صلة غالوا

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الترتيب ، يُعرف اتصال غالوا بأنه تناظر خاص (عادةً) بين مجموعتين مرتبتين جزئيًا (مجموعات جزئية). تُستخدم اتصالات غالوا في العديد من النظريات الرياضية، وهي تُعمم النظرية الأساسية لنظرية غالوا حول التناظر بين المجموعات الجزئية والحقول الجزئية ، والتي اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا .

يمكن تعريف اتصال غالوا أيضًا على المجموعات أو الأصناف المرتبة مسبقًا ؛ وتقدم هذه المقالة الحالة الشائعة للمجموعات المرتبة جزئيًا. تتضمن المراجع مفهومين مترابطين لاتصال غالوا. سنشير إليهما في هذه المقالة باسم اتصالات غالوا (الرتيبة) واتصالات غالوا المضادة .

يُعدّ اتصال غالوا ضعيفًا نسبيًا مقارنةً بتماثل الترتيب بين المجموعات المرتبة جزئيًا المعنية، لكن كل اتصال غالوا يُنتج تماثلًا بين مجموعات مرتبة جزئيًا فرعية معينة، كما سيُشرح لاحقًا. يُستخدم مصطلح "تناظر غالوا" أحيانًا للدلالة على اتصال غالوا تقابلي ؛ وهو ببساطة تماثل ترتيب (أو تماثل ترتيب مزدوج، اعتمادًا على ما إذا كنا نأخذ اتصالات غالوا أحادية أو مضادة).

التعريفات

(رتابة) اتصال غالوا

لتكن $(A, \leq)$ و $(B, \leq)$ مجموعتين مرتبتين جزئيًا . يتكون اتصال غالوا الرتيب بين هاتين المجموعتين من دالتين رتيبتين [ ^{1 ] ،} F $:$ $A$ $\to$ $B$ $و$ G $:$ $B$ $\to$ $A$ $،$ بحيث يكون لدينا لكل $a$ في $A$ و $b$ في $B$

F (a) \leq b

إذا وفقط إذا كان

a \leq G (b)

.

في هذه الحالة، يُطلق على $F اسم$ المرافق السفلي لـ $G$ ، ويُطلق على $G اسم$ المرافق العلوي لـ F. ويُشير مصطلحا العلوي والسفلي إلى موضع تطبيق الدالة بالنسبة إلى ≤. ^{[ 2 ]} ويُشير مصطلح "المرافق" إلى أن روابط غالوا الرتيبة هي حالات خاصة من أزواج الدوال المرافقة في نظرية الفئات ، كما سيتم توضيحه لاحقًا. ومن المصطلحات الأخرى المستخدمة هنا: المرافق الأيسر ( والمرافق الأيمن ) للمرافق السفلي (والمرافق العلوي).

من الخصائص الأساسية لوصلة غالوا أن المرافق العلوي/السفلي لوصلة غالوا يحدد الآخر بشكل فريد :

F (a)

هو أصغر عنصر

~ b

حيث

a \leq G (~ b)

، و

G (b)

هو أكبر عنصر

~ a

حيث

F (~ a) \leq b

.

نتيجة لذلك، إذا كانت $F$ أو $G$ تقابلية، فإن كل منهما هو عكس الآخر، أي $F = G -1$ .

بفرض وجود اتصال غالوا ذي المرافق السفلي $F$ والمرافق العلوي $G$ ، يمكننا اعتبار التركيبين $GF : A \to A$ ، المعروف باسم عامل الإغلاق المرتبط ، و $FG : B \to B$ ، المعروف باسم عامل النواة المرتبط. كلاهما رتيب ومتطابق ، ولدينا $a \leq GF (a)$ لكل $a$ في $A$ و $FG (b) \leq b$ لكل $b$ في $B.$

إدخال غالوا لـ B $في$ A $هو$ اتصال غالوا يكون فيه عامل النواة $FG$ هو العنصر المحايد على $B$ ، وبالتالي فإن ^G $هو$ تماثل ترتيبي لـ $B$ على مجموعة العناصر المغلقة $GF$ [ $A$ ] لـ $A.$ ^[³ ]

اتصال غالوا المتناقض

يُعدّ التعريف المذكور أعلاه شائعًا في العديد من التطبيقات اليوم، وله مكانة بارزة في نظرية الشبكات والمجالات . مع ذلك، يختلف المفهوم الأصلي في نظرية غالوا اختلافًا طفيفًا. في هذا التعريف البديل، يُعرَّف اتصال غالوا بأنه زوج من الدوال المتضادة ، أي الدوال التي تعكس الترتيب، $F$ $:$ $A$ $\to$ $B$ و $G$ $:$ $B$ $\to$ $A$ بين مجموعتين جزئيتين $A$ و $B$ ، بحيث

b \leq F (a)

إذا وفقط إذا كان

a \leq G (b)

.

يؤدي تناظر الدالتين $F$ و $G$ في هذه الصيغة إلى إزالة التمييز بين الأعلى والأسفل، وتُسمى الدالتان حينها قطبيتين بدلاً من دالتين مرافقتين. ^{[ 4 ]} تحدد كل قطبية الأخرى بشكل فريد، لأن

F (a)

هو أكبر عنصر

b

حيث

a \leq G (b)

، و

G (b)

هو أكبر عنصر

a

حيث

b \leq F (a)

.

التركيبات $GF : A \to A$ و $FG : B \to B$ هي عوامل الإغلاق المرتبطة بها؛ إنها خرائط رتيبة متساوية القوة مع الخاصية $a \leq GF (a)$ لجميع $a$ في $A$ و $b \leq FG (b)$ لجميع $b$ في $B.$

تتشابه دلالات التعريفين لوصلات غالوا إلى حد كبير، إذ أن وصلة غالوا المضادة بين $A$ و $B$ هي ببساطة وصلة غالوا أحادية بين $A$ والثنائية المرتبة $B لـ$ B. وبالتالي $،$ يمكن تحويل جميع العبارات التالية حول وصلات غالوا بسهولة إلى عبارات حول وصلات غالوا المضادة.

أمثلة

التقابلات

تقابل زوج من الدوال $f:X\to Y$ و $g:Y\to X,$ يشكل معكوس كل منهما علاقة غالوا (بسيطة)، كما يلي. ولأن علاقة المساواة انعكاسية ومتعدية وغير متناظرة، فهي، بشكل بديهي، ترتيب جزئي ، مما يجعل $(X,=)$ و $(Y,=)$ المجموعات المرتبة جزئياً. بما أن $f(x)=y$ إذا وفقط إذا $x=g(y),$ لدينا صلة بعائلة غالوا.

روابط غالوا الرتيبة

أرضية؛ سقف

اتصال رتيب جالوا بين $\mathbb {Z} ,$ مجموعة الأعداد الصحيحة ، و $\mathbb {R} ,$ مجموعة الأعداد الحقيقية ، كل منها بترتيبه المعتاد، تُعطى بدالة التضمين المعتادة للأعداد الصحيحة في مجموعة الأعداد الحقيقية ودالة الجزء الصحيح التي تقرب العدد الحقيقي إلى أكبر عدد صحيح أصغر منه أو يساويه. عادةً ما يتم تضمين الأعداد الصحيحة ضمنيًا، ولكن لإظهار علاقة غالوا، نجعلها صريحة. لذا، ليكن $F:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ لنرمز إلى دالة التضمين، مع $F(n)=n\in \mathbb {R} ,$ بينما $G:\mathbb {R} \to \mathbb {Z}$ يرمز إلى دالة الجزء الصحيح، لذلك $G(x)=\lfloor x\rfloor .$ التكافؤ $F(n)\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq G(x)$ ثم يترجم إلى

n\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq \lfloor x\rfloor .

هذا صحيح لأن المتغير $n$ يقتصر على الأعداد الصحيحة. ومن الخصائص المعروفة لدالة الجزء الصحيح، مثل $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,$ يمكن استنتاج ذلك من خلال الاستدلال البسيط من علاقة غالوا هذه.

تُعطي الترتيبات المزدوجة اتصال غالوا رتيبًا آخر، الآن مع دالة السقف :

x\leq n~\Leftrightarrow ~\lceil x\rceil \leq n.

مجموعة القوى؛ الاستلزام والاقتران

كمثال من نظرية الترتيب، ليكن $U$ مجموعة ما ، ولتكن $A$ و $B$ مجموعتي القوى لـ $U$ ، مرتبة حسب الاحتواء . اختر مجموعة جزئية ثابتة $L$ من $U.$ عندئذٍ، تُشكل الدالتان $F$ و $G$ ، حيث $F (M) = L \cap M$ و $G ( N ) = N ∪ ( U \ L )$ ، اتصال غالوا رتيبًا، مع كون $F$ هو المرافق السفلي. يمكن إيجاد اتصال غالوا مماثل، يُعطى مرافقه السفلي بعملية الالتقاء ( الحد الأدنى )، في أي جبر هيتينغ . على وجه الخصوص، يوجد هذا الاتصال في أي جبر بولياني ، حيث يمكن وصف الدالتين بـ $F (x) = (a \land x)$ و $G (y) = (y \lor \nega) = (a \Rightarrow y)$ . بعبارة منطقية : "الاستلزام من $a$ " هو المرافق العلوي لـ "الاقتران مع $a$ ".

الشبكات

تُشرح أمثلة أخرى مثيرة للاهتمام لوصلات غالوا في مقال خصائص الاكتمال . وبشكل عام، تُعتبر الدالتان ∨ و ∧ دالتين مرافقتين، سفلياً وعلوياً، للدالة القطرية $X \to X \times X.$ ويُعطى أصغر وأكبر عنصرين في الترتيب الجزئي بالدالتين المرافقتين، السفلية والعلوية، للدالة الوحيدة $X \to {1}.$ وبالنظر إلى أبعد من ذلك، يمكن حتى تمييز الشبكات الكاملة بوجود دوال مرافقة مناسبة. تُعطي هذه الاعتبارات انطباعاً عن انتشار وصلات غالوا في نظرية الترتيب.

إجراءات جماعية متعدية

لنفترض أن G $تؤثر$ بشكل متعدٍ على $X$ ولنختر نقطة ما $x$ في $X.$

{\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {or} \ gB\cap B=\emptyset \},

مجموعة الكتل التي تحتوي على $x$ . علاوة على ذلك، ليكن ${\mathcal {G}}$ تتكون من المجموعات الفرعية لـ $G$ التي تحتوي $على$ مثبت x .

ثم، المراسلات ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}$ :

B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}

هي علاقة غالوا أحادية أحادية رتيبة . ^{[ 5 ]} وكنتيجة لذلك ، يمكن إثبات أن التأثيرات المتعدية المزدوجة لا تحتوي على كتل أخرى غير الكتل التافهة (المجموعات المفردة أو المجموعة $X$ بأكملها ): وهذا يتبع من كون المثبتات قصوى في $G$ في هذه الحالة. انظر المجموعة المتعدية المزدوجة لمزيد من التفاصيل.

الصورة والصورة المعكوسة

إذا كانت $f$ دالة $من$ $X$ $إلى$ $Y$ ، فإنه لأي مجموعة جزئية $M$ من $X$ ، يمكننا تكوين الصورة F $($ $M$ $)$ $=$ $f ($ $M)$ $= {$ $f$ $($ $m$ $) |$ $m$ $\in$ $M$ $}$ ، ولأي مجموعة جزئية $N$ من $Y،$ $يمكننا$ تكوين الصورة العكسية $G$ $($ $N$ $) =$ $f⁻¹N$ $= {$ $x$ $\in$ $X$ $|$ $f$ $($ $x$ $) \in$ $N$ $}.$ عندئذٍ، $تُشكل$ $F$ و $G$ اتصال غالوا رتيبًا بين مجموعة القوى لـ $X$ ومجموعة القوى لـ $Y$ ، وكلاهما مُرتبتان حسب الاحتواء ⊆. يوجد زوج مرافق إضافي في هذه الحالة: لأي مجموعة جزئية $M$ من $X$ ، نُعرّف $H$ $($ $M$ $) = {$ $y$ $\in$ $Y$ $|$ $f⁻¹$ ${$ $y$ $} \subseteq$ $M$ $}.$ عندئذٍ، $يُشكل$ $G$ و $H$ اتصال غالوا رتيبًا بين مجموعة القوى لـ $Y$ ومجموعة القوى لـ $X.$ في اتصال غالوا الأول، $G$ هو المرافق العلوي، بينما في اتصال غالوا الثاني، يعمل كمرافق سفلي.

في حالة تطبيق القسمة بين الكائنات الجبرية (مثل المجموعات )، يُطلق على هذا الاتصال اسم نظرية الشبكة : تتصل المجموعات الفرعية من $G بالمجموعات الفرعية من$ $G / N$ ، ويتم إعطاء عامل الإغلاق على المجموعات الفرعية من $G بواسطة$ $H = HN$ .

المدى والإغلاق

اختر كائنًا رياضيًا $X$ له مجموعة أساسية ، مثل زمرة أو حلقة أو فضاء متجهي ، إلخ. لأي مجموعة جزئية $S$ من $X$ ، ليكن $F (S)$ أصغر كائن جزئي من $X$ يحتوي على $S$ ، أي الزمرة الجزئية أو الحلقة الجزئية أو الفضاء الجزئي المولد بواسطة $S.$ لأي كائن جزئي $U$ من $X$ ، ليكن $G (U)$ المجموعة الأساسية لـ $U.$ (يمكننا حتى اعتبار X $فضاءً$ طوبولوجيًا ، وليكن $F (S)$ إغلاق $S$ ، ولنعتبر "كائنات جزئية من X $"$ هي المجموعات الجزئية المغلقة من X $)$ . الآن، يشكل $F$ و $G$ اتصال غالوا رتيبًا بين المجموعات الجزئية من $X$ والكائنات الجزئية من $X$ ، إذا كانت كلتاهما مرتبة حسب الاحتواء. $F$ هو المرافق السفلي.

بناء الجملة والدلالات

من الملاحظات العامة لويليام لوفير ^{[ 6 ]} أن النحو والدلالة مترافقان: لنفترض أن $A$ هي مجموعة جميع النظريات المنطقية (البديهيات) مرتبة عكسيًا حسب قوتها، و $B$ هي مجموعة القوى لمجموعة جميع البنى الرياضية. بالنسبة لنظرية $T \in A$ ، لنفترض أن $Mod(T)$ هي مجموعة جميع البنى التي تحقق البديهيات $T$ ؛ وبالنسبة لمجموعة من البنى الرياضية $S \in B$ ، لنفترض أن $Th(S)$ هي الحد الأدنى من البديهيات التي تقارب $S$ (في منطق الرتبة الأولى ، هذه هي مجموعة الجمل الصحيحة في جميع البنى في $S$ ). يمكننا القول إذن أن $S$ هي مجموعة جزئية من $Mod(T)$ إذا وفقط إذا كانت $Th(S) تستلزم$ $T$ منطقيًا : يشكل "دالة الدلالة" $Mod$ و"دالة النحو" $Th$ اتصال غالوا رتيبًا، حيث تكون الدلالة هي المرافق العلوي.

وصلات غالوا المتناقضة

نظرية غالوا

يأتي المثال المحفز من نظرية غالوا: لنفترض أن $L / K$ امتداد حقل . ولتكن $A$ مجموعة جميع الحقول الجزئية من $L$ التي تحتوي على $K$ ، مرتبة حسب الاحتواء ⊆. إذا كان $E$ حقلاً جزئياً من هذا النوع، نكتب $Gal(L / E)$ لمجموعة التشاكلات الحقلية لـ $L$ التي تُثبّت $E.$ ولتكن $B$ مجموعة الزمر الجزئية من $Gal(L / K)$ ، مرتبة حسب الاحتواء ⊆. بالنسبة لزمرة جزئية $G$ من هذا النوع ، نُعرّف $Fix(G)$ على أنه الحقل الذي يتكون من جميع عناصر $L$ التي تُثبّت بواسطة جميع عناصر $G.$ عندئذٍ، تُشكّل الدالتان $E \mapsto Gal(L / E)$ و $G \mapsto Fix(G)$ اتصال غالوا مضاد.

الطوبولوجيا الجبرية: الفضاءات المغطاة

وبالمثل، إذا كان لدينا فضاء طوبولوجي $X$ متصل مسارياً ، فإنه يوجد اتصال غالوا مضاد بين الزمر الجزئية للمجموعة الأساسية $π$ $1$ $($ $X$ $)$ والفضاءات المغطاة المتصلة مسارياً لـ $X.$ وبالتحديد، إذا كان $X$ متصلاً اتصالاً بسيطاً شبه محلياً ، فإنه لكل زمرة جزئية $G$ من $π$ $1$ $($ $X$ $)$ ، يوجد فضاء مغطى تكون $G$ زمرته الأساسية.

الجبر الخطي: المُعدِّلات والمُكمِّلات المتعامدة

بفرض وجود فضاء جداء داخلي $V$ ، يمكننا تكوين المتمم المتعامد $F (X)$ لأي فضاء جزئي $X$ من $V.$ ينتج عن هذا اتصال غالوا مضاد بين مجموعة الفضاءات الجزئية من V $ونفسها$ ، مرتبة حسب الاحتواء؛ كلا القطبين متساويان لـ $F.$

بفرض فضاء متجهي $V$ ومجموعة جزئية $X$ من $V$ ، يمكننا تعريف دالة إفنائها $F (X)$ ، التي تتكون من جميع عناصر الفضاء الثنائي $V *$ للفضاء $V$ التي تنعدم على $X.$ وبالمثل، بفرض مجموعة جزئية $Y$ من $V *$ ، نُعرّف دالة إفنائها $G (Y) = {x \in V | φ (x) = 0 \forall φ \in Y}.$ وهذا يُعطي اتصال غالوا مضاد بين المجموعات الجزئية من $V$ والمجموعات الجزئية من $V *$ .

الهندسة الجبرية

في الهندسة الجبرية ، العلاقة بين مجموعات كثيرات الحدود ومجموعاتها الصفرية هي علاقة غالوا المضادة.

لنفترض عددًا طبيعيًا $n$ وحقلًا $K$ ، ولتكن $A$ مجموعة جميع المجموعات الجزئية من حلقة كثيرات الحدود $K$ $[$ $X1$ $,$ $...,$ $Xn$ $]$ مرتبةً حسب الاحتواء ⊆، ولتكن $B$ مجموعة جميع المجموعات الجزئية من $Kn$ مرتبةً حسب الاحتواء ⊆. إذا كانت $S$ مجموعة كثيرات حدود، فعرّف تنوع الأصفار كما $يلي$ $:$

V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ لجميع }}f\in S\},

مجموعة الأصفار المشتركة لكثيرات الحدود في $S.$ إذا كانت $U$ مجموعة جزئية من $K n$ ، فنُعرّف $I (U)$ على أنه مثالي كثيرات الحدود التي تتلاشى على $U$ ، أي

I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ لجميع }}x\in U\}.

ثم يشكل $V$ و I اتصالاً غالوا مضاداً.

إن الإغلاق على $K n$ هو الإغلاق في طوبولوجيا زاريسكي ، وإذا كان الحقل $K$ مغلقًا جبريًا ، فإن الإغلاق على حلقة كثير الحدود هو جذر المثالي المتولد بواسطة $S.$

بشكل عام، بالنظر إلى حلقة تبديلية $R$ (ليس بالضرورة حلقة متعددة الحدود)، هناك اتصال غالوا مضاد بين المثالي الجذري في الحلقة والمجموعات الفرعية المغلقة زاريسكي من التنوع الأفيني $Spec (R)$ .

وبشكل عام، هناك علاقة غالوا متقابلة بين المثاليات في الحلقة والمخططات الفرعية للتنوع الأفيني المقابل .

الروابط على مجموعات القوى الناشئة عن العلاقات الثنائية

لنفترض أن $X$ و $Y$ مجموعتان عشوائيتان، وأن $العلاقة$ الثنائية $R$ معطاة بينهما . لأي مجموعة جزئية $M$ من $X$ ، نُعرّف $F$ $($ $M$ $) = {$ $y$ $\in$ $Y$ $|$ $mRy$ $\forall$ $m$ $\in$ $M$ $}.$ وبالمثل، لأي مجموعة جزئية $N$ من $Y$ ، نُعرّف $G$ $($ $N$ $) = {$ $x$ $\in$ $X$ $|$ $xRn$ $\forall$ $n$ $\in$ $N$ $}.$ عندئذٍ ، تُنتج $F$ و $G$ اتصال غالوا مضادًا بين مجموعات القوى لـ $X$ و $Y ،$ $وكلاهما$ مُرتب حسب الاحتواء ⊆. ^[⁷^]

حتى التماثل، تنشأ جميع روابط غالوا المضادة بين مجموعات القوى بهذه الطريقة. ويستنتج هذا من "النظرية الأساسية حول شبكات المفاهيم". ^{[ 8 ]} تُدرس نظرية وتطبيقات روابط غالوا الناشئة عن العلاقات الثنائية في تحليل المفاهيم الرسمي . يستخدم هذا المجال روابط غالوا لتحليل البيانات الرياضية. يمكن العثور على العديد من خوارزميات روابط غالوا في المراجع ذات الصلة، على سبيل المثال، في ^{[ 9 ] .}

تتضمن شبكة المفاهيم العامة في نسختها الأولية كلاً من وصلات غالوا الرتيبة والمضادة لتوفير حدودها العليا والسفلى للعقد الخاصة بشبكة المفاهيم، على التوالي. ^{[ 10 ]}

ملكيات

فيما يلي، ندرس اتصال غالوا (الرتيب) $f$ $= ($ $f$ $*$ $,$ $f$ $*$ $)$ ، حيث $f$ $*$ $:$ $A$ $\to$ $B$ هو المرافق السفلي كما ذُكر سابقًا. يمكن استخلاص بعض الخصائص الأساسية المفيدة والإرشادية مباشرةً. فبحسب الخاصية المميزة لاتصالات غالوا، فإن $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ يكافئ $x$ $\leq$ $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $))$ ، لكل $x$ في $A.$ وبمنطق مماثل (أو بتطبيق مبدأ الازدواجية في نظرية الترتيب )، نجد أن $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $y$ $)) \leq$ $y$ ، لكل $y$ في $B.$ يمكن وصف هذه الخصائص بالقول إن التركيب $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ انكماشي ، بينما $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ تضخمي ( أو شامل ) .

لنفترض الآن أن $x و y ينتميان إلى المجموعة A$ بحيث $x \leq y$ . باستخدام ما سبق، نحصل على $x \leq f * (f * (y))$ . بتطبيق الخاصية الأساسية لوصلات غالوا، نستنتج أن $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $*$ $($ $y$ $)$ . لكن هذا يُظهر فقط أن $f$ $*$ تحافظ على ترتيب أي عنصرين، أي أنها رتيبة. وبالمثل، يُثبت منطق مماثل رتابة $f$ $*$ . لذا، لا داعي لذكر الرتابة صراحةً في التعريف. مع ذلك، يُساعد ذكر الرتابة على تجنب الالتباس بين المفهومين البديلين لوصلات غالوا.

من الخصائص الأساسية الأخرى لوصلات غالوا أن $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $))) =$ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ ، لكل $x$ في $B.$ من الواضح أننا نجد أن

f * (f * (f * (x))) \geq f * (x)

.

لأن $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ دالة تضخمية كما هو موضح أعلاه. من ناحية أخرى، بما أن $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ دالة انكماشية، بينما $f$ $*$ دالة رتيبة، نجد أن

f * (f * (f * (x))) \leq f * (x)

.

وهذا يُظهر المساواة المطلوبة. علاوة على ذلك، يمكننا استخدام هذه الخاصية للاستنتاج بأن

f * (f * (f * (f * (x)))) = f * (f * (x))

و

f * (f * (f * (f * (x)))) = f * (f * (x))

أي أن $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ و $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ متطابقتان .

يمكن إثبات (انظر بليث أو إرني للاطلاع على البراهين) أن الدالة $f$ تكون دالة مرافقة سفلية (أو علوية) إذا وفقط إذا كانت $f$ دالة متبقية (أو دالة متبقية). لذلك، فإن مفهوم الدالة المتبقية وعلاقة غالوا الرتيبة متطابقان جوهريًا.

مشغلو الإغلاق ووصلات غالوا

يمكن تلخيص النتائج المذكورة أعلاه كما يلي: بالنسبة لوصلة غالوا، فإن الدالة المركبة $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ رتيبة (لكونها مركبة من دوال رتيبة)، وتضخمية، ومتطابقة. وهذا يعني أن $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ هي في الواقع مؤثر إغلاق على $A.$ وبالمثل، فإن $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ رتيبة، وانكماشية، ومتطابقة. تُسمى هذه التطبيقات أحيانًا بمؤثرات النواة . في سياق الأطر والمواقع ، تُسمى الدالة المركبة $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ بالنواة المستحثة بواسطة $f$ . تُستحث النوى تشاكلات الأطر؛ وتُسمى مجموعة جزئية من موقع ما موقعًا فرعيًا إذا كانت مُعطاة بواسطة نواة.

على النقيض ، فإن أي عامل إغلاق $c$ على مجموعة جزئية مرتبة $A$ يُنشئ اتصال غالوا، حيث يكون المرافق السفلي $f$ $*$ $هو$ ببساطة تقييد $c$ على صورته (أي كدالة شاملة لنظام الإغلاق $c$ $($ $A$ $)$ ). أما المرافق العلوي $f$ $*$ فيُعطى بتضمين c ( $A$ $)$ $في$ A $،$ مما يُسقط كل عنصر مغلق على نفسه، باعتباره عنصرًا من $A. وبهذه الطريقة، يتضح$ $أن$ عوامل الإغلاق واتصالات غالوا مرتبطة ارتباطًا وثيقًا، حيث يُحدد كل منهما حالة من الآخر. وتنطبق استنتاجات مماثلة على عوامل النواة.

تُظهر الاعتبارات المذكورة أعلاه أيضًا أن العناصر المغلقة من $A$ (العناصر $x$ مع $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $)) =$ $x$ ) يتم تعيينها إلى عناصر ضمن نطاق عامل النواة $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ ، والعكس صحيح.

وجود وتفرد روابط غالوا

من الخصائص المهمة الأخرى لوصلات غالوا أن الدوال المرافقة السفلية تحافظ على جميع القيم العليا الموجودة ضمن نطاقها . وبالمثل، تحافظ الدوال المرافقة العلوية على جميع القيم الدنيا الموجودة . ومن هذه الخصائص، يمكن استنتاج رتابة الدوال المرافقة مباشرةً. وتنص نظرية الدالة المرافقة في نظرية الترتيب على أن العكس صحيح أيضًا في بعض الحالات: على وجه الخصوص، أي دالة بين الشبكات الكاملة تحافظ على جميع القيم العليا هي الدالة المرافقة السفلية لوصلة غالوا.

في هذه الحالة، تتمثل إحدى السمات المهمة لوصلات غالوا في أن أحد المرافقين يحدد الآخر بشكل فريد. وبالتالي، يمكن تعزيز العبارة السابقة لضمان أن أي دالة تحافظ على الحد الأعلى بين الشبكات الكاملة هي المرافق الأدنى لوصلة غالوا فريدة. الخاصية الرئيسية لاستنتاج هذه التفردية هي التالية: لكل $x$ في $A$ ، $فإن f$ $*$ $($ $x$ $)$ هو أصغر عنصر $y$ في $B$ بحيث $x$ $\leq$ $f$ $*$ $($ $y$ $)$ . وبالمثل، لكل $y$ في $B$ ، فإن $f$ $*$ $($ $y$ $)$ هو أكبر $x$ في $A$ بحيث $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $y$ . إن وجود وصلة غالوا معينة يستلزم وجود أصغر أو أكبر العناصر المقابلة، بغض النظر عما إذا كانت المجموعات المرتبة جزئيًا المقابلة تحقق أي خصائص اكتمال . وبالتالي، عند تحديد أحد المرافقين الأعلى لوصلة غالوا، يمكن تعريف المرافق الأعلى الآخر باستخدام هذه الخاصية نفسها.

من جهة أخرى، تكون الدالة الرتيبة $f$ دالة مرافقة سفلية إذا وفقط إذا احتوت كل مجموعة من الشكل ${$ $x$ $\in$ $A$ $|$ $f$ $($ $x$ $) \leq$ $b$ $}،$ حيث $b$ ∈ $B$ ، على عنصر أكبر. ويمكن تطبيق هذا المبدأ نفسه على الدالة المرافقة العلوية.

اتصالات جالوا كما مورفيسم

توفر روابط غالوا فئةً مثيرةً للاهتمام من التطبيقات بين المجموعات المرتبة جزئيًا، والتي يمكن استخدامها للحصول على فئات من المجموعات المرتبة جزئيًا. على وجه الخصوص، من الممكن تركيب روابط غالوا: فبالنظر إلى روابط غالوا $(f *, f *)$ بين المجموعتين $A$ و $B$ ، و $(g *, g *)$ بين $B$ و $C$ ، فإن التركيب $(g * \circ f *, f * \circ g *) هو$ أيضًا رابط غالوا. عند النظر في فئات الشبكات الكاملة، يمكن تبسيط ذلك إلى النظر فقط في التطبيقات التي تحافظ على جميع القيم العليا (أو، بدلاً من ذلك، القيم الدنيا). تُظهر هذه الفئات، التي تُسقط الشبكات الكاملة على ثنائياتها، ازدواجية ذاتية ، وهي أساسية جدًا للحصول على نظريات الازدواجية الأخرى. أما الأنواع الأكثر خصوصية من التشكلات التي تُنتج تطبيقات مُرافقة في الاتجاه الآخر، فهي التشكلات التي تُعتبر عادةً للأطر (أو المواقع).

الصلة بنظرية الفئات

يمكن اعتبار كل مجموعة مرتبة جزئيًا فئةً بطريقة طبيعية: يوجد تشاكل وحيد من x إلى y إذا وفقط إذا كان $x \leq y$ . وبالتالي، فإن اتصال غالوا الرتيب ليس إلا زوجًا من الدوال المرافقة بين فئتين ناشئتين عن مجموعات مرتبة جزئيًا. في هذا السياق، يُسمى المرافق العلوي بالمرافق الأيمن، بينما يُسمى المرافق السفلي بالمرافق الأيسر . مع ذلك، يُتجنب استخدام هذا المصطلح في اتصالات غالوا، نظرًا لوجود فترة كانت تُحوّل فيها المجموعات المرتبة جزئيًا إلى فئات بطريقة ثنائية، أي بتشاكلات تشير في الاتجاه المعاكس. وقد أدى ذلك إلى ظهور تدوين تكميلي يتعلق بالمرافقين الأيمن والأيسر، وهو تدوين غامض اليوم.

نظرية الدالة المرافقة للمجموعات الجزئية المرتبة

يترك $f:L\rightarrow P$ لتكن دالة رتيبة من شبكة كاملة إلى مجموعة مرتبة جزئيًا. عندئذٍ، تكون العبارات التالية متكافئة: ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

يحافظ f على جميع اللقاءات ،
للدالة f مرافق أيسر .

وبالمثل: يحافظ f على جميع عمليات الربط إذا وفقط إذا كان لـ f مرافق أيمن .

تطبيقات في نظرية البرمجة

يمكن استخدام روابط غالوا لوصف العديد من أشكال التجريد في نظرية التفسير المجرد للغات البرمجة . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

ملحوظات

↑ ينتج الرتابة من الشرط التالي. انظر مناقشة الخصائص . يُذكر صراحةً في التعريف لتمييزه عن تعريف التنافر البديل . يمكن أيضًا تعريف اتصالات غالوا كزوج من الدوال الرتيبة التي تحقق الشرط الأكثر تساهلاً التالي: لكل $x$ في $A$ ، $x \leq g (f (x))$ ولكل $y$ في $B$ ، $f (g (y)) \leq y$ .
^ جيرز وآخرون. 2003 ، ص. 23.
↑ بيستاريلي، ستيفانو (2004). "8. برمجة القيود المتزامنة المرنة". أنصاف الحلقات لحل القيود المرنة والبرمجة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 2962. سبرينغر-فيرلاغ . ص 102. arXiv : cs/0208008 . doi : 10.1007/978-3-540-25925-1_8 . ISBN 3-540-21181-0ISSN 0302-9743
^ جالاتوس وآخرون. 2007 ، ص. 145.
↑ انظر ألبيرين، بيل، المجموعات والتمثيلات (GTM 162)، ص 32
↑ ويليام لوفير ، الترافق في الأسس، ديالكتيكا، 1969، متاح هنا . يختلف الترميز في الوقت الحاضر؛ مقدمة أسهل من بيتر سميث في هذه الملاحظات المحاضرة ، والتي تنسب المفهوم أيضًا إلى المقالة المذكورة.
↑ بيركوف 1940 ، §32؛ الطبعة الثالثة (1967): الفصل الخامس، §7 و §8.
↑ غانتر، ب. وويل، ر. تحليل المفاهيم الرسمية - الأسس الرياضية ، سبرينغر (1999)، ISBN 978-3-540-627715
↑ غانتر، ب. وأوبيدكوف، س. الاستكشاف المفاهيمي ، سبرينغر (2016)، رقم ISBN 978-3-662-49290-1
↑ لياو، تسونغ مينغ؛ لين، سيمون سي. (12 أكتوبر 2020). " نظرية عامة لشبكة المفاهيم مع استكشاف قابل للتطبيق للاستلزام" . علوم الحاسوب النظرية . 837 : 84-114 . doi : 10.1016/j.tcs.2020.05.014 . ISSN 0304-3975 . S2CID 219514253. مؤرشف من الأصل في 28 مايو 2020. تم الاسترجاع في 19 يوليو 2023 .
↑ أبرامسكي، سامسون؛ يونغ، آخيم (1995). "نظرية المجال". دليل المنطق في علوم الحاسوب . ص 1-168 . doi : 10.1093/oso/9780198537625.003.0001 . ISBN 978-0-19-853762-5.
^ بورسو ، فرانسيس (26 أغسطس 1994). "3-الفاعلون المجاورون". دليل الجبر القاطع . ص 96 – 131. دوى : 10.1017 / CBO9780511525858.005 . رقم ISBN 978-0-521-44178-0.
↑ باتريك كوسو؛ راديا كوسو (يناير 1977). "التفسير المجرد: نموذج شبكي موحد للتحليل الثابت للبرامج عن طريق بناء أو تقريب النقاط الثابتة" (ملف PDF) . وقائع الندوة الرابعة لجمعية الحوسبة الآلية حول مبادئ لغات البرمجة (POPL) . الصفحات 238-252 . للاطلاع على مثال مضاد للنظرية الخاطئة في القسم 7 (صفحة 243 أعلى اليمين)، انظر: يوشين بورغاردت؛ فلوريان كامولر؛ جيف دبليو ساندرز (ديسمبر 2000). تماثل تضمينات غالوا (تقرير فني). المجلد 122. GMD . الصفحات 9-14. ISSN 1435-2702 . (مع ذلك، فإن المقالة الأصلية لا تتناول إلا الشبكات الكاملة)
↑ باتريك كوسو؛ راديا كوسو (يناير 1979). "التصميم المنهجي لأطر تحليل البرامج" (ملف PDF) . وقائع الندوة السادسة لجمعية ACM حول مبادئ لغات البرمجة (POPL) . مطبعة ACM. الصفحات 269-282 .

مراجع

تتضمن الكتب والمقالات الاستقصائية التالية روابط غالوا باستخدام التعريف الرتيب:

برايان أ. ديفي وهيلاري أ. بريستلي : مقدمة في الشبكات والنظام ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2002.
جيرز، جيرهارد؛ هوفمان، كارل هـ.؛ كيمل، كلاوس؛ لوسون، جيمي د.؛ ميسلوف، مايكل و.؛ سكوت، دانا س. (2003). الشبكات والمجالات المتصلة . مطبعة جامعة كامبريدج.
مارسيل إرني، يورغن كوسلوفسكي، أوستن ميلتون، جورج إي. ستريكر، مدخل إلى اتصالات غالوا ، في: وقائع المؤتمر الصيفي لعام 1991 حول الطوبولوجيا العامة وتطبيقاتها تكريمًا لماري إلين رودين وعملها، حوليات أكاديمية نيويورك للعلوم، المجلد 704، 1993، الصفحات 103-125. (متاح مجانًا على الإنترنت بصيغ ملفات متنوعة PS.GZ PS ، ويقدم العديد من الأمثلة والنتائج، بالإضافة إلى ملاحظات حول الرموز والتعريفات المختلفة التي ظهرت في هذا المجال).

بعض المنشورات التي تستخدم التعريف الأصلي (المضاد للنغمة):

ماك لين، سوندرز (سبتمبر 1998). تصنيفات للرياضي العامل ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-98403-8.
توماس سكوت بليث، الشبكات والهياكل الجبرية المرتبة ، سبرينغر، 2005، رقم ISBN 1-85233-905-5.
جالاتوس، نيكولاوس؛ جيبسن، بيتر؛ كوالسكي، توماسز؛ أونو ، هيرواكيرا (2007). المشابك المتبقية. لمحة جبرية في المنطق التحتي . إلسفير. رقم ISBN 978-0-444-52141-5.
بيركوف، غاريت (1940). نظرية الشبكة . المجلد 25. منشورات الجمعية الأمريكية للرياضيات.
أور، أويستين (1944)، "روابط غالوا"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 55 (3): 493-513 ، doi : 10.2307/1990305 ، JSTOR 1990305

[1] ينتج الرتابة من الشرط التالي. انظر مناقشة الخصائص . يُذكر صراحةً في التعريف لتمييزه عن تعريف التنافر البديل . يمكن أيضًا تعريف اتصالات غالوا كزوج من الدوال الرتيبة التي تحقق الشرط الأكثر تساهلاً التالي: لكل $x$ في $A$ ، $x \leq g (f (x))$ ولكل $y$ في $B$ ، $f (g (y)) \leq y$ .

[FOOTNOTEGierzHofmannKeimelLawson200323-2] جيرز وآخرون. 2003 ، ص. 23.

[3] بيستاريلي، ستيفانو (2004). "8. برمجة القيود المتزامنة المرنة". أنصاف الحلقات لحل القيود المرنة والبرمجة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 2962. سبرينغر-فيرلاغ . ص 102. arXiv : cs/0208008 . doi : 10.1007/978-3-540-25925-1_8 . ISBN 3-540-21181-0ISSN 0302-9743

[FOOTNOTEGalatosJipsenKowalskiOno2007145-4] جالاتوس وآخرون. 2007 ، ص. 145.

[5] انظر ألبيرين، بيل، المجموعات والتمثيلات (GTM 162)، ص 32

[6] ويليام لوفير ، الترافق في الأسس، ديالكتيكا، 1969، متاح هنا . يختلف الترميز في الوقت الحاضر؛ مقدمة أسهل من بيتر سميث في هذه الملاحظات المحاضرة ، والتي تنسب المفهوم أيضًا إلى المقالة المذكورة.

[FOOTNOTEBirkhoff1940§32;_3rd_edition_(1967):_Ch._V,_§7_and_§8-7] بيركوف 1940 ، §32؛ الطبعة الثالثة (1967): الفصل الخامس، §7 و §8.

[8] غانتر، ب. وويل، ر. تحليل المفاهيم الرسمية - الأسس الرياضية ، سبرينغر (1999)، ISBN 978-3-540-627715

[9] غانتر، ب. وأوبيدكوف، س. الاستكشاف المفاهيمي ، سبرينغر (2016)، رقم ISBN 978-3-662-49290-1

[:1-10] لياو، تسونغ مينغ؛ لين، سيمون سي. (12 أكتوبر 2020). " نظرية عامة لشبكة المفاهيم مع استكشاف قابل للتطبيق للاستلزام" . علوم الحاسوب النظرية . 837 : 84-114 . doi : 10.1016/j.tcs.2020.05.014 . ISSN 0304-3975 . S2CID 219514253. مؤرشف من الأصل في 28 مايو 2020. تم الاسترجاع في 19 يوليو 2023 .

[11] أبرامسكي، سامسون؛ يونغ، آخيم (1995). "نظرية المجال". دليل المنطق في علوم الحاسوب . ص 1-168 . doi : 10.1093/oso/9780198537625.003.0001 . ISBN 978-0-19-853762-5.

[12] بورسو ، فرانسيس (26 أغسطس 1994). "3-الفاعلون المجاورون". دليل الجبر القاطع . ص 96 – 131. دوى : 10.1017 / CBO9780511525858.005 . رقم ISBN 978-0-521-44178-0.

[13] باتريك كوسو؛ راديا كوسو (يناير 1977). "التفسير المجرد: نموذج شبكي موحد للتحليل الثابت للبرامج عن طريق بناء أو تقريب النقاط الثابتة" (ملف PDF) . وقائع الندوة الرابعة لجمعية الحوسبة الآلية حول مبادئ لغات البرمجة (POPL) . الصفحات 238-252 . للاطلاع على مثال مضاد للنظرية الخاطئة في القسم 7 (صفحة 243 أعلى اليمين)، انظر: يوشين بورغاردت؛ فلوريان كامولر؛ جيف دبليو ساندرز (ديسمبر 2000). تماثل تضمينات غالوا (تقرير فني). المجلد 122. GMD . الصفحات 9-14. ISSN 1435-2702 . (مع ذلك، فإن المقالة الأصلية لا تتناول إلا الشبكات الكاملة)

[14] باتريك كوسو؛ راديا كوسو (يناير 1979). "التصميم المنهجي لأطر تحليل البرامج" (ملف PDF) . وقائع الندوة السادسة لجمعية ACM حول مبادئ لغات البرمجة (POPL) . مطبعة ACM. الصفحات 269-282 .

1 ] ،

[ 2 ]

G

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 8 ]

[ 9 ] .

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗