مؤشر التنوع

تحتوي هذه المقالة على العديد من المشكلات. يُرجى المساعدة في تحسينها أو مناقشة هذه المشكلات على صفحة المناقشة . ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسائل ) قد تحتاج هذه المقالة إلى إعادة كتابتها لتتوافق مع معايير الجودة الخاصة بـويكيبيديا .يمكنك المساعدة. قد تحتوي صفحة المناقشة على اقتراحات. ( ابريل 2020 ) قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . Please help improve it to make it understandable to non-experts, without removing the technical details. (April 2020) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

مؤشر التنوع هو طريقة لقياس عدد الأنواع المختلفة (مثل الأنواع ) الموجودة في مجموعة بيانات (مثل المجتمع). تأخذ بعض المؤشرات الأكثر تعقيدًا أيضًا في الاعتبار الصلة التطورية بين الأنواع. ^[1] مؤشرات التنوع هي تمثيلات إحصائية لجوانب مختلفة من التنوع البيولوجي (مثل الثراء والتساوي والهيمنة ) ، وهي تبسيطات مفيدة لمقارنة المجتمعات أو المواقع المختلفة.

عندما تُستخدم مؤشرات التنوع في علم البيئة ، فإن أنواع الاهتمام عادةً ما تكون أنواعًا، ولكنها قد تكون أيضًا فئات أخرى، مثل الأجناس أو العائلات أو الأنواع الوظيفية أو الأنماط الوراثية . عادةً ما تكون الكيانات محل الاهتمام كائنات حية فردية (مثل النباتات أو الحيوانات)، ويمكن أن يكون مقياس الوفرة، على سبيل المثال، عدد الأفراد أو الكتلة الحيوية أو التغطية. في علم الديموغرافيا ، يمكن أن تكون الكيانات محل الاهتمام أشخاصًا، وأنواع الاهتمام مجموعات ديموغرافية مختلفة. في علم المعلومات ، يمكن أن تكون الكيانات شخصيات وأنواع أحرف الأبجدية المختلفة. أكثر مؤشرات التنوع استخدامًا هي تحويلات بسيطة للعدد الفعال للأنواع (المعروفة أيضًا باسم "التنوع الحقيقي")، ولكن يمكن أيضًا تفسير كل مؤشر تنوع في حد ذاته كمقياس يتوافق مع بعض الظواهر الحقيقية (ولكن مختلف لكل مؤشر تنوع). ^{[2] [3] [4] [5]}

لا تأخذ العديد من المؤشرات بعين الاعتبار إلا التنوع التصنيفي بين الكائنات أو الكيانات. ومع ذلك، لا تأخذ مثل هذه المؤشرات بعين الاعتبار التباين الإجمالي (التنوع) الذي يمكن أن يحدث بين الكائنات أو الكيانات والذي يحدث فقط عند حساب التنوع التصنيفي والنوعي.

يشير التنوع الحقيقي، أو العدد الفعال للأنواع، إلى عدد الأنواع ذات الوفرة المتساوية المطلوبة لكي يتساوى متوسط ​​الوفرة النسبية للأنواع مع تلك الملاحظة في مجموعة البيانات المعنية (حيث قد لا تكون جميع الأنواع وفيرة بنفس القدر). يتم حساب التنوع الحقيقي في مجموعة البيانات من خلال أخذ المتوسط ​​المعمم المرجح M _{q −1} أولاً للوفرة النسبية للأنواع في مجموعة البيانات، ثم أخذ مقلوب هذا. المعادلة هي: ^{[4] [5]}

${\displaystyle {}^{q}\!D={1 \over M_{q-1}}={1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{R}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}}$

المقام M _{q −1} يساوي متوسط ​​الوفرة النسبية للأنواع في مجموعة البيانات كما تم حسابها باستخدام المتوسط ​​المعمم المرجح مع الأس q −  1. في المعادلة، R هو الثراء (العدد الإجمالي للأنواع في مجموعة البيانات)، والوفرة النسبية للنوع i هي p _i . تُستخدم الوفرة النسبية نفسها كأوزان اسمية. تسمى الأرقام أرقام هيل من الدرجة q أو العدد الفعال للأنواع . ^[6]${\displaystyle ^{q}D}$

عندما تكون q = 1 ، تكون المعادلة أعلاه غير محددة. ومع ذلك، فإن الحد الرياضي عندما تقترب q من 1 يكون محددًا جيدًا ويتم حساب التنوع المقابل بالمعادلة التالية:

${\displaystyle {}^{1}\!D={1 \over {\prod _{i=1}^{R}p_{i}^{p_{i}}}}=\exp \left(-\sum _{i=1}^{R}p_{i}\ln(p_{i})\right)}$

وهو الأسّ لإنتروبيا شانون المحسوبة باللوغاريتمات الطبيعية (انظر أعلاه). وفي مجالات أخرى، تُعرف هذه الإحصائية أيضًا باسم الحيرة .

غالبًا ما تُكتب المعادلة العامة للتنوع في شكل ^{[2] [3]}

${\displaystyle {}^{q}\!D=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}}$

والمصطلح الموجود بين الأقواس يسمى المجموع الأساسي. وتتوافق بعض مؤشرات التنوع الشائعة مع المجموع الأساسي كما تم حسابه بقيم مختلفة لـ q . ^[3]

غالبًا ما يشار إلى قيمة q على أنها ترتيب التنوع. وهي تحدد حساسية التنوع الحقيقي للأنواع النادرة مقابل الأنواع الوفيرة من خلال تعديل كيفية حساب المتوسط ​​المرجح لوفرة الأنواع النسبية. مع بعض قيم المعلمة q ، تفترض قيمة المتوسط ​​المعمم M _{q −1} أنواعًا مألوفة من المتوسطات المرجحة كحالات خاصة. على وجه الخصوص،

• q = 0 يتوافق مع المتوسط ​​التوافقي المرجح ،
• س = 1 إلى المتوسط ​​الهندسي المرجح ، و
• س = 2 إلى المتوسط ​​الحسابي المرجح .
• عندما يقترب q من اللانهاية ، يقترب المتوسط ​​المعمم المرجح مع الأس q  − 1 من الحد الأقصى لقيمة p _i ، وهي الوفرة النسبية لأكثر الأنواع وفرة في مجموعة البيانات.

بشكل عام، يؤدي زيادة قيمة q إلى زيادة الوزن الفعال المعطى للأنواع الأكثر وفرة. وهذا يؤدي إلى الحصول على قيمة M _{q −1} أكبر وقيمة تنوع حقيقي ( ^q D ) أصغر مع زيادة q .

عندما يكون q = 1 ، يتم استخدام المتوسط ​​الهندسي المرجح لقيم p _i ، ويتم ترجيح كل نوع بالضبط حسب وفرته النسبية (في المتوسط ​​الهندسي المرجح، تكون الأوزان هي الأسس). عندما يكون q > 1 ، يتم المبالغة في الوزن المعطى للأنواع الوفيرة، وعندما يكون q < 1 ، يتم المبالغة في الوزن المعطى للأنواع النادرة. عند q = 0 ، تلغي أوزان الأنواع تمامًا الوفرة النسبية للأنواع، بحيث يكون المتوسط ​​المرجح لقيم p _i مساويًا لـ 1 / R حتى عندما لا تكون جميع الأنواع وفيرة بنفس القدر. عند q = 0 ، فإن العدد الفعال للأنواع، ⁰ D ، يساوي بالتالي العدد الفعلي للأنواع R. في سياق التنوع، يقتصر q عمومًا على القيم غير السلبية. وذلك لأن القيم السلبية لـ q ستعطي الأنواع النادرة وزنًا أكبر بكثير من الأنواع الوفيرة بحيث يتجاوز q ^D R. [ ^{4] [5]}

الثراء R يقيس ببساطة عدد الأنواع المختلفة التي تحتوي عليها مجموعة البيانات المطلوبة. على سبيل المثال، ثراء الأنواع (عادةً ما يشار إليه بـ S ) هو ببساطة عدد الأنواع، على سبيل المثال في موقع معين. الثراء هو مقياس بسيط، لذلك كان مؤشرًا شائعًا للتنوع في علم البيئة، حيث غالبًا ما لا تتوفر بيانات الوفرة. ^[7] إذا تم حساب التنوع الحقيقي باستخدام q = 0 ، فإن العدد الفعال للأنواع ( ⁰ D ) يساوي العدد الفعلي للأنواع، وهو مطابق للثراء ( R ). ^{[3] [5]}

كان مؤشر شانون مؤشرًا شائعًا للتنوع في الأدبيات البيئية، حيث يُعرف أيضًا باسم مؤشر تنوع شانون ، ومؤشر شانون- وينر ، و(خطأً) مؤشر شانون- ويفر . ^[8] اقترح كلود شانون هذا المقياس في الأصل عام 1948 لقياس الإنتروبيا (ومن هنا جاءت إنتروبيا شانون ، المرتبطة بمحتوى معلومات شانون ) في سلاسل النصوص. ^[9] والفكرة هي أنه كلما زاد عدد الأحرف، وكلما اقتربت وفرتها النسبية في سلسلة الاهتمام، زادت صعوبة التنبؤ بشكل صحيح بالحرف التالي في السلسلة. تقيس إنتروبيا شانون عدم اليقين (الإنتروبيا أو درجة المفاجأة) المرتبط بهذا التنبؤ. غالبًا ما يتم حسابها على النحو التالي:

${\displaystyle H'=-\sum _{i=1}^{R}p_{i}\ln p_{i}}$

حيث p _i هي نسبة الأحرف التي تنتمي إلى النوع i من الأحرف في السلسلة المطلوبة. في علم البيئة، غالبًا ما تكون p _i هي نسبة الأفراد الذين ينتمون إلى النوع i في مجموعة البيانات المطلوبة. ثم تقوم إنتروبيا شانون بقياس عدم اليقين في التنبؤ بهوية النوع للفرد المأخوذ عشوائيًا من مجموعة البيانات.

على الرغم من أن المعادلة مكتوبة هنا باللوغاريتمات الطبيعية، إلا أنه يمكن اختيار قاعدة اللوغاريتم المستخدمة عند حساب إنتروبيا شانون بحرية. ناقش شانون نفسه قواعد اللوغاريتم 2 و10 و e ، ومنذ ذلك الحين أصبحت هذه القواعد هي القواعد الأكثر شيوعًا في التطبيقات التي تستخدم إنتروبيا شانون. تتوافق كل قاعدة لوغاريتم مع وحدة قياس مختلفة، والتي تسمى الأرقام الثنائية (بتات) والأرقام العشرية (ديسيت) والأرقام الطبيعية (ناتس) للقواعد 2 و10 و e ، على التوالي. تتطلب مقارنة قيم إنتروبيا شانون التي تم حسابها في الأصل باستخدام قواعد لوغاريتم مختلفة تحويلها إلى نفس القاعدة اللوغاريتمية: يتم الحصول على التغيير من القاعدة أ إلى القاعدة ب عن طريق الضرب في لوغاريتم _ب أ . ^[9]

يرتبط مؤشر شانون ( H' ) بالمتوسط ​​الهندسي المرجح للوفرة النسبية للأنواع. وبشكل أكثر تحديدًا، فهو يساوي لوغاريتم التنوع الحقيقي كما تم حسابه باستخدام q = 1 : ^[4]

${\displaystyle H'=-\sum _{i=1}^{R}p_{i}\ln p_{i}=-\sum _{i=1}^{R}\ln p_{i}^{p_{i}}}$

يمكن كتابة هذا أيضًا

${\displaystyle H'=-(\ln p_{1}^{p_{1}}+\ln p_{2}^{p_{2}}+\ln p_{3}^{p_{3}}+\cdots +\ln p_{R}^{p_{R}})}$

الذي يساوي

${\displaystyle H'=-\ln p_{1}^{p_{1}}p_{2}^{p_{2}}p_{3}^{p_{3}}\cdots p_{R}^{p_{R}}=\ln \left({1 \over p_{1}^{p_{1}}p_{2}^{p_{2}}p_{3}^{p_{3}}\cdots p_{R}^{p_{R}}}\right)=\ln \left({1 \over {\prod _{i=1}^{R}p_{i}^{p_{i}}}}\right)}$

نظرًا لأن مجموع قيم p _i يساوي 1 بحكم التعريف، فإن المقام يساوي المتوسط ​​الهندسي المرجح لقيم p _i ، مع استخدام قيم p _i نفسها كأوزان (أسس في المعادلة). وبالتالي فإن المصطلح الموجود بين قوسين يساوي التنوع الحقيقي ¹ D ، و H' يساوي ln( ¹ D ) . ^{[2] [4] [5]}

عندما تكون جميع الأنواع في مجموعة البيانات ذات الاهتمام مشتركة على قدم المساواة، فإن جميع قيم p _i تساوي 1 / R ، وبالتالي يأخذ مؤشر شانون القيمة ln( R ) . وكلما كانت وفرة الأنواع غير متساوية، زاد المتوسط ​​الهندسي المرجح لقيم p _i ، وصغرت إنتروبيا شانون المقابلة. إذا تركزت كل الوفرة عمليًا في نوع واحد، وكانت الأنواع الأخرى نادرة جدًا (حتى لو كان هناك الكثير منها)، فإن إنتروبيا شانون تقترب من الصفر. عندما يكون هناك نوع واحد فقط في مجموعة البيانات، فإن إنتروبيا شانون تساوي الصفر تمامًا (لا يوجد عدم يقين في التنبؤ بنوع الكيان المختار عشوائيًا التالي).

في التعلم الآلي يسمى مؤشر شانون أيضًا باسم اكتساب المعلومات .

إن إنتروبيا ريني هي تعميم لإنتروبيا شانون لقيم أخرى لـ q غير 1. ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle {}^{q}H={\frac {1}{1-q}}\;\ln \left(\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}\right)}$

الذي يساوي

${\displaystyle {}^{q}H=\ln \left({1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{R}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}\right)=\ln({}^{q}\!D)}$

وهذا يعني أن أخذ لوغاريتم التنوع الحقيقي بناءً على أي قيمة لـ q يعطي إنتروبيا ريني المقابلة لنفس قيمة q .

تم تقديم مؤشر سيمبسون في عام 1949 بواسطة إدوارد إتش سيمبسون لقياس درجة التركيز عند تصنيف الأفراد إلى أنواع. ^[10] تم إعادة اكتشاف نفس المؤشر بواسطة أوريس سي هيرفيندال في عام 1950. ^[11] تم تقديم الجذر التربيعي للمؤشر بالفعل في عام 1945 بواسطة الاقتصادي ألبرت أو. هيرشمان . ^[12] ونتيجة لذلك، يُعرف نفس المقياس عادةً باسم مؤشر سيمبسون في علم البيئة، ومؤشر هيرفيندال أو مؤشر هيرفيندال هيرشمان (HHI) في الاقتصاد.

المقياس يساوي احتمال أن يمثل كيانان مأخوذان عشوائيًا من مجموعة البيانات المطلوبة نفس النوع. ^[10] وهو يساوي:

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{2},}$

حيث R هو الثراء (العدد الإجمالي للأنواع في مجموعة البيانات). هذه المعادلة تساوي أيضًا المتوسط ​​الحسابي المرجح للوفرة النسبية p _i للأنواع محل الاهتمام، مع استخدام الوفرة النسبية نفسها كأوزان. ^[2] الوفرة النسبية مقيدة بحكم التعريف بقيم بين الصفر والواحد، لكنها متوسط ​​حسابي مرجح، وبالتالي λ ≥ 1/ R ، والذي يتم الوصول إليه عندما تكون جميع الأنواع وفيرة بنفس القدر.

من خلال مقارنة المعادلة المستخدمة لحساب λ بالمعادلات المستخدمة لحساب التنوع الحقيقي، يمكن ملاحظة أن 1/λ يساوي ² D ، أي التنوع الحقيقي كما تم حسابه باستخدام q = 2. وبالتالي فإن مؤشر سيمبسون الأصلي يساوي المجموع الأساسي المقابل. ^[3]

يفترض تفسير λ كاحتمالية أن يمثل كيانان مأخوذان عشوائيًا من مجموعة البيانات المعنية نفس النوع أن الكيان الأول يتم استبداله بمجموعة البيانات قبل أخذ الكيان الثاني. إذا كانت مجموعة البيانات كبيرة جدًا، فإن أخذ العينات دون استبدال يعطي نفس النتيجة تقريبًا، ولكن في مجموعات البيانات الصغيرة، يمكن أن يكون الفرق كبيرًا. إذا كانت مجموعة البيانات صغيرة، وافترض أخذ العينات دون استبدال، فإن احتمال الحصول على نفس النوع مع كلا السحوبات العشوائية هو:

${\displaystyle \ell ={\frac {\sum _{i=1}^{R}n_{i}(n_{i}-1)}{N(N-1)}}}$

حيث n _i هو عدد الكيانات التي تنتمي إلى النوع i و N هو العدد الإجمالي للكيانات في مجموعة البيانات. ^[10] يُعرف هذا الشكل من مؤشر سيمبسون أيضًا باسم مؤشر هنتر-جاستون في علم الأحياء الدقيقة. ^[13]

نظرًا لأن الوفرة النسبية المتوسطة للأنواع تزداد مع تناقص عدد الأنواع وزيادة وفرة النوع الأكثر وفرة، فإن λ تحصل على قيم صغيرة في مجموعات البيانات ذات التنوع العالي وقيم كبيرة في مجموعات البيانات ذات التنوع المنخفض. هذا سلوك يخالف البديهة لمؤشر التنوع، لذلك غالبًا ما يتم استخدام مثل هذه التحولات لـ λ التي تزداد مع زيادة التنوع بدلاً من ذلك. كان أكثر هذه المؤشرات شيوعًا هو مؤشر سيمبسون العكسي (1 / λ) ومؤشر جيني -سيمبسون (1 − λ). ^{[2] [3]} كما تم تسمية كلاهما بمؤشر سيمبسون في الأدبيات البيئية، لذلك يلزم توخي الحذر لتجنب المقارنة العرضية للمؤشرات المختلفة كما لو كانت هي نفسها.

مؤشر سيمبسون العكسي يساوي:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={1 \over \sum _{i=1}^{R}p_{i}^{2}}={}^{2}D}$

هذا يساوي ببساطة التنوع الحقيقي من الدرجة 2، أي العدد الفعال للأنواع الذي يتم الحصول عليه عند استخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح لقياس الوفرة النسبية المتوسطة للأنواع في مجموعة البيانات المطلوبة.

ويستخدم المؤشر أيضًا كمقياس لعدد الأطراف الفعالة .

يُطلق على مؤشر جيني-سيمبسون أيضًا اسم شوائب جيني ، أو مؤشر تنوع جيني ^[14] في مجال التعلم الآلي . يساوي مؤشر سيمبسون الأصلي λ احتمالية أن يمثل كيانان مأخوذان عشوائيًا من مجموعة البيانات محل الاهتمام (مع الاستبدال) نفس النوع. وبالتالي، فإن تحويله 1 − λ يساوي احتمالية أن يمثل الكيانان أنواعًا مختلفة. يُعرف هذا المقياس أيضًا في علم البيئة باسم احتمالية اللقاء بين الأنواع ( PIE ) ^[15] ومؤشر جيني-سيمبسون. ^[3] ويمكن التعبير عنه كتحويل للتنوع الحقيقي من الدرجة 2:

${\displaystyle 1-\lambda =1-\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{2}=1-{\frac {1}{{}^{2}D}}}$

مؤشر جيبس-مارتن لدراسات علم الاجتماع وعلم النفس والإدارة، ^[16] والمعروف أيضًا باسم مؤشر بلاو، هو نفس مقياس مؤشر جيني-سيمبسون.

وتُعرف الكمية أيضًا باسم التغاير المتوقع في علم الوراثة السكانية.

مؤشر بيرجر-باركر، المسمى على اسم ولفجانج إتش بيرجر وفرانسيس لورانس باركر ، ^[17] يساوي الحد الأقصى لقيمة p _i في مجموعة البيانات، أي الوفرة النسبية للنوع الأكثر وفرة. وهذا يتوافق مع المتوسط ​​المعمم المرجح لقيم p _i عندما يقترب q من اللانهاية، وبالتالي يساوي معكوس التنوع الحقيقي من رتبة اللانهاية ( 1/ ^∞ D ).

• كولينفو، بول أ. (1973). مقدمة في علم البيئة . وايلي. رقم ISBN 0-471-16498-4.
• الغلاف، توماس م.؛ توماس، جوي أ. (1991). عناصر نظرية المعلومات . وايلي. رقم ISBN 0-471-06259-6. راجع الفصل الخامس للحصول على شرح لإجراءات الترميز الموضحة بشكل غير رسمي أعلاه.
• تشاو، أ .؛ شين، تي جيه. (2003). "التقدير غير المعياري لمؤشر شانون للتنوع عندما تكون هناك أنواع غير مرئية في العينة" (ملف PDF) . الإحصاءات البيئية والبيئية . 10 (4): 429-443. doi :10.1023/A:1026096204727. S2CID  20389926.

• مؤشر سيمبسون للتنوع
• تقدم مؤشرات التنوع المؤرشفة في 2005-12-19 على موقع Wayback Machine بعض الأمثلة على تقديرات مؤشر سيمبسون للنظم البيئية الحقيقية.