مؤشر جاكارد

تقاطع واتحاد مجموعتين A و B

التقاطع على الاتحاد كمقياس للتشابه للكشف عن الكائنات في الصور - مهمة مهمة في مجال رؤية الكمبيوتر . 

مؤشر جاكارد هو إحصائية تُستخدم لقياس التشابه والتنوع بين مجموعات العينات . ويُعرَّف بشكل عام بأنه نسبة حجمين (مساحتين أو حجمين)، أي حجم التقاطع مقسومًا على حجم الاتحاد، ويُسمى أيضًا نسبة التقاطع إلى الاتحاد ( IoU ).

طُرح هذا المفهوم لأول مرة من قِبل غروف كارل جيلبرت عام 1884 تحت مسمى "نسبة التحقق" في سياق تقييم التنبؤات الجيولوجية. ^{[ 1 ]} ويُطلق عليه الآن غالبًا مؤشر النجاح الحاسم في علم الأرصاد الجوية. ^{[ 2 ]} ثم طُوّر لاحقًا بشكل مستقل من قِبل بول جاكارد ، الذي أطلق عليه في الأصل الاسم الفرنسي coefficient de communauté (معامل المجتمع)، ^{[ 3 ] [ 4 ]} وصاغه تافي تاداشي تانيموتو بشكل مستقل مرة أخرى. ^{[ 5 ]} ولذلك، يُطلق عليه أيضًا مؤشر تانيموتو أو معامل تانيموتو في بعض المجالات.

يقيس مؤشر جاكارد التشابه بين مجموعات العينات المحدودة غير الفارغة، ويُعرَّف بأنه حجم التقاطع مقسومًا على حجم اتحاد مجموعات العينات:

${\displaystyle J(A,B)={\frac {|A\cap B|}{|A\cup B|}}={\frac {|A\cap B|}{|A|+|B|-|A\cap B|}}.}$

يمكن تفسير مؤشر جاكارد على أنه مقياس معياري للتداخل بين مجموعتين، حيث يمثل التقاطع العناصر المشتركة، ويمثل الاتحاد المجموعة الكاملة من العناصر المتميزة. بحسب التعريف،${\displaystyle 0\leq J(A,B)\leq 1.}$إذا كانت المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ليس لديهم عناصر مشتركة، تقاطعهم فارغ، لذلك${\displaystyle |A\cap B|=0}$وبالتالي${\displaystyle J(A,B)=0.}$أما النقيض الآخر فهو أن تكون المجموعتان متساويتين. في هذه الحالة${\displaystyle A\cap B=A\cup B=A=B,}$إذن${\displaystyle J(A,B)=1.}$يُستخدم مؤشر جاكارد على نطاق واسع في علوم الحاسوب، وعلم البيئة، وعلم الجينوم، وغيرها من العلوم التي تستخدم البيانات الثنائية أو البيانات المُحوّلة إلى بيانات ثنائية. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

يتوفر كل من الحل الدقيق وطرق التقريب لاختبار الفرضيات باستخدام مؤشر جاكارد. ^{[ 8 ]} ينطبق تشابه جاكارد أيضًا على المجموعات المتعددة . وله صيغة مشابهة، ^{[ 9 ]} لكن الرموز المستخدمة تمثل تقاطع المجموعات ومجموعها (وليس اتحادها). القيمة القصوى هي 1/2.

${\displaystyle J(A,B)={\frac {|A\cap B|}{|A\uplus B|}}={\frac {|A\cap B|}{|A|+|B|}}.}$

تُعد مسافة جاكارد ، التي تقيس عدم التشابه بين مجموعات العينات، مكملاً لمؤشر جاكارد ويتم الحصول عليها عن طريق طرح مؤشر جاكارد من 1 أو، بشكل مكافئ، عن طريق قسمة الفرق بين حجمي الاتحاد والتقاطع لمجموعتين على حجم الاتحاد:

${\displaystyle d_{J}(A,B)=1-J(A,B)={\frac {|A\cup B|-|A\cap B|}{|A\cup B|}}.}$

يُمكن تفسير مسافة جاكارد بطريقة بديلة على أنها نسبة حجم الفرق المتناظر${\displaystyle A\mathbin {\triangle } B=(A\cup B)-(A\cap B)}$إلى الاتحاد. تُستخدم مسافة جاكارد عادةً لحساب مصفوفة n × n للتجميع والتحجيم متعدد الأبعاد لمجموعات العينات n . تُستخدم مقاييس المسافة هذه بشكل شائع في تحليل التجميع لتجميع الملاحظات المتشابهة. ^{[ 10 ]}

هذه المسافة هي مقياس على مجموعة جميع المجموعات المنتهية. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

يوجد أيضًا إصدار من مسافة جاكارد للقياسات ، بما في ذلك قياسات الاحتمالية . إذا${\displaystyle \mu }$هو مقياس على مساحة قابلة للقياس${\displaystyle X}$ثم نُعرّف مؤشر جاكارد بواسطة

${\displaystyle J_{\mu }(A,B)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A\cup B)}},}$

ومسافة جاكارد بواسطة

${\displaystyle d_{\mu }(A,B)=1-J_{\mu }(A,B)={\frac {\mu (A\mathbin {\triangle } B)}{\mu (A\cup B)}}.}$

التعريف غير واضح عندما${\displaystyle \mu (A\cup B)=0}$أو${\displaystyle \mu (A\cup B)=\infty }$.

يمكن استخدام مخطط التجزئة الحساسة للموقع MinHash min -wise independent permutations لحساب تقدير دقيق لمؤشر تشابه جاكارد لأزواج المجموعات بكفاءة، حيث يتم تمثيل كل مجموعة بتوقيع ثابت الحجم مشتق من القيم الدنيا لدالة التجزئة .

يُعد مؤشر جاكارد مفيدًا بشكل خاص لتحليل مجموعات البيانات واسعة النطاق والمتفرقة في تطبيقات استخراج البيانات الحديثة . ^{[ 14 ]}

بافتراض وجود كائنين، A و B ، لكل منهما n سمة ثنائية ، يُعدّ مؤشر جاكارد مقياسًا مفيدًا لمدى التداخل بين A و B في سماتهما. يمكن أن تكون قيمة كل سمة من سمات A و B إما 0 أو 1. ويُحدد العدد الإجمالي لكل تركيبة من السمات لكل من A و B كما يلي:

${\displaystyle M_{11}}$يمثل العدد الإجمالي للسمات التي يكون فيها كل من A و B بقيمة 1.

${\displaystyle M_{01}}$يمثل العدد الإجمالي للسمات حيث تكون سمة A هي 0 وسمة B هي 1.

${\displaystyle M_{10}}$يمثل العدد الإجمالي للسمات حيث تكون سمة A هي 1 وسمة B هي 0.

${\displaystyle M_{00}}$يمثل العدد الإجمالي للسمات التي تكون فيها قيمة كل من A و B تساوي 0.

أ ب	0	1
0	${\displaystyle M_{00}}$	${\displaystyle M_{10}}$
1	${\displaystyle M_{01}}$	${\displaystyle M_{11}}$

يجب أن تندرج كل سمة ضمن إحدى هذه الفئات الأربع، مما يعني أن

${\displaystyle M_{11}+M_{01}+M_{10}+M_{00}=n.}$

يُعطى مؤشر جاكارد للتشابه، J ، على النحو التالي:

${\displaystyle J={M_{11} \over M_{01}+M_{10}+M_{11}}.}$

تُعطى مسافة جاكارد، dJ ، _{على النحو التالي:}

${\displaystyle d_{J}={M_{01}+M_{10} \over M_{01}+M_{10}+M_{11}}=1-J.}$

يمكن الاستدلال الإحصائي بناءً على مؤشر جاكارد للتشابه، وبالتالي المقاييس ذات الصلة. ^{[ 8 ]} عند وجود مجموعتين من العينات A و B تحتوي كل منهما على n سمة، يمكن إجراء اختبار إحصائي لمعرفة ما إذا كان التداخل بينهما ذا دلالة إحصائية . يتوفر الحل الدقيق، على الرغم من أن الحساب قد يكون مكلفًا مع ازدياد n . ^{[ 8 ]} تتوفر طرق التقدير إما بتقريب التوزيع متعدد الحدود أو باستخدام أسلوب إعادة التوزيع (Bootstrap) . ^{[ 8 ]}

لو${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$و${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$هما متجهان جميع عناصرهما حقيقية${\displaystyle x_{i},y_{i}\geq 0}$ثم يُعرَّف مؤشر تشابه جاكارد (المعروف أيضًا باسم تشابه روزيكا ) على النحو التالي:

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\frac {\sum _{i}\min(x_{i},y_{i})}{\sum _{i}\max(x_{i},y_{i})}},}$

ومسافة جاكارد (المعروفة آنذاك أيضًا باسم مسافة سورجل)

${\displaystyle d_{J{\mathcal {W}}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1-J_{\mathcal {W}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

وبشكل أكثر عمومية، إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$دالتان قابلتان للقياس وغير سالبتين على فضاء قابل للقياس${\displaystyle X}$مع القياس${\displaystyle \mu }$ثم يمكننا تعريف

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(f,g)={\frac {\int \min(f,g)d\mu }{\int \max(f,g)d\mu }},}$

أين${\displaystyle \max }$و${\displaystyle \min }$هي عوامل نقطية. إذن، مسافة جاكارد هي

${\displaystyle d_{J{\mathcal {W}}}(f,g)=1-J_{\mathcal {W}}(f,g).}$

ثم، على سبيل المثال، بالنسبة لمجموعتين قابلتين للقياس${\displaystyle A,B\subseteq X}$لدينا${\displaystyle J_{\mu }(A,B)=J(\chi _{A},\chi _{B}),}$أين${\displaystyle \chi _{A}}$و${\displaystyle \chi _{B}}$هي الدوال المميزة للمجموعة المقابلة.

يتطلب حساب مؤشر جاكارد الموزون للتشابه بين متجهين عادةً تمريرة واحدة على البيانات، مما ينتج عنه تعقيد حسابي خطي.${\displaystyle O(n)}$، أين${\displaystyle n}$يمثل عدد الأبعاد. في تطبيقات علم البيانات ، غالبًا ما يتم تحسين هذا للمتجهات المتفرقة من خلال التكرار فقط على العناصر غير الصفرية، مما يقلل بشكل كبير من وقت المعالجة لمجموعات البيانات عالية الأبعاد. هذا التحسين ينقل التعقيد إلى${\displaystyle O(k)}$، أين${\displaystyle k}$يمثل عدد السمات غير الصفرية.

# خوارزمية زائفة لحساب دالة ذات تعقيد O(k) jaccardIndex ( vector_A , vector_B ): intersection_sum = 0 union_sum = 0# الحصول على إجمالي المفاتيح الفريدة all_keys = unique_keys ( vector_A . keys () + vector_B . keys ())for key in all_keys : val_a = vector_A . get ( key , 0 ) val_b = vector_B . get ( key , 0 )intersection_sum += min ( val_a , val_b ) union_sum += max ( val_a , val_b )إرجاع مجموع التقاطع / مجموع الاتحاد

لزيادة سرعة المعالجة، تُستخدم تقنيات مثل MinHashing والتجزئة الحساسة للموقع لتقريب الفهرس باستخدام توقيعات مضغوطة. تضمن هذه التحسينات الخوارزمية بقاء مقاييس التشابه قابلة للتوسع وفعالة، على الرغم من زيادة حجم البيانات وأبعادها. ^{[ 17 ]}

إن تشابه جاكارد الموزون الموصوف أعلاه يعمم مؤشر جاكارد إلى المتجهات الموجبة، حيث تتوافق المجموعة مع متجه ثنائي معطى بواسطة دالة المؤشر ، أي${\displaystyle x_{i}\in \{0,1\}}$ومع ذلك، لا يُعمم مؤشر جاكارد على التوزيعات الاحتمالية ، حيث تتوافق مجموعة مع توزيع احتمالي منتظم، أي

${\displaystyle x_{i}={\begin{cases}{\frac {1}{|X|}}&i\in X\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

يكون العدد أقل دائمًا إذا اختلفت المجموعات في الحجم.${\displaystyle |X|>|Y|}$، و${\displaystyle x_{i}=\mathbf {1} _{X}(i)/|X|,y_{i}=\mathbf {1} _{Y}(i)/|Y|}$ثم

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(x,y)={\frac {|X\cap Y|}{|X\setminus Y|+|X|}}<J(X,Y).}$

بدلاً من ذلك، فإن التعميم المستمر بين التوزيعات الاحتمالية ومجموعات الدعم المقابلة لها هو

${\displaystyle J_{\mathcal {P}}(x,y)=\sum _{x_{i}\neq 0,y_{i}\neq 0}{\frac {1}{\sum _{j}\max \left({\frac {x_{j}}{x_{i}}},{\frac {y_{j}}{y_{i}}}\right)}}}$

وهو ما يسمى بمعامل جاكارد "الاحتمالي". ^{[ 18 ]} وله الحدود التالية مقارنة بمعامل جاكارد الموزون على متجهات الاحتمال.

${\displaystyle J_{\mathcal {W}}(x,y)\leq J_{\mathcal {P}}(x,y)\leq {\frac {2J_{\mathcal {W}}(x,y)}{1+J_{\mathcal {W}}(x,y)}}}$

هنا، يمثل الحد الأعلى معامل سورنسن-دايس (المرجح) . المسافة المقابلة،${\displaystyle 1-J_{\mathcal {P}}(x,y)}$، هو مقياس على التوزيعات الاحتمالية، ومقياس زائف على المتجهات غير السالبة.

يُفسَّر مؤشر جاكارد الاحتمالي هندسيًا على أنه مساحة تقاطع الأشكال البسيطة . كل نقطة على وحدة${\displaystyle k}$يتوافق -simplex مع توزيع احتمالي على${\displaystyle k+1}$العناصر، لأن الوحدة${\displaystyle k}$-simplex هي مجموعة النقاط في${\displaystyle k+1}$الأبعاد التي مجموعها يساوي 1. لاستنتاج مؤشر جاكارد الاحتمالي هندسيًا، يُمثَّل التوزيع الاحتمالي على أنه مُجَسَّم بسيط مُقسَّم إلى مُجَسَّمات فرعية وفقًا لكتلة كل عنصر. إذا قمتَ بتراكب توزيعين مُمَثَّلين بهذه الطريقة فوق بعضهما البعض، وتقاطعت المُجَسَّمات المُقابلة لكل عنصر، فإن المساحة المتبقية تُساوي مؤشر جاكارد الاحتمالي للتوزيعين.

أمثلية مؤشر جاكارد الاحتمالي

لنفترض مشكلة بناء متغيرات عشوائية بحيث تتصادم مع بعضها البعض قدر الإمكان. أي، إذا${\displaystyle X\sim x}$و${\displaystyle Y\sim y}$نرغب في بناء${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لتحقيق أقصى استفادة${\displaystyle \Pr[X=Y]}$إذا نظرنا إلى توزيعين فقط${\displaystyle x,y}$في العزلة، الأعلى${\displaystyle \Pr[X=Y]}$ما يمكننا تحقيقه هو ما يُعطى بواسطة${\displaystyle 1-{\text{TV}}(x,y)}$أين${\displaystyle {\text{TV}}}$هي مسافة التباين الكلي . مع ذلك، لنفترض أننا لا نهتم فقط بتعظيم هذا الزوج المحدد، بل لنفترض أننا نرغب في تعظيم احتمالية تصادم أي زوج عشوائي. يمكن للمرء إنشاء عدد لا نهائي من المتغيرات العشوائية، متغير واحد لكل توزيع.${\displaystyle x}$والسعي إلى تحقيق أقصى قدر من الفائدة${\displaystyle \Pr[X=Y]}$لجميع الأزواج${\displaystyle x,y}$. بمعنى قوي إلى حد ما كما هو موضح أدناه، فإن مؤشر جاكارد الاحتمالي هو الطريقة المثلى لمواءمة هذه المتغيرات العشوائية.

لأي طريقة من طرق أخذ العينات${\displaystyle G}$والتوزيعات المنفصلة${\displaystyle x,y}$، لو${\displaystyle \Pr[G(x)=G(y)]>J_{\mathcal {P}}(x,y)}$ثم بالنسبة للبعض${\displaystyle z}$أين${\displaystyle J_{\mathcal {P}}(x,z)>J_{\mathcal {P}}(x,y)}$و${\displaystyle J_{\mathcal {P}}(y,z)>J_{\mathcal {P}}(x,y)}$، أيضاً${\displaystyle \Pr[G(x)=G(z)]<J_{\mathcal {P}}(x,z)}$أو${\displaystyle \Pr[G(y)=G(z)]<J_{\mathcal {P}}(y,z)}$[ ^{18 ]​}

أي أنه لا توجد طريقة لأخذ العينات يمكنها تحقيق تصادمات أكثر من${\displaystyle J_{\mathcal {P}}}$على زوج واحد دون تحقيق عدد تصادمات أقل من${\displaystyle J_{\mathcal {P}}}$على زوج آخر، حيث يكون الزوج المختزل أكثر تشابهاً في ظل${\displaystyle J_{\mathcal {P}}}$أكثر من الزوج المُحسَّن. هذه النظرية صحيحة بالنسبة لمؤشر جاكارد للمجموعات (إذا فُسِّر على أنه توزيعات منتظمة) وجاكارد الاحتمالي، ولكنها غير صحيحة بالنسبة لجاكارد الموزون. (تستخدم النظرية مصطلح "طريقة المعاينة" لوصف التوزيع المشترك على جميع التوزيعات في فضاء ما، لأنها مستمدة من استخدام خوارزميات التجزئة المصغرة الموزونة التي تحقق ذلك كاحتمالية تصادم).

تحتوي هذه النظرية على برهان مرئي على توزيعات العناصر الثلاثة باستخدام تمثيل سيمبلكس.

تظهر في الأدبيات وعلى الإنترنت أشكالٌ مختلفةٌ من الدوال التي تُوصف بأنها تشابه تانيموتو ومسافة تانيموتو. معظم هذه الدوال مرادفاتٌ لتشابه جاكارد ومسافة جاكارد، لكن بعضها يختلف رياضيًا. تشير العديد من المصادر ^{[ 19 ]} إلى تقريرٍ فنيٍّ من شركة IBM ^{[ 5 ]} باعتباره المرجع الأساسي.

في كتاب " برنامج حاسوبي لتصنيف النباتات"، المنشور في أكتوبر 1960، ^{[ 20 ]} تم تقديم طريقة تصنيف تعتمد على نسبة التشابه، ودالة مسافة مشتقة. ويبدو أن هذا الكتاب هو المرجع الأكثر موثوقية لمعنى مصطلحي "تشابه تانيموتو" و"مسافة تانيموتو". نسبة التشابه مكافئة لتشابه جاكارد، لكن دالة المسافة تختلف عن مسافة جاكارد.

تعريفات أخرى لمسافة تانيموتو

غالباً ما يُشار إلى مسافة تانيموتو على أنها مرادف لمسافة جاكارد${\displaystyle 1-T_{s}}$تُعدّ هذه الدالة مقياسًا مناسبًا للمسافة. في التطبيقات العملية، قد يُخلط بين مسافة تانيموتو ومسافة جاكارد، مما يُؤدي إلى الخلط بينهما وبين مقياس المسافة الصحيح.

إذا تم التعبير عن تشابه جاكارد أو تانيموتو على متجه ثنائي، فيمكن كتابته على النحو التالي:

${\displaystyle f(A,B)={\frac {A\cdot B}{\|A\|^{2}+\|B\|^{2}-A\cdot B}}}$

حيث يتم التعبير عن نفس الحساب بدلالة الضرب القياسي للمتجه والمقدار. يعتمد هذا التمثيل على حقيقة أنه بالنسبة لمتجه ثنائي (حيث تكون قيمة كل بُعد إما 0 أو 1) فإن

${\displaystyle A\cdot B=\sum _{i}A_{i}B_{i}=\sum _{i}(A_{i}\land B_{i})}$

و

${\displaystyle \|A\|^{2}=\sum _{i}A_{i}^{2}=\sum _{i}A_{i}.}$

هذا تمثيل قد يكون مُربكًا، لأن الدالة كما تُعبَّر عنها على المتجهات تكون أكثر عمومية، ما لم يتم تقييد نطاقها بشكل صريح. خصائص${\displaystyle T_{s}}$لا تمتد بالضرورة إلى${\displaystyle f}$. وعلى وجه الخصوص، دالة الفرق${\displaystyle 1-f}$لا يحافظ على متباينة المثلث ، وبالتالي فهو ليس مقياس مسافة مناسبًا، بينما${\displaystyle 1-T_{s}}$يكون.

هناك خطر حقيقي يتمثل في أن الجمع بين تعريف "مسافة تانيموتو" باستخدام هذه الصيغة، إلى جانب عبارة "مسافة تانيموتو هي مقياس مسافة مناسب"، سيؤدي إلى استنتاج خاطئ مفاده أن الدالة${\displaystyle 1-f}$في الواقع، هو مقياس مسافة على المتجهات أو المجموعات المتعددة بشكل عام، في حين أن استخدامه في خوارزميات البحث عن التشابه أو التجميع قد يفشل في إنتاج نتائج صحيحة.

يستخدم ليبكوس ^{[ 12 ]} تعريفًا لتشابه تانيموتو وهو مكافئ لـ${\displaystyle f}$ويشير إلى مسافة تانيموتو كدالة${\displaystyle 1-f}$ومع ذلك، يتضح في الورقة أن السياق مقيد باستخدام متجه ترجيح (موجب).${\displaystyle W}$بحيث يكون ذلك، بالنسبة لأي متجه A قيد الدراسة،${\displaystyle A_{i}\in \{0,W_{i}\}.}$في ظل هذه الظروف، تكون الدالة مقياس مسافة مناسب، وبالتالي فإن مجموعة من المتجهات التي يحكمها متجه الترجيح هذا تشكل فضاءً متريًا في ظل هذه الدالة.

في مصفوفات الارتباك المستخدمة للتصنيف الثنائي ، يمكن صياغة مؤشر جاكارد بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\text{Jaccard index}}={\frac {TP}{TP+FP+FN}}}$

حيث تمثل TP النتائج الإيجابية الحقيقية، وFP النتائج الإيجابية الخاطئة، وFN النتائج السلبية الخاطئة.

يقيس مؤشر جاكارد، وهو صيغة تصنيف ثنائية، مدى تطابق النتائج الإيجابية المتوقعة مع النتائج الإيجابية الفعلية. فهو يُظهر مدى تداخل ما يتوقعه النموذج من حالات إيجابية حقيقية مع الحالات الإيجابية الفعلية. وكلما ارتفع مؤشر جاكارد، دلّ ذلك على أن التوقع أقرب إلى النتيجة الفعلية.

مؤشر جاكارد هو مقياس للتداخل يُمكن تعريفه باستخدام عناصر مصفوفة الارتباك. تمثل النتائج الإيجابية الحقيقية الحالات التي تم التنبؤ بأنها إيجابية وكانت إيجابية بالفعل، مما يُنشئ تداخلًا بين المجموعتين. أما النتائج الإيجابية الخاطئة فهي الحالات التي تم التنبؤ بأنها إيجابية ولكنها ليست كذلك في الواقع. وبالمثل، فإن النتائج السلبية الخاطئة هي الحالات التي تم التنبؤ بأنها سلبية ولكنها في الواقع إيجابية. يقارن مؤشر جاكارد النتائج الإيجابية الحقيقية بمجموعة المعلومات ذات الصلة.

يُعدّ مؤشر جاكارد مفيدًا عند محاولة مقارنة النتائج المتوقعة بالنتائج الفعلية. ويساعد استخدام التصنيف الثنائي جنبًا إلى جنب مع مؤشر جاكارد في توضيح مدى موثوقية نموذج التنبؤ. ويُستخدم هذا المؤشر في العديد من المجالات، وهو شائع الاستخدام في الطب لإجراء الاختبارات المعملية. ^{[ 21 ]}

في علوم الحاسوب، يُستخدم مؤشر جاكارد لقياس التشابه بين رؤوس الرسم البياني من خلال مقارنة مجموعات الجوار الخاصة بها. عند وجود رأسين، يُحسب التشابه بينهما بقسمة حجم تقاطع جواريهما على حجم اتحادهما. يُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع في التنبؤ بالروابط ، واكتشاف المجتمعات، وتصنيف الرسوم البيانية، حيث يُساعد في تقدير احتمالية تكوّن حافة بين عقدتين في الشبكات. ^{[ 22 ]}

يمكن التعبير عن حساب تشابه جاكارد بين رأسين باستخدام مجموعات التجاور الخاصة بهما، كما هو موضح أدناه. ^{[ 22 ]}

// كود جافا سكريبت: دالة jaccardSimilarity ( graph1 , graph2 ){ const numNodes1 = graph1 . length ; const numNodes2 = graph2 . length ; let similarity = 0 ; // التكرار على جميع أزواج العقد في كلا الرسمين البيانيين for ( let i = 0 ; i < numNodes1 ; i ++ ){ for ( let j = 0 ; j < numNodes2 ; j ++ ){ // حساب حجم تقاطع واتحاد مجموعات الجيران const intersectionSize = intersection ( graph1 [ i ], graph2 [ j ]). length ; const unionSize = union ( graph1 [ i ], graph2 [ j ]). length ; // حساب تشابه جاكارد وإضافته إلى التشابه الكلي += intersectionSize / unionSize ; } } // قسمة التشابه الكلي على عدد أزواج العقد للحصول على متوسط ​​التشابه المُعاد / ( عدد العقد 1 * عدد العقد 2 ); }// دالة مساعدة لحساب تقاطع مصفوفتين function intersection ( a , b ) { return a . filter ( value => b . includes ( value )); }// دالة مساعدة لحساب اتحاد مصفوفتين function union ( a , b ){ return [... new Set ([... a , ... b ])]; }

^{[ 22 ]}

يوضح المثال أعلاه تطبيقًا يعتمد على عمليات المجموعات على قوائم التجاور. عمليًا، تُستخدم تمثيلات الرسوم البيانية، مثل قوائم التجاور، لتحسين كفاءة عمليات التقاطع والاتحاد. بالنسبة للرسوم البيانية الكبيرة، قد يكون حساب التشابه بين جميع أزواج الرؤوس مكلفًا حسابيًا. لذا، قد يلجأ المبرمجون إلى التقريب لتجنب تحمل التكلفة الكاملة لهذا الحساب.

• معامل التداخل
• معامل المطابقة البسيط
• الدقة والاستدعاء
• مسافة هامينغ
• معامل سورنسن-دايس ، وهو ما يعادل:${\displaystyle J=S/(2-S)}$و${\displaystyle S=2J/(1+J)}$(${\displaystyle J}$مؤشر جاكارد،${\displaystyle S}$: معامل سورنسن-النرد)
• مؤشر تفرسكي
• علاقة
• المعلومات المتبادلة ، وهي صيغة مترية معيارية لها مسافة جاكارد الانتروبية.

• مقدمة في استخراج البيانات - ملاحظات المحاضرة من تان، شتاينباخ، كومار
• تقييم اكتشاف الميزات في صور الأقمار الصناعية Dstl على منصة Kaggle