صيغة شخصية كيريلوف

في الرياضيات ، بالنسبة لمجموعة لي${\displaystyle G}$تُقدّم طريقة كيريلوف المدارية أسلوبًا استدلاليًا في نظرية التمثيل . تربط هذه الطريقة تحويلات فورييه للمدارات المرافقة ، التي تقع في الفضاء الثنائي لجبر لي لـ G ، بالخصائص المتناهية الصغر للتمثيلات غير القابلة للاختزال . سُمّيت هذه الطريقة نسبةً إلى عالم الرياضيات الروسي ألكسندر كيريلوف .

بأبسط تعريف، ينص هذا على أن خاصية زمرة لي يمكن تحديدها بتحويل فورييه لدالة ديراك دلتا المدعومة على المدارات المرافقة، والمرجحة بالجذر التربيعي لمصفوفة جاكوبي للخريطة الأسية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle j}$. لا ينطبق هذا على جميع مجموعات لي، ولكنه يعمل مع عدد من فئات مجموعات لي المتصلة ، بما في ذلك المجموعات الصفرية ، وبعض المجموعات شبه البسيطة ، والمجموعات المدمجة .

أدت طريقة مدار كيريلوف إلى عدد من التطورات المهمة في نظرية لي، بما في ذلك تماثل دوفلو وخريطة التغليف .

يترك${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {t}}^{*}}$ليكن أعلى وزن لتمثيل غير قابل للاختزال${\displaystyle \pi }$، أين${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$هو ثنائي جبر لي للطور الأقصى ، ولتكن${\displaystyle \rho }$أن يكون نصف مجموع الجذور الموجبة .

نرمز بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$المدار المرافق عبر${\displaystyle \lambda +\rho \in {\mathfrak {t}}^{*}}$وبواسطة${\displaystyle \mu _{\lambda +\rho }}$ال${\displaystyle G}$مقياس ثابت على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$بكتلة إجمالية${\displaystyle \dim \pi =d_{\lambda }}$، والمعروف باسم مقياس ليوفيل . إذا${\displaystyle \chi _{\lambda }}$إن خاصية التمثيل ، وصيغة كيريلوف لخاصية زمر لي المدمجة تُعطى بواسطة

${\displaystyle j^{1/2}(X)\chi _{\lambda}(\exp X)=\int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +\rho }(\beta ),\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}}}$،

أين${\displaystyle j(X)}$هو مصفوفة جاكوبيان للدالة الأسية.

في حالة SU(2) ، تكون أعلى الأوزان هي أنصاف الأعداد الصحيحة الموجبة، و${\displaystyle \rho =1/2}$المدارات المرافقة هي كرات ثنائية الأبعاد نصف قطرها${\displaystyle \lambda +1/2}$، متمركزة عند نقطة الأصل في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

باستخدام نظرية دوال بيسل ، يمكن إثبات أن

$\int_{\mathcal{O}_{\lambda+1/2}}e^{i\beta(X)}d\mu_{\lambda+1/2}(\beta) = \frac{\sin((2\lambda+1)X)}{X/2}, \forall \;X\in \mathfrak{g}},}$

و

${\displaystyle j(X)={\frac {\sin X/2}{X/2}}}$

وبالتالي ينتج عن ذلك خصائص SU (2):

${\displaystyle \chi _{\lambda }(\exp X)={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{\sin X/2}}}$

• صيغة شخصية ويل
• صيغة تحديد الموقع للتجانس المتغير

• كيريلوف، أ.أ، محاضرات حول طريقة المدار ، دراسات عليا في الرياضيات ، 64، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رود آيلاند، 2004.