اختبار جارك-بيرا

في الإحصاء ، يُعد اختبار جارك-بيرا اختبارًا لمدى ملاءمة البيانات، حيث يُستخدم لتحديد ما إذا كانت بيانات العينة تمتلك معاملَي الالتواء والتفرطح اللذين يتوافقان مع التوزيع الطبيعي . سُمّي الاختبار نسبةً إلى كارلوس جارك وأنيل ك. بيرا . تكون قيمة إحصائية الاختبار دائمًا غير سالبة. إذا كانت بعيدة عن الصفر، فهذا يشير إلى أن البيانات لا تتبع التوزيع الطبيعي.

تُعرَّف إحصائية الاختبار JB على النحو التالي:

$${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$$

حيث n هو عدد المشاهدات (أو درجات الحرية بشكل عام)؛ S هو معامل التواء العينة ، K هو معامل تفرطح العينة  :

$${\displaystyle S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}},}$$$${\displaystyle K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}},}$$ أين${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}}$و${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}}$تمثل هذه القيم تقديرات العزم المركزي الثالث والرابع على التوالي.${\displaystyle {\bar {x}}}$هو متوسط ​​العينة ، و ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$هو تقدير العزم المركزي الثاني، التباين .

إذا كانت البيانات تتبع التوزيع الطبيعي، فإن إحصائية JB تتبع تقريبًا توزيع كاي تربيع بدرجتي حرية ، لذا يمكن استخدام هذه الإحصائية لاختبار فرضية أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي . الفرضية الصفرية هي فرضية مشتركة مفادها أن معامل الالتواء يساوي صفرًا ومعامل التفرطح الزائد يساوي صفرًا. تتميز العينات من التوزيع الطبيعي بمعامل التواء متوقع يساوي صفرًا ومعامل تفرطح زائد متوقع يساوي صفرًا (وهو ما يعادل تفرطحًا مقداره 3). وكما يوضح تعريف JB ، فإن أي انحراف عن هذا يزيد من قيمة إحصائية JB.

بالنسبة للعينات الصغيرة، يكون تقريب مربع كاي شديد الحساسية، وغالبًا ما يرفض الفرضية الصفرية عندما تكون صحيحة. علاوة على ذلك، ينحرف توزيع قيم p عن التوزيع المنتظم ويصبح توزيعًا أحادي المنوال ملتويًا نحو اليمين ، خاصةً بالنسبة لقيم p الصغيرة . يؤدي هذا إلى ارتفاع معدل الخطأ من النوع الأول . يوضح الجدول أدناه بعض قيم p المقربة بتوزيع مربع كاي والتي تختلف عن مستويات ألفا الحقيقية الخاصة بها في العينات الصغيرة.

(تم تقريب هذه القيم باستخدام محاكاة مونت كارلو في برنامج ماتلاب )

في تطبيق MATLAB ، يُستخدم تقريب مربع كاي لتوزيع إحصائية JB فقط مع أحجام العينات الكبيرة (>  2000). أما بالنسبة للعينات الأصغر، فيُستخدم جدول مُستمد من محاكاة مونت كارلو لاستكمال قيم p . ^{[ 1 ]}

تم استخلاص الإحصائية بواسطة كارلوس إم. جارك وأنيل ك. بيرا أثناء عملهما على أطروحة الدكتوراه في الجامعة الوطنية الأسترالية.

وفقًا لروبرت هول، وديفيد ليليان، وآخرون (1995)، عند استخدام هذا الاختبار جنبًا إلى جنب مع تحليل الانحدار المتعدد، يكون التقدير الصحيح هو:

$${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {nk}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$$

حيث n هو عدد الملاحظات و k هو عدد المتغيرات المستقلة عند فحص البواقي لمعادلة ما.

• يتضمن ALGLIB تطبيقًا لاختبار Jarque–Bera بلغات C++ و C# و Delphi و Visual Basic وما إلى ذلك.
• تتضمن مكتبة جريتل تطبيقًا لاختبار جارك-بيرا
• تتضمن لغة جوليا تطبيقًا لاختبار جارك-بيرا JarqueBeraTest في حزمة HypothesisTests . ^{[ 2 ]}
• يتضمن MATLAB تطبيقًا لاختبار Jarque–Bera، وهو الدالة "jbtest".
• تتضمن مكتبة Python statsmodels تطبيقًا لاختبار Jarque–Bera، "statsmodels.stats.stattools.py".
• يتضمن R تطبيقات لاختبار جارك-بيرا: jarque.bera.test في حزمة tseries ، ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، و jarque.test في حزمة moments . ^{[ 4 ]}
• يتضمن Wolfram وظيفة مدمجة تسمى JarqueBeraALMTest ^{[ 5 ]} ولا يقتصر على الاختبار مقابل التوزيع الغاوسي.

• اختبار داغوستينو K-squared ، وهو اختبار آخر يعتمد على التفرطح والالتواء.

• جارك، كارلوس م .؛ بيرا، أنيل ك. (1980). "اختبارات فعالة للتوزيع الطبيعي، وتجانس التباين، والاستقلال التسلسلي لبواقي الانحدار". رسائل اقتصادية . 6 (3): 255-259 . doi : 10.1016/0165-1765(80)90024-5 .
• جارك، كارلوس م .؛ بيرا، أنيل ك. (1981). "اختبارات فعّالة للتوزيع الطبيعي، وتجانس التباين، والاستقلال التسلسلي لبواقي الانحدار: أدلة مونت كارلو". رسائل اقتصادية . 7 (4): 313-318 . doi : 10.1016/0165-1765(81)90035-5 .
• جارك، كارلوس م.؛ بيرا، أنيل ك. (1987). "اختبار لتوزيع المشاهدات وبواقي الانحدار الطبيعي". المجلة الإحصائية الدولية . 55 (2): 163-172 . doi : 10.2307/1403192 . JSTOR 1403192 . 
• القاضي وآخرون  (1988). مقدمة ونظرية وممارسة الاقتصاد القياسي (  الطبعة الثالثة). الصفحات 890-892 . 
• هول، روبرت إي؛ ليليان، ديفيد م.؛ وآخرون  . (1995). دليل مستخدم إي فيوز . ص.  141.