الفضاء شبه المتري

في الرياضيات ، يُعدّ الفضاء شبه المتري تعميمًا للفضاء المتري ، حيث يمكن أن تكون المسافة بين نقطتين مختلفتين فيه صفرًا. وقد قدّم دورو كوريبا ^{[ 1 ] [ 2 ]} مفهوم الفضاءات شبه المترية عام 1934. وكما أن كل فضاء معياري هو فضاء متري ، فإن كل فضاء شبه معياري هو فضاء شبه متري. وبسبب هذا التشابه، يُستخدم مصطلح الفضاء شبه المتري (الذي يحمل معنى مختلفًا في علم الطوبولوجيا ) أحيانًا كمرادف، لا سيما في التحليل الوظيفي .

عندما يتم توليد طوبولوجيا باستخدام عائلة من المقاييس الزائفة، يُطلق على الفضاء اسم فضاء القياس .

فضاء شبه متري${\displaystyle (X,d)}$هي مجموعة${\displaystyle X}$بالإضافة إلى دالة حقيقية غير سالبة${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}$يُطلق عليه اسمشبه متري ، بحيث يكون لكل${\displaystyle x,y,z\in X,}$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. التناظر :${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
3. خاصية الجمع الجزئي / متباينة المثلث :${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

بخلاف الفضاء المتري، لا يشترط أن تكون النقاط في الفضاء شبه المتري قابلة للتمييز ؛ أي أنه يمكن للمرء أن يمتلك${\displaystyle d(x,y)=0}$للقيم المتميزة${\displaystyle x\neq y.}$

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن استبدال التناظر ومتباينة المثلث الكلاسيكية بمتباينة مثلث معدلة واحدة: ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)}$تجمع هذه المتباينة بين التناظر ومتباينة المثلث الكلاسيكية.

أي فضاء متري هو فضاء شبه متري. تنشأ المقاييس الشبهية بشكل طبيعي في التحليل الوظيفي . لنأخذ الفضاء التالي كمثال:${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$من الدوال ذات القيم الحقيقية${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$بالإضافة إلى نقطة خاصة${\displaystyle x_{0}\in X.}$تُنتج هذه النقطة بعد ذلك مقياسًا زائفًا على فضاء الدوال، يُعطى بواسطة$${\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}$$ل${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

شبه طبيعي${\displaystyle p}$يؤدي إلى القياس الزائف${\displaystyle d(x,y)=p(xy)}$هذه دالة محدبة لدالة خطية لـ${\displaystyle x}$(على وجه الخصوص، الترجمة )، وبالتالي محدبة في${\displaystyle x}$(وكذلك بالنسبة لـ${\displaystyle y}$.)

وعلى العكس من ذلك، فإن شبه المقياس المتجانس وغير المتغير مع الإزاحة يؤدي إلى شبه معيار.

تظهر المقاييس الزائفة أيضًا في نظرية المشعبات المعقدة الزائدية : انظر مقياس كوباياشي .

كل مساحة قياس${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$يمكن اعتبارها فضاءً شبه متري كاملاً من خلال تعريف$${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$$للجميع${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}$حيث يرمز المثلث إلى الفرق المتناظر .

لو${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$_إذا كانت دالة و d² دالة شبه قياسية على X² _، فإن${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$يعطي شبه مقياس على X _1. إذا كان d ₂ مقياسًا و f أحاديًا ، فإن d 1 _يكون مقياسًا.

الالطوبولوجيا شبه المترية هيالطوبولوجياالمتولدة منالكرات المفتوحة$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}$$ والتي تشكل أساسًا للطوبولوجيا. ^{[ 3 ]} يُقال إن الفضاء الطوبولوجي هوالفضاء شبه المتري ^{[ 4 ]} إذا كان من الممكن إعطاء الفضاء شبه متري بحيث تتطابق الطوبولوجيا شبه المترية مع الطوبولوجيا المعطاة على الفضاء.

إن الفرق بين المقاييس الزائفة والمقاييس هو فرق طوبولوجي بحت. أي أن المقياس الزائف يكون مقياسًا إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا التي يولدها هي T ₀ (أي أن النقاط المتميزة قابلة للتمييز طوبولوجيًا ).

تظل تعريفات متتابعات كوشي وإكمال القياس للفضاءات المترية سارية على الفضاءات شبه المترية دون تغيير. ^{[ 5 ]} كما أن مفهوم الدالة المتصلة يبقى دون تغيير إلى حد كبير عند تطبيقه على الفضاء شبه المتري.

يؤدي تلاشي القياس الزائف إلى علاقة تكافؤ ، تُسمى تعريف القياس ، والتي تحول الفضاء شبه المتري إلى فضاء متري كامل . ويتم ذلك عن طريق تعريف${\displaystyle x\sim y}$لو${\displaystyle d(x,y)=0}$. يترك${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$ليكن فضاء القسمة لـ${\displaystyle X}$من خلال علاقة التكافؤ هذه، حدد $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$$ هذا محدد جيدًا لأنه لأي${\displaystyle x'\in [x]}$لدينا ذلك${\displaystyle d(x,x')=0}$وهكذا${\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}$والعكس صحيح. ثم${\displaystyle d^{*}}$هو مقياس على${\displaystyle X^{*}}$و${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$هو فضاء متري محدد جيدًا، يُسمى الفضاء المتري المستحث بواسطة الفضاء شبه المتري${\displaystyle (X,d)}$[ ^{6 ] [ 7 ]​}

يحافظ تحديد المقياس على البنى الطوبولوجية المستحثة. أي مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle (X,d)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \pi (A)=[A]}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}$و${\displaystyle A}$مشبعة . التعريف الطوبولوجي هو حاصل قسمة كولموغوروف .

ومن الأمثلة على هذا البناء إكمال الفضاء المتري بواسطة متتاليات كوشي الخاصة به .

• في الفضاء شبه المتري، فإن مجموعة جميع النقاط (على سبيل المثال، X) التي تبعد مسافة 0 بالنسبة لمجموعة أخرى Y في الفضاء هي إغلاق Y، أو cl(Y) = X. ^{[ 8 ]}

• المقياس المعمم – الهندسة المترية 
• الفضاء المنتظم – الفضاء الطوبولوجي ذو مفهوم الخصائص المنتظمة 
• مشعب شبه ريماني – مشعب قابل للتفاضل ذو موتر متري غير منحل 
• الفضاء المتري – فضاء رياضي يتضمن مفهوم المسافة 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي القابل للقياس - الفضاء المتجهي الطوبولوجي الذي يمكن تعريف طوبولوجيته بواسطة مقياس 

• أرخانجيلسكي، أ. ف .؛ بونترياغين، ل. س. (1990). الطوبولوجيا العامة 1: المفاهيم الأساسية والإنشاءات، نظرية الأبعاد . موسوعة العلوم الرياضية. سبرينغر . ISBN 3-540-18178-4.
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، آرثر (1995) [1970]. أمثلة مضادة في الطوبولوجيا (  طبعة جديدة). منشورات دوفر . ISBN 0-486-68735-X.
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]، الطوبولوجيا العامة ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من  طبعة 1970)، أديسون-ويسلي
• تتضمن هذه المقالة مواد من الفضاء الزائف على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .
• "مثال على الفضاء شبه المتري" . PlanetMath .