 16 ]} كما يتميز بالخصائص التالية: ^{[ 17 ]}

• تقع كل نقطة ضمن 7 خطوط و7 مستويات.
• يحتوي كل خط على 3 مستويات ويحتوي على 3 نقاط.
• يحتوي كل مستوى على 7 نقاط و7 خطوط.
• كل مستوى متماثل مع مستوى فانو.
• كل زوج من المستويات المتميزة يتقاطع في خط مستقيم.
• يتقاطع خط ومستوى لا يحتوي على الخط في نقطة واحدة بالضبط.

• التكوين الإسقاطي
• تكوين باش
• يانصيب ترانسيلفانيا

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "مستوى فانو" ، عالم الرياضيات