كومار ماس

كتلة كومار لنظام ما هي أحد المفاهيم الرسمية العديدة للكتلة المستخدمة في النسبية العامة . يمكن تعريف كتلة كومار في أي زمكان ثابت ، وهو زمكان يمكن فيه كتابة جميع مكونات المقياس بحيث تكون مستقلة عن الزمن. بدلاً من ذلك، يمكن تعريف الزمكان الثابت بأنه زمكان يمتلك حقل متجه كيلينغ زمني . سُميت هذه الكتلة نسبةً إلى آرثر كومار الذي طور هذا المفهوم عام ١٩٦٢. ^{[ ١ ]}

المناقشة التالية هي نسخة موسعة ومبسطة من العلاج التحفيزي في والد (1984 ، ص 288) . 

لنأخذ مقياس شوارزشيلد كمثال . باستخدام أساس شوارزشيلد، وهو حقل إطار لمقياس شوارزشيلد، يمكن إيجاد أن التسارع القطري المطلوب لتثبيت كتلة اختبارية عند إحداثية شوارزشيلد r هو:

${\displaystyle a^{\hat {r}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}$

لأن المقياس ثابت، فإن هناك معنى محدد جيدًا لـ "تثبيت الجسيم".

بتفسير هذا التسارع على أنه ناتج عن "قوة الجاذبية"، يمكننا بعد ذلك حساب تكامل التسارع العمودي مضروبًا في المساحة للحصول على تكامل "قانون جاوس" لـ:

${\displaystyle {\frac {4\pi m}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}$

بينما يقترب هذا من قيمة ثابتة عندما يقترب r من اللانهاية، إلا أنه ليس ثابتًا مستقلًا عن r . لذلك، نحن بحاجة إلى إدخال عامل تصحيح لجعل التكامل أعلاه مستقلًا عن نصف قطر r للغلاف المحيط. بالنسبة لمقياس شوارزشيلد، فإن عامل التصحيح هذا هو ببساطة${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}$، عامل "الانزياح نحو الأحمر" أو "تمدد الزمن" عند المسافة r . ويمكن أيضًا اعتبار هذا العامل بمثابة "تصحيح" للقوة المحلية لتصبح "القوة عند اللانهاية"، وهي القوة التي يحتاجها مراقب عند اللانهاية لتطبيقها عبر خيط لإبقاء الجسيم ثابتًا. ^{[ 2 ]}

للمضي قدماً، سنكتب عنصر سطر لمقياس ثابت.

${\displaystyle ds^{2}=g_{tt}\,dt^{2}+\mathrm {quadratic\ form} (dx,\,dy,\,dz)}$

أين${\displaystyle g_{tt}}$والصيغة التربيعية هي دوال للإحداثيات المكانية x و y و z فقط ، وليست دوالًا للزمن. على الرغم من اختيارنا لأسماء المتغيرات، لا ينبغي افتراض أن نظام الإحداثيات لدينا ديكارتي. إن حقيقة أن معاملات القياس ليست دوالًا للزمن تجعل القياس ثابتًا: بالإضافة إلى حقيقة عدم وجود "حدود مشتركة" تتضمن مكونات الزمان والمكان معًا (مثل${\displaystyle dxdt}$) اجعله ثابتًا.

بسبب الافتراض المبسط بأن بعض معاملات القياس تساوي صفرًا، فإن بعض نتائجنا في هذا العلاج التحفيزي لن تكون عامة كما يمكن أن تكون.

في الزمكان المسطح، يكون التسارع المناسب المطلوب للحفاظ على الموقع هو${\displaystyle du/d\tau }$حيث u هي السرعة الرباعية للجسيم المحلق و${\displaystyle \tau }$هو الزمن الخاص . في الزمكان المنحني، يجب علينا حساب المشتقة المتغيرة. وبالتالي، نحسب متجه التسارع كما يلي:

${\displaystyle a^{b}=\nabla _{u}u^{b}=u^{c}\nabla _{c}u^{b}}$

${\displaystyle a_{b}=u^{c}\nabla _{c}u_{b}}$

أين${\displaystyle u^{b}}$هو متجه يشبه وحدة الزمن بحيث${\displaystyle u^{b}u_{b}=-1.}$

مركبة متجه التسارع العمودية على السطح هي

${\displaystyle a_{\mathrm {norm} }=N^{b}a_{b}}$

حيث N ^b هو متجه وحدة عمودي على السطح.

في نظام إحداثيات شوارزشيلد، على سبيل المثال، نجد أن

${\displaystyle N^{b}a_{b}={\frac {{\frac {\partial g_{tt}}{\partial r}}c^{2}}{2g_{tt}{\sqrt {g_{rr}}}}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}$

كما هو متوقع - لقد قمنا ببساطة بإعادة اشتقاق النتائج السابقة المعروضة في إطار حقل في أساس إحداثيات.

نحن نحدد

${\displaystyle a_{\inf }={\sqrt {g_{tt}}}\,a}$

وبالتالي، في مثال شوارتزشيلد الخاص بنا:${\displaystyle N^{b}a_{\inf \,b}=m/r^{2}.}$

يمكننا، إذا رغبنا، استنتاج التسارعات${\displaystyle a_{b}}$و"التسارع عند اللانهاية" المعدل${\displaystyle a_{\inf \,b}}$من جهد قياسي Z، على الرغم من أنه ليس بالضرورة أن يكون هناك أي ميزة خاصة في القيام بذلك. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle a_{b}=\nabla _{b}Z_{1}\qquad Z_{1}=\ln {g_{tt}}}$

${\displaystyle a_{\inf \,b}=\nabla _{b}Z_{2}\qquad Z_{2}={\sqrt {g_{tt}}}}$

سنوضح أن تكامل المكون العمودي لـ "التسارع عند اللانهاية"${\displaystyle a_{\inf }}$إن حساب الكتلة على سطح محدد سيعطينا كمية لا تعتمد على شكل الكرة المحيطة، وبالتالي يمكننا حساب الكتلة المحصورة داخل الكرة عن طريق التكامل.

${\displaystyle m=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{A}N^{b}a_{\inf \,b}\;dA}$

لإجراء هذا التوضيح، نحتاج إلى التعبير عن هذا التكامل السطحي كتكامل حجمي. في الزمكان المسطح، سنستخدم نظرية ستوكس ونجري التكامل.${\displaystyle -\nabla \cdot a_{\inf }}$على مستوى الحجم. في الزمكان المنحني، يحتاج هذا النهج إلى تعديل طفيف.

باستخدام صيغ الكهرومغناطيسية في الزمكان المنحني كدليل، نكتب بدلاً من ذلك.

${\displaystyle F_{ab}=a_{\inf \,a}\,u_{b}-a_{\inf \,b}\,u_{a}}$

حيث يلعب F دورًا مشابهًا لـ "موتر فاراداي"، من حيث أن${\displaystyle a_{\inf \,a}=F_{ab}u^{b}}$يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة "الشحنة الجاذبية"، أي الكتلة، عن طريق حساب${\displaystyle \nabla ^{a}F_{ab}u^{b}}$ودمجها على حجم كرتنا.

ثمة نهج بديل يتمثل في استخدام الأشكال التفاضلية ، لكن النهج المذكور أعلاه أكثر ملاءمة من الناحية الحسابية، فضلاً عن أنه لا يتطلب من القارئ فهم الأشكال التفاضلية.

تُظهر لنا عملية حسابية مطولة، ولكنها مباشرة (باستخدام الجبر الحاسوبي)، انطلاقاً من عنصر الخط المفترض لدينا، أن

${\displaystyle -u^{b}\nabla ^{a}F_{ab}={\sqrt {g_{tt}}}R_{00}u^{a}u^{b}={\sqrt {g_{tt}}}R_{ab}u^{a}u^{b}}$

وهكذا يمكننا أن نكتب

${\displaystyle m={\frac {\sqrt {g_{tt}}}{4\pi }}\int _{V}R_{ab}u^{a}u^{b}}$

في أي منطقة فراغ في الزمكان، يجب أن تكون جميع مركبات موتر ريتشي صفرًا. هذا يُثبت أن احتواء أي كمية من الفراغ لن يُغير تكامل الحجم. ويعني أيضًا أن تكامل الحجم سيكون ثابتًا لأي سطح مُحيط، طالما أننا نُحيط بكل الكتلة المؤثرة بالجاذبية داخل هذا السطح. ولأن نظرية ستوكس تضمن أن تكامل السطح يساوي تكامل الحجم المذكور أعلاه، فإن تكامل السطح سيكون أيضًا مستقلًا عن السطح المُحيط طالما أن هذا السطح يُحيط بكل الكتلة المؤثرة بالجاذبية.

باستخدام معادلات أينشتاين للمجال

$//$

بوضع u=v والجمع، يمكننا أن نبين أن${\displaystyle R=-8\pi T.}$

وهذا يسمح لنا بإعادة كتابة صيغة الكتلة الخاصة بنا كتكامل حجمي لموتر الإجهاد والطاقة.

${\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {g_{tt}}}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}u^{b}dV}$

أين

• V هو الحجم الذي يتم التكامل عليه؛
• T _ab هو موتر الإجهاد والطاقة ؛
• u ^a هو متجه يشبه وحدة الزمن بحيث u ^a u _a = -1.

لجعل صيغة كتلة كومار صالحةً لمقياس ثابت عام، بغض النظر عن اختيار الإحداثيات، يجب تعديلها تعديلاً طفيفاً. سنعرض النتيجة المطبقة من والد (1984 ، المعادلة 11.2.10) دون برهان رسمي.

${\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}\xi ^{b}dV,}$

أين

• V هو الحجم الذي يتم التكامل عليه
• T _ab هو موتر الإجهاد والطاقة ؛
• u ^a هو متجه يشبه وحدة الزمن بحيث يكون u ^a u _a = -1؛
• ${\displaystyle \xi ^{b}}$هو متجه كيلينغ ، الذي يعبر عن تناظر الإزاحة الزمنية لأي مقياس ثابت . يتم تطبيع متجه كيلينغ بحيث يكون طوله وحدة واحدة عند اللانهاية، أي بحيث${\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}$عند اللانهاية.

لاحظ أن${\displaystyle \xi ^{b}}$يستبدل${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}u^{b}\,}$في نتائجنا التحفيزية.

إذا لم يكن أي من معاملات القياس${\displaystyle g_{ab}}$هي دوال للزمن،${\displaystyle \xi ^{a}=(1,0,0,0).}$

على الرغم من أنه ليس من الضروري اختيار إحداثيات لزمكان ثابت بحيث تكون معاملات القياس مستقلة عن الزمن، إلا أنه غالباً ما يكون ذلك مناسباً .

عندما اخترنا هذه الإحداثيات، فإن متجه كيلينغ الزمني لنظامنا${\displaystyle \xi ^{a}}$ يصبح مضاعفًا قياسيًا لمتجه إحداثيات-زمن وحدة${\displaystyle u^{a},}$أي${\displaystyle \xi ^{a}=Ku^{a}.}$في هذه الحالة، يمكننا إعادة كتابة صيغتنا على النحو التالي:

${\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{00}-Tg_{00}\right)KdV}$

لأن${\displaystyle u^{a}}$هو بحكم التعريف متجه وحدة، و K هو طوله فقط${\displaystyle \xi ^{b}}$، أي K =${\displaystyle {\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}$.

تقييم عامل "الانزياح الأحمر" K بناءً على معرفتنا بمكونات${\displaystyle \xi ^{a}}$، يمكننا أن نرى أن K =${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}$.

إذا اخترنا إحداثياتنا المكانية بحيث يكون لدينا مقياس مينكوفسكي محليًا${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}}$نحن نعلم ذلك

${\displaystyle g_{00}=-1,T=-T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}}$

باستخدام هذه الخيارات الإحداثية، يمكننا كتابة تكامل كومار على النحو التالي:

${\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}\left(T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}\right)dV}$

على الرغم من أنه لا يمكننا اختيار نظام إحداثيات لجعل الزمكان المنحني من نوع مينكوفسكي عالميًا، فإن الصيغة المذكورة أعلاه تُقدم بعض التوضيحات حول معنى صيغة كتلة كومار. في الأساس، تُساهم كل من الطاقة والضغط في كتلة كومار. علاوة على ذلك، تُضرب مساهمة الطاقة والكتلة المحليتين في كتلة النظام بمعامل "الانزياح الأحمر" المحلي.${\displaystyle K={\sqrt {g_{tt}}}={\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}$

كما نرغب في تقديم النتيجة العامة للتعبير عن كتلة كومار كتكامل سطحي.

الصيغة الخاصة بكتلة كومار بدلالة المقياس ومتجه كيلينج الخاص بها هي ^{[ 4 ]}

${\displaystyle m=-{\frac {1}{8\pi }}\int _{S}\epsilon _{abcd}\nabla ^{c}\xi ^{d}}$

أين${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$هي رموز لاوي تشيفيتا و${\displaystyle \xi ^{d}}$يمثل متجه كيلينغ للمقياس الثابت لدينا ، وهو مُعَيَّر بحيث${\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}$عند اللانهاية.

يُفسر التكامل السطحي أعلاه على أنه التكامل "الطبيعي" لشكل ثنائي على متعدد الشعب.

كما ذكرنا سابقاً، إذا لم يكن أي من معاملات القياس${\displaystyle g_{ab}}$هي دوال للزمن،${\displaystyle \xi ^{a}=\left(1,0,0,0\right)}$

• جهد كومار الفائق
• الكتلة في النسبية العامة

• والد، روبرت م. (1984). النسبية العامة . مطبعة جامعة شيكاغو . ISBN 0-226-87033-2.
• ميسنر، ثورن، ويلر (1973). الجاذبية . دار دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )