معادلات جيفيمينكو

تصف معادلات جيفيمينكو المجال الكهربائي${\displaystyle \mathbf {E} }$والمجال المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$يتم إنتاجها بواسطة توزيعات عشوائية تعتمد على الزمن لكثافة الشحنة${\displaystyle \rho }$كثافة التيار${\displaystyle \mathbf {J} }$: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}-{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]}{c^{2}r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}+{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{c^{3}r}}\right)\,dV'}$

هنا،${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي سماحية الفراغ ،${\displaystyle r=|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$هي المسافة بين نقطة المصدر${\displaystyle \mathbf {r} '}$ونقطة المراقبة${\displaystyle \mathbf {r} }$، و${\displaystyle \mathbf {n} }$هو متجه الوحدة الذي يشير من المصدر نحو الراصد.

لأن الاضطرابات الكهرومغناطيسية تنتشر بسرعة الضوء${\displaystyle c}$الحقول المرصودة عند نقطة${\displaystyle \mathbf {r} }$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$يتم تحديدها من خلال حالة المصادر في وقت سابق متأخر ،${\textstyle t_{r}=(tr/c)}$الأقواس المربعة${\displaystyle [\ldots ]}$يشير ذلك إلى أن الكميات المضمنة يتم تقييمها في وقت متأخر:

${\displaystyle [\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ ،${\displaystyle [{\dot {\rho }}]={\dot {\rho }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$،${\displaystyle [\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ و ${\displaystyle \left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]={\dot {\mathbf {J} }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$

في حالة الكهروستاتيكية ، يختزل الحد الأول من معادلة المجال الكهربائي إلى قانون كولوم . وبالمثل، في حالة المغناطيسية الساكنة ، يختزل الحد الأول من معادلة المجال المغناطيسي إلى قانون بيو-سافار . وتُعد معادلات جيفيمينكو تعميمات تعتمد على الزمن لهذين القانونين. ^{[ 3 ]}

يمكن اشتقاق معادلات جيفيمينكو من الكمونات المتأخرة V و A : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'}$

تمثل هذه الكمونات حلولاً لمعادلات ماكسويل في صيغة الكمون (انظر نظرية هيلمهولتز ). وللحصول على الحقول، تُستبدل هذه التعبيرات في تعريفات الكمونات الكهرومغناطيسية  .

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

بإجراء عمليات التفاضل بالنسبة لإحداثيات الراصد${\displaystyle \mathbf {r} }$والوقت${\displaystyle t}$يتم استبعاد الإمكانيات لصالح الاعتماد الوظيفي المباشر على المصادر${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \mathbf {J} }$تعتمد الحقول ضمنيًا على الموضع من خلال${\textstyle t_{r}}$^{[ 2 ]} ، وهو ما يجب أخذه في الاعتبار عند التفريق.

بالنسبة للمجال الكهربائي ، تعطي الحسابات التفصيلية ما يلي: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle -{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}\right)\,dV'}$

$$$

يمكن تقسيم حدود معادلات بانوفسكي-فيليبس إلى فئتين: حدود "المجال القريب" لها${\displaystyle 1/r^{2}}$تعتمد هذه الحدود على مصادرها، وتكون ذات أهمية فقط في محيطها المباشر. أما حدود "المجال البعيد" فلها...${\displaystyle 1/r}$الاعتماد. نظرًا لانخفاضها الأبطأ مع المسافة، فإنها تهيمن كلما ابتعدنا عن المصادر (انظر المجال القريب والمجال البعيد ).

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {[\rho ]\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {\left(\left[\mathbf {J} \right]\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} +\left(\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c\,r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{c^{2}r}}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {\left[\mathbf {J} \right]\times \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{c^{3}r}}}\right)\,dV'}$

• باللون الأخضر تظهر المجالات القريبة (التي تتلاشى بمعدل 1/r²) .
• باللون الأحمر تظهر الحقول المشعة (التي تتلاشى بنسبة 1/r) .

في منطقة المجال البعيد، يمكن إهمال المجالات القريبة وتختزل تعبيرات المجالات المنبعثة إلى: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} \right)\times \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\times \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

وبالتالي يكون لدى المرء${\displaystyle \mathbf {E} \perp \mathbf {B} \perp \mathbf {n} }$، حيث يرتبط كل من E و B بالعلاقة التالية:

تُمكّن معادلة بانوفسكي-فيليبس من التمييز المباشر بين المجالات القريبة والمجالات المُشعّة للمجال الكهربائي، وهو أمر غير واضح في صيغة جيفيمينكو. في معادلة جيفيمينكو للمجال الكهربائي، يبدو أن الحدين الثاني والثالث يُساهمان في المجال البعيد لأنهما يتناسبان مع${\displaystyle 1/r}$لكن هذا وهم؛ فالمكون الطولي للحد الثالث يلغي${\displaystyle 1/r}$يعتمد الحد الثاني على معادلة جيفيمينكو، مما يترك فقط المكونات المستعرضة لتنتشر كإشعاع. ^{[ 4 ]} على الرغم من هذا التعقيد، فإن معادلة جيفيمينكو للمجال الكهربائي أكثر إيجازًا وأحيانًا أسهل استخدامًا في الحسابات. ومن الاستثناءات حالة إشعاع ثنائي القطب الكهربائي. ^{[ 7 ]}