مجموعة مضغوطة

أي زمرة لي متراصة G لها عنصر محايد G₀ _، يُعرَّف بأنه العنصر المتصل في الزمرة الذي يقع فيه العنصر المحايد. زمرة القسمة G / G₀ هي زمرة العناصر π₀ ₍ G ) ، والتي يجب أن تكون منتهية لأن G متراصة. وبالتالي، لدينا امتداد منتهٍ _.

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

في الوقت نفسه، بالنسبة لمجموعات لي المدمجة المتصلة، لدينا النتيجة التالية: ^{[ 2 ]}

النظرية : كل زمرة لي مدمجة متصلة هي ناتج قسمة زمرة لي مدمجة متصلة ببساطة على زمرة مركزية منتهية، وذلك بضرب زمرة لي مدمجة متصلة ببساطة في طارة.

وبالتالي، يمكن من حيث المبدأ اختزال تصنيف زمر لي المدمجة المتصلة إلى معرفة زمر لي المدمجة البسيطة الاتصال بالإضافة إلى معلومات حول مراكزها. (للحصول على معلومات حول المركز، انظر القسم أدناه حول الزمرة الأساسية والمركز).

وأخيرًا، كل زمرة لي مدمجة ومتصلة وبسيطة الاتصال K هي ناتج ضرب عدد محدود من زمر لي البسيطة المدمجة والمتصلة وبسيطة الاتصال K _i، كل منها متماثل مع واحد فقط مما يلي:

• المجموعة التبسيطية المدمجة${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• المجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• مجموعة الدوران${\displaystyle \operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7}$

أو إحدى المجموعات الخمس الاستثنائية G2 _، F4 _، E6 ، _{E7 ،} و E8 . تهدف القيود المفروضة على _n إلى تجنب التشاكلات الخاصة بين العائلات المختلفة عند القيم الصغيرة لـ n . لكل مجموعة من هذه المجموعات، يكون المركز معروفًا بشكل صريح. يتم التصنيف من خلال نظام الجذور المرتبط ( لحلقة قصوى ثابتة)، والذي يُصنف بدوره بواسطة مخططات دينكين الخاصة به .

يُصنَّف زمر لي المدمجة والمتصلة ببساطة على أنها نفس تصنيف جبر لي شبه البسيط المركب . فإذا كانت K زمرة لي مدمجة ومتصلة ببساطة، فإن تعقيد جبر لي الخاص بها يكون شبه بسيط. وعلى العكس، فإن لكل جبر لي شبه بسيط مركب شكلًا حقيقيًا مدمجًا متماثلًا مع جبر لي الخاص بزمرة لي مدمجة ومتصلة ببساطة.

تتمثل الفكرة الرئيسية في دراسة زمرة لي المدمجة المتصلة K في مفهوم الطارة القصوى ، أي الزمرة الجزئية T من K المتماثلة مع حاصل ضرب عدة نسخ من${\displaystyle S^{1}}$وهذا لا يندرج ضمن أي مجموعة فرعية أكبر من هذا النوع. ومن الأمثلة الأساسية على ذلك الحالة${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$وفي هذه الحالة يمكننا أن نأخذ${\displaystyle T}$أن تكون مجموعة العناصر القطرية في${\displaystyle K}$إحدى النتائج الأساسية هي نظرية الطارة التي تنص على أن كل عنصر من عناصر${\displaystyle K}$ينتمي إلى حلقة قصوى وأن جميع الحلقات القصوى مترافقة.

يلعب الطارة القصوى في مجموعة متراصة دورًا مشابهًا لدور الجبر الفرعي كارتان في جبر لي شبه البسيط المعقد. على وجه الخصوص، بمجرد أن تصبح الطارة القصوى${\displaystyle T\subset K}$بعد اختيار ، يمكن تعريف نظام جذري ومجموعة ويل مشابهة لما هو موجود في جبر لي شبه البسيط . ^{[ 3 ]} تلعب هذه الهياكل دورًا أساسيًا في كل من تصنيف المجموعات المدمجة المتصلة (الموصوفة أعلاه) وفي نظرية تمثيل مجموعة ثابتة من هذا النوع (الموصوفة أدناه).

أنظمة الجذور المرتبطة بالمجموعات المدمجة البسيطة التي تظهر في تصنيف المجموعات المدمجة المتصلة ببساطة هي كما يلي: ^{[ 4 ]}

• المجموعات الوحدوية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$يتوافق مع نظام الجذر${\displaystyle A_{n-1}}$
• مجموعات الدوران الغريبة${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$يتوافق مع نظام الجذر${\displaystyle B_{n}}$
• المجموعات التبسيطية المدمجة${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$يتوافق مع نظام الجذر${\displaystyle C_{n}}$
• مجموعات الدوران المتساوية${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$يتوافق مع نظام الجذر${\displaystyle D_{n}}$
• تتوافق مجموعات لي المدمجة الاستثنائية مع أنظمة الجذور الخمسة الاستثنائية G ₂ ، F ₄ ، E ₆ ، E ₇ ، أو E ₈

من المهم معرفة ما إذا كانت زمرة لي المدمجة المتصلة بسيطة الاتصال، وإذا لم تكن كذلك، فمن المهم تحديد زمرتها الأساسية . بالنسبة لزمر لي المدمجة، هناك منهجان أساسيان لحساب الزمرة الأساسية. ينطبق المنهج الأول على الزمر المدمجة الكلاسيكية.${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$،${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$،${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$، و${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ويستمر بالحث على${\displaystyle n}$أما النهج الثاني فيستخدم نظام الجذور وينطبق على جميع مجموعات لي المدمجة المتصلة.

من المهم أيضًا معرفة مركز زمرة لي المتصلة والمتراصة. مركز الزمرة الكلاسيكية${\displaystyle G}$يمكن حسابها بسهولة "يدويًا"، وفي معظم الحالات تتكون ببساطة من جذور الهوية الموجودة${\displaystyle G}$(تُعدّ المجموعة SO(2) استثناءً، فمركزها هو المجموعة بأكملها، على الرغم من أن معظم عناصرها ليست جذورًا للعنصر المحايد). وهكذا، على سبيل المثال، مركز${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$يتكون من الجذور النونية للوحدة مضروبة في عنصر الوحدة، وهي مجموعة دورية من الرتبة${\displaystyle n}$.

بشكل عام، يمكن التعبير عن المركز بدلالة شبكة الجذور ونواة الدالة الأسية للطور الأقصى. ^{[ 5 ]} تُظهر الطريقة العامة، على سبيل المثال، أن المجموعة المدمجة المتصلة ببساطة التي تُقابل نظام الجذور الاستثنائي${\displaystyle G_{2}}$له مركز تافه. وبالتالي، فإن المجسم المدمج${\displaystyle G_{2}}$تُعدّ المجموعة واحدة من المجموعات البسيطة المدمجة القليلة جدًا التي تكون في الوقت نفسه بسيطة الاتصال وخالية من المركز. (أما المجموعات الأخرى فهي${\displaystyle F_{4}}$و${\displaystyle E_{8}}$.)

بما أن T تبديلية، فإن مبرهنة شور تخبرنا أن كل تمثيل غير قابل للاختزال${\displaystyle \rho }$إذا كان T أحادي البعد:

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

وبما أن T متراصة أيضاً ،${\displaystyle \rho }$يجب أن يتم ربطها فعليًا بـ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$.

لوصف هذه التمثيلات بشكل ملموس، ندع${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ليكن جبر لي لـ T ونكتب النقاط${\displaystyle h\in T}$مثل

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

في مثل هذه الإحداثيات،${\displaystyle \rho }$سيكون على شكل

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

لبعض الدوال الخطية${\displaystyle \lambda }$على${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$.

الآن، بما أن الخريطة الأسية${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$ليست دالة أحادية، وليست كل دالة خطية من هذا القبيل${\displaystyle \lambda }$ينتج عن ذلك خريطة محددة جيدًا لـ T إلى${\displaystyle S^{1}}$بل دع${\displaystyle \Gamma }$لنرمز إلى نواة الدالة الأسية:

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

أين${\displaystyle \operatorname {Id} }$هو العنصر المحايد لـ T. (نقوم هنا بتوسيع الخريطة الأسية بمعامل .${\displaystyle 2\pi }$(لتجنب مثل هذه العوامل في أماكن أخرى.) ثم لـ${\displaystyle \lambda }$لإعطاء خريطة محددة جيدًا${\displaystyle \rho }$،${\displaystyle \lambda }$يجب أن يفي

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

أين${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة الأعداد الصحيحة. ^{[ 9 ]} دالة خطية${\displaystyle \lambda }$يُطلق على العنصر الذي يحقق هذا الشرط اسم العنصر التكاملي التحليلي . يرتبط شرط التكامل هذا بمفهوم العنصر التكاملي في سياق جبر لي شبه البسيط، ولكنه ليس مطابقًا له تمامًا. ^{[ 10 ]}

لنفترض، على سبيل المثال، أن T هي مجرد المجموعة${\displaystyle S^{1}}$الأعداد المركبة${\displaystyle e^{i\theta }}$ذات قيمة مطلقة تساوي 1. جبر لي هو مجموعة الأعداد التخيلية البحتة،${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$ونواة الخريطة الأسية (المُقاسة) هي مجموعة الأعداد التي على الشكل التالي:${\displaystyle in}$أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح. دالة خطية${\displaystyle \lambda }$تأخذ قيمًا صحيحة على جميع هذه الأرقام إذا وفقط إذا كانت من الشكل${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle k}$تكون التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ T في هذه الحالة أحادية البعد ومن الشكل التالي :

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

نحن الآن نترك${\displaystyle \Sigma }$يرمز إلى تمثيل غير قابل للاختزال ذو أبعاد محدودة لـ K (على${\displaystyle \mathbb {C} }$ثم ننظر في تقييد${\displaystyle \Sigma }$إلى T. هذا القيد ليس غير قابل للاختزال إلا إذا${\displaystyle \Sigma }$هو أحادي البعد. ومع ذلك، يتحلل التقييد إلى مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال لـ T. (لاحظ أن تمثيلًا غير قابل للاختزال معينًا لـ T قد يظهر أكثر من مرة). الآن، يُوصف كل تمثيل غير قابل للاختزال لـ T بدالة خطية.${\displaystyle \lambda }$كما في القسم الفرعي السابق. إذا كان هناك أمر معين${\displaystyle \lambda }$يحدث ذلك مرة واحدة على الأقل في عملية تفكيك تقييد${\displaystyle \Sigma }$إلى T ، نسميها${\displaystyle \lambda }$وزن​​${\displaystyle \Sigma }$تتمثل استراتيجية نظرية التمثيل لـ K في تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال من حيث أوزانها.

نصف الآن بإيجاز البنى اللازمة لصياغة النظرية؛ ويمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في مقالة الأوزان في نظرية التمثيل . نحتاج إلى مفهوم نظام الجذور لـ K (بالنسبة إلى طارة قصوى معينة T ). بناء نظام الجذور هذا${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$يشبه هذا البناء إلى حد كبير بناء جبر لي شبه البسيط المعقد . تحديدًا، تمثل الأوزان الأوزان غير الصفرية للفعل المرافق لـ T على جبر لي المعقد لـ K. يتمتع نظام الجذور R بجميع الخصائص المعتادة لنظام الجذور ، باستثناء أن عناصر R قد لا تولد فضاءً.${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$[ ^{11 ] ثم نختار} قاعدة${\displaystyle \Delta }$بالنسبة لـ R ونقول أن العنصر الصحيح${\displaystyle \lambda }$يكون سائداً إذا${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$للجميع${\displaystyle \alpha \in \Delta }$وأخيرًا، نقول إن وزنًا ما أعلى من وزن آخر إذا أمكن التعبير عن الفرق بينهما كمزيج خطي من عناصر${\displaystyle \Delta }$بمعاملات غير سالبة.

ثم تُصنَّف التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لـ K بواسطة نظرية الوزن الأعلى ، ^{[ 12 ]} والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالنظرية المماثلة التي تُصنِّف تمثيلات جبر لي شبه البسيط . وتنص النتيجة على ما يلي:

1. لكل تمثيل غير قابل للاختزال أعلى وزن،
2. الوزن الأعلى هو دائماً عنصر مهيمن ومتكامل تحليلياً،
3. التمثيلان غير القابلين للاختزال واللذان لهما نفس الوزن الأعلى متماثلان، و
4. كل عنصر مهيمن ومتكامل تحليليًا ينشأ كأعلى وزن لتمثيل غير قابل للاختزال.

تُعدّ نظرية الوزن الأعلى لتمثيلات K مماثلة تقريبًا لنظرية جبر لي شبه البسيط، مع استثناء ملحوظ واحد: يختلف مفهوم العنصر الصحيح . الأوزان${\displaystyle \lambda }$تمثيل${\displaystyle \Sigma }$تكون العناصر متكاملة تحليليًا بالمعنى الموصوف في القسم الفرعي السابق. كل عنصر متكامل تحليليًا هو عنصر متكامل في جبر لي، ولكن ليس العكس. ^{[ 13 ]} (تعكس هذه الظاهرة أنه، بشكل عام، ليس كل تمثيل لجبر لي متكاملًا تحليليًا).${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$(يأتي من تمثيل المجموعة K. ) من ناحية أخرى، إذا كانت K متصلة ببساطة، فإن مجموعة الأوزان العليا الممكنة بمعنى المجموعة هي نفسها مجموعة الأوزان العليا الممكنة بمعنى جبر لي. ^{[ 14 ]}

لو${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$إذا كان تمثيلاً لـ K ، فإننا نحدد خصائص${\displaystyle \Pi }$أن تكون الوظيفة${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$مقدم من

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

من السهل ملاحظة أن هذه الدالة هي دالة فئة، أي${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في K. وبالتالي،${\displaystyle \mathrm {X} }$يتم تحديده من خلال تقييده على T.

تُعدّ دراسة الخصائص جزءًا هامًا من نظرية تمثيل الزمر المتراصة. ومن النتائج الحاسمة، وهي نتيجة منطقية لنظرية بيتر-ويل ، أن الخصائص تُشكّل أساسًا متعامدًا لمجموعة دوال الفئات القابلة للتكامل التربيعي في K. أما النتيجة الرئيسية الثانية فهي صيغة خاصية ويل ، التي تُعطي صيغة صريحة للخاصية - أو بالأحرى، تقييد الخاصية على T - بدلالة أعلى وزن للتمثيل.

في نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط، وهي نظرية وثيقة الصلة، تُعدّ صيغة فايل المميزة نتيجةً إضافيةً تُثبت بعد تصنيف التمثيلات. أما في تحليل فايل لحالة المجموعة المدمجة، فإن صيغة فايل المميزة تُشكّل جزءًا أساسيًا من التصنيف نفسه. تحديدًا، في تحليل فايل لتمثيلات K ، يُبرهن الجزء الأصعب من النظرية - وهو إثبات أن كل عنصر مهيمن صحيح تحليليًا هو في الواقع أعلى وزن لتمثيل ما - بطريقة مختلفة تمامًا عن بناء جبر لي المعتاد باستخدام وحدات فيرما . في منهج فايل، يعتمد البناء على نظرية بيتر-فايل وبرهان تحليلي لصيغة فايل المميزة . ^{[ 15 ]} في النهاية ، تتحقق التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ K داخل فضاء الدوال المتصلة على K.

سنتناول الآن حالة المجموعة المدمجة SU(2). غالبًا ما تُدرس التمثيلات من منظور جبر لي ، لكننا هنا ننظر إليها من منظور المجموعة. نعتبر الطارة القصوى هي مجموعة المصفوفات من الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

وفقًا للمثال المذكور أعلاه في قسم تمثيلات T ، يتم تصنيف العناصر الصحيحة تحليليًا بواسطة أعداد صحيحة، بحيث تكون العناصر الصحيحة تحليليًا السائدة أعدادًا صحيحة غير سالبة.${\displaystyle m}$ثم تخبرنا النظرية العامة أنه بالنسبة لكل${\displaystyle m}$يوجد تمثيل فريد غير قابل للاختزال لـ SU(2) ذو أعلى وزن${\displaystyle m}$.

معلومات كثيرة حول التمثيل المقابل لشيء معين${\displaystyle m}$يتم ترميزها في حرفها. الآن، تنص صيغة حرف ويل، في هذه الحالة ، على أن الحرف يُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

يمكننا أيضًا كتابة الحرف كمجموع دوال أسية كما يلي:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(إذا استخدمنا صيغة مجموع متسلسلة هندسية منتهية على التعبير أعلاه وقمنا بالتبسيط، فسنحصل على التعبير السابق.)

انطلاقًا من هذا التعبير الأخير والصيغة القياسية للحرف بدلالة أوزان التمثيل ، يمكننا استنتاج أن أوزان التمثيل هي

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

كل منها بتكرار واحد. (الأوزان هي الأعداد الصحيحة التي تظهر في أسس الدوال الأسية، والتكرارات هي معاملات الدوال الأسية). بما أن هناك${\displaystyle m+1}$الأوزان، كل منها بتعددية 1، بُعد التمثيل هو${\displaystyle m+1}$وبالتالي، نستعيد الكثير من المعلومات حول التمثيلات التي يتم الحصول عليها عادة من حساب جبر لي.

سنعرض الآن برهان نظرية الوزن الأعلى، باتباع الحجة الأصلية لهيرمان فايل . سنواصل السماح${\displaystyle K}$أن تكون مجموعة لي متصلة ومتراصة و${\displaystyle T}$حلقة ثابتة قصوى في${\displaystyle K}$نركز على الجزء الأكثر صعوبة من النظرية، وهو إثبات أن كل عنصر مهيمن، صحيح تحليليًا، هو أعلى وزن لتمثيل غير قابل للاختزال (محدود الأبعاد). ^{[ 16 ]}

أدوات الإثبات هي التالية:

• نظرية الطارة .
• صيغة فايل التكاملية .
• تنص نظرية بيتر -ويل لدوال الفئة على أن خصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال تشكل أساسًا متعامدًا لفضاء دوال الفئة القابلة للتكامل التربيعي على${\displaystyle K}$.

باستخدام هذه الأدوات، ننتقل إلى البرهان. تتمثل الخطوة الرئيسية الأولى في البرهان في إثبات صيغة ويل . تنص الصيغة على أنه إذا${\displaystyle \Pi }$هو تمثيل غير قابل للاختزال ذو أعلى وزن${\displaystyle \lambda }$ثم الشخصية${\displaystyle \mathrm {X} }$ل${\displaystyle \Pi }$يرضي:

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

للجميع${\displaystyle H}$في جبر لي لـ${\displaystyle T}$. هنا${\displaystyle \rho }$يساوي نصف مجموع الجذور الموجبة. (يستخدم هذا الترميز اصطلاح "الأوزان الحقيقية"؛ ويتطلب هذا الاصطلاح عاملًا صريحًا من${\displaystyle i}$في الأس.) برهان فايل لصيغة الخاصية تحليلي بطبيعته ويعتمد على حقيقة أن${\displaystyle L^{2}}$معيار الحرف هو 1. على وجه التحديد، إذا كانت هناك أي حدود إضافية في البسط، فإن صيغة ويل التكاملية ستجبر معيار الحرف على أن يكون أكبر من 1.

ثم نترك${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$لنرمز إلى الدالة الموجودة على الجانب الأيمن من صيغة الحرف. سنبين أنه حتى لو${\displaystyle \lambda }$ليس من المعروف أنه أعلى وزن للتمثيل ،${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$هي دالة محددة جيدًا وثابتة تحت تأثير فايل على${\displaystyle T}$وبالتالي يمتد ذلك إلى دالة فئة على${\displaystyle K}$ثم باستخدام صيغة تكامل فايل، يمكن إثبات ذلك على النحو التالي:${\displaystyle \lambda }$تتراوح الدوال ضمن مجموعة العناصر المهيمنة ذات التكامل التحليلي.${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$تشكل عائلة متعامدة من دوال الفئة. ونؤكد أننا لا نعرف حاليًا أن كل واحدة من هذه الدوال ...${\displaystyle \lambda }$يمثل أعلى وزن للتمثيل؛ ومع ذلك، فإن التعبيرات الموجودة على الجانب الأيمن من صيغة الحرف تعطي مجموعة محددة جيدًا من الدوال${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$وهذه الدوال متعامدة.

والآن نأتي إلى الخاتمة. مجموعة الكل${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$-مع${\displaystyle \lambda }$يشكل نطاق العناصر المهيمنة ذات التكامل التحليلي مجموعة متعامدة في فضاء دوال الفئة القابلة للتكامل التربيعي. ولكن وفقًا لصيغة فايل الخاصة بالخصائص، فإن خصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال تشكل مجموعة جزئية من${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$وبحسب نظرية بيتر-ويل، فإن خصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال تُشكل أساسًا متعامدًا لفضاء دوال الفئة القابلة للتكامل التربيعي. إذا كان هناك بعض${\displaystyle \lambda }$إذا لم يكن هذا هو الوزن الأعلى للتمثيل، فإن الوزن المقابل هو${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$لن يكون ذلك من خصائص التمثيل. وبالتالي، ستكون الخصائص مجموعة جزئية مناسبة من مجموعة${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$لكن حينها نواجه وضعًا مستحيلاً: إذ أن الأساس المتعامد (مجموعة خصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال) سيكون موجودًا في مجموعة متعامدة أكبر تمامًا (مجموعة${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$'s). وبالتالي، كل${\displaystyle \lambda }$يجب أن يكون في الواقع أعلى وزن للتمثيل.