الكتلة في النسبية العامة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة

في النسبية العامة ، يُعد مفهوم الكتلة أكثر تعقيدًا منه في الميكانيكا الكلاسيكية أو النسبية الخاصة . لا تُحدد النظرية تعريفًا محليًا مفضلًا للكتلة، بل طُرحت عدة مفاهيم متميزة للكتلة قابلة للتطبيق في ظل ظروف هندسية أو فيزيائية مختلفة. ينبع هذا التعقيد من حقيقة أن طاقة وزخم مجال الجاذبية لا يمكن تحديد موقعهما بدقة. [ 1 ] : الفصل 20

نتيجةً لذلك، لا يمكن تعريف الكتلة في النسبية العامة ككمية محلية بالمعنى نفسه في الفيزياء النيوتونية ، لعدم وجود كثافة طاقة محلية ثابتة لحقل الجاذبية. بدلاً من ذلك، تُستخلص مفاهيم الكتلة بشكل غير مباشر من البيانات الكلية أو الحدية، الأمر الذي يتطلب عادةً بنية هندسية إضافية، كالتناظرات أو افتراضات حول السلوك التقاربي للزمكان. توجد مفاهيم محددة جيدًا للكتلة الكلية في فئات مهمة من الزمكان، مثل الزمكان المسطح تقاربيًا والزمكان المضاد لدي سيتر تقاربيًا ، حيث تسمح الشروط الحدية المناسبة بتعريف ذي معنى. تتطلب حالات أخرى بنيات مختلفة أو أكثر دقة.

العقبات المفاهيمية

في النسبية الخاصة ، يمكن تعريف كتلة سكون الجسيم بشكل قاطع بدلالة طاقته وزخمه (انظر: الكتلة في النسبية الخاصة ). أما في النسبية العامة، فإن توسيع مفهومي الطاقة والزخم أكثر تعقيدًا. تكمن الصعوبة الرئيسية في أن مجال الجاذبية نفسه يُسهم في الطاقة والزخم الكليين للنظام.

على عكس المجالات الفيزيائية الأخرى، لا يمتلك مجال الجاذبية كثافة طاقة-زخم محلية متغيرة بشكل عام. يصف موتر الإجهاد-الطاقة مجالات المادة غير الجاذبية فقط، بينما تُشفّر المساهمات المرتبطة بالجاذبية في هندسة الزمكان من خلال معادلات أينشتاين للمجال. على الرغم من أنه في بعض أنظمة الإحداثيات، يمكن تمثيل أجزاء من المساهمة الجاذبية باستخدام موتر زائف للإجهاد-الطاقة-الزخم ، إلا أن هذه التركيبات تعتمد على الراصد ولا تُنتج مفهومًا محليًا مقبولًا بشكل عام لطاقة الجاذبية. [ 2 ]

من المتطلبات الأساسية لأي تعريف من هذا القبيل الإيجابية، أو على الأقل وجود حد أدنى. فلو كانت الكتلة الكلية لنظام معزول غير محدودة من الأسفل، لما أمكن لأي تكوين أن يكون مستقرًا بشكل مطلق. وقد تم توضيح هذا المبدأ بدقة من خلال نظرية الطاقة الموجبة ، التي تنص على أنه في ظل ظروف طاقة مناسبة، تكون الكتلة الكلية لزمكان مسطح تقاربيًا غير سالبة، وتتلاشى فقط في فضاء مينكوفسكي . وتلعب هذه النتيجة دورًا أساسيًا في الفهم الرياضي والفيزيائي للكتلة في النسبية العامة.

أنواع الكتلة في النسبية العامة

تنشأ عدة مفاهيم متميزة للكتلة في النسبية العامة، اعتمادًا على وجود التناظرات، أو البنية التقاربية للزمكان، أو المقياس الذي يتم عنده فحص مجال الجاذبية.

كتلة كومار في الزمكانات الثابتة

تعريف غير تقني للزمكان الثابت هو الزمكان الذي لا يكون فيه أي من معاملات القياسزμν{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}هي دوال للزمن. يُعد مقياس شوارزشيلد للثقب الأسود ومقياس كير للثقب الأسود الدوار من الأمثلة الشائعة على الزمكان الثابت.

بحسب التعريف، يُظهر الزمكان الساكن تناظرًا زمنيًا انتقاليًا . يُطلق على هذا تقنيًا اسم متجه كيلينغ الزمني . ولأن النظام يتمتع بتناظر زمني انتقالي، تضمن نظرية نوثر حفظ طاقته. ولأن النظام الساكن له أيضًا إطار سكون محدد جيدًا يمكن فيه اعتبار زخمه صفرًا، فإن تعريف طاقة النظام يُحدد كتلته أيضًا. في النسبية العامة، تُسمى هذه الكتلة كتلة كومار للنظام. ولا يمكن تعريف كتلة كومار إلا للأنظمة الساكنة.

يمكن تعريف كتلة كومار أيضًا بتكامل التدفق. وهذا مشابه لكيفية تعريف قانون جاوس للشحنة المحصورة داخل سطح ما بأنها القوة الكهربائية العمودية مضروبة في المساحة. مع ذلك، يختلف تكامل التدفق المستخدم لتعريف كتلة كومار اختلافًا طفيفًا عن ذلك المستخدم لتعريف المجال الكهربائي، فالقوة العمودية ليست القوة الفعلية، بل هي "القوة عند اللانهاية". راجع المقال الرئيسي لمزيد من التفاصيل. 

من بين التعريفين، فإن وصف كتلة كومار من حيث تناظر الإزاحة الزمنية يوفر أعمق فهم.

كتل ADM وبوندي في الزمكانات المسطحة تقاربياً

إذا كان نظام يحتوي على مصادر جاذبية محاطًا بمنطقة فراغ لا نهائية، فإن هندسة الزمكان تقترب من هندسة زمكان مينكوفسكي المسطح عند المسافات الكبيرة. تُسمى هذه الزمكانات بالزمكانات المسطحة تقاربياً. في هذا السياق، يمكن تعريف مفاهيم شاملة للطاقة والزخم والكتلة المرتبطة بحقل الجاذبية.

في فضاء-زمن مسطح تقاربياً، يمكن اعتبار أسطح فائقة شبيهة بالفضاء، ذات هندسة مستحثة مسطحة تقاربياً بمعنى مناسب. على هذه الأسطح الفائقة، يؤدي صياغة هاميلتونية للنسبية العامة إلى كميات محفوظة مرتبطة بالتناظرات التقاربية للفضاء-الزمن. على وجه الخصوص، وبموجب صيغة تقاربية لنظرية نوثر ، تُنتج الإزاحات الزمنية والإزاحات المكانية عند اللانهاية طاقة وزخماً محفوظين، يُعرفان بطاقة وزخم ADM.

تشكل طاقة وزخم نموذج ADM معًا متجهًا رباعيًا للطاقة والزخمPμ=(هـأدم،Pأدمأنا){\displaystyle P^{\mu }=(E_{\mathrm {ADM} },P_{\mathrm {ADM} }^{i})}ثم تُعرَّف كتلة ADM بأنها المعيار الثابت لورنتز لهذا المتجه الرباعي. مأدم=هـأدم2-|Pأدم|2،{\displaystyle M_{\mathrm {ADM} }={\sqrt {E_{\mathrm {ADM} }^{2}-|P_{\mathrm {ADM} }|^{2}}},} ويمثل إجمالي محتوى الكتلة والطاقة لنظام جاذبي معزول كما تم قياسه عند اللانهاية المكانية. في ظل ظروف مناسبة، تكون كميات ADM مستقلة عن السطح الفائق المكاني المسطح تقاربياً المحدد المختار.

يمكن تعريف مفاهيم وثيقة الصلة عند اللانهاية الصفرية. تُعرف هذه المفاهيم بطاقة بوندي، وزخمها، وكتلتها، وتصف كتلة نظام معزول كما يقيسها مراقبون بعيدون على طول الاتجاهات الخارجة من اللانهاية. وعلى عكس كتلة ADM، يمكن أن تتناقص كتلة بوندي بمرور الوقت نتيجة انبعاث الإشعاع الجاذبي.

إحدى الطرق الملائمة لحساب طاقة-زخم ADM هي من خلال تكاملات التدفق المحسوبة على أسطح ثنائية الأبعاد كبيرة تقترب من اللانهاية المكانية. عند التعبير عنها بإحداثيات ديكارتية تقاربياً، يمكن كتابة مقياس الزمكان بالقرب من اللانهاية على النحو التالي:

زμν=ημν+حμν،{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },}

أينημν{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}هو مقياس مينكوفسكي المسطح وحμν{\displaystyle h_{\mu \nu }}تمثل هذه التعبيرات انحرافات تتلاشى بشكل مناسب عند اللانهاية. وتوفر هذه التعبيرات تمثيلاً إحداثياً لتعريفات الهاميلتوني المذكورة أعلاه.

في هذه الصيغة، طاقة ADMهـأدم=P0{\displaystyle E_{\mathrm {ADM} }=P^{0}}يُعطى بواسطة تكامل التدفق

P0=116πجي∫(∂كحجك-∂جحكك)د2Sج،{\displaystyle P^{0}={\frac {1}{16\pi G}}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},}

أينS{\displaystyle S}هي كرة كبيرة في اللانهاية المكانية،Sج{\displaystyle S_{j}}يشير الرمز إلى متجه الوحدة العمودي المتجه للخارج، ويُفترض تطبيق اصطلاح جمع أينشتاين على المؤشرات المكانية. تظهر المشتقات العادية في هذا التعبير لأن المقياس يُفترض أن يقترب من المقياس المسطح تقاربياً.

يمكن الحصول على بعض الفهم البديهي لهذه الصيغة من خلال النظر في الأسطح الكروية ذات نصف القطر الكبيرر{\displaystyle r}على مسافات كبيرة من المصادر، تكون مكوناتحأناج{\displaystyle h_{ij}}تتدهور عادة معر-1{\displaystyle r^{-1}}لذا فإن مشتقاتها تتلاشى معر-2{\displaystyle r^{-2}}بما أن مساحة الكرة تتزايد معر2{\displaystyle r^{2}}، يتقارب التكامل الناتج إلى قيمة محدودة.

يمكن الحصول على تعابير زخم ADM بطريقة مماثلة. يتم إدخال الموتر

حμανβ=-ح¯μνηαβ-ημνح¯αβ+ح¯ανημβ+ح¯μβηαν،{\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta}=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta}-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta}+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta}+{\bar {ح}}^ {\mu \beta}\eta ^{\alpha \nu },}

أين

ح¯μν=حμν-12ημνحαα.{\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }.}

ثم يتم الحصول على متجه الطاقة والزخم الرباعي لـ ADM من تكامل التدفق

Pμ=116πجي∫∂αحμα0جد2Sج.{\displaystyle P^{\mu}={\frac {1}{16\pi G}}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}\,d^{2}S_{j}.}

التعبير عنP0{\displaystyle P^{0}}تتوافق الطاقة التي تم الحصول عليها من هذه الصيغة مع طاقة ADM المحددة أعلاه.

الحد النيوتني للزمكانات شبه المسطحة

في الحد النيوتني، بالنسبة للأنظمة شبه الساكنة في الزمكانات المسطحة تقريبًا، يمكن للمرء أن يقرب الطاقة الكلية للنظام عن طريق جمع المكونات غير الجاذبية لطاقة النظام ثم طرح طاقة الربط الجاذبية النيوتونية .

بترجمة العبارة السابقة إلى لغة النسبية العامة، نقول إن النظام في الزمكان شبه المسطح يمتلك طاقة كلية غير جاذبية E وزخمًا P معطاة بالعلاقة التالية:

هـ=∫vتي٠٠دVPأنا=∫Vتي0أنادV{\displaystyle E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV}

عندما تكون مكونات متجه الزخم للنظام صفرًا، أي P i = 0، فإن الكتلة التقريبية للنظام هي (E+E binding )/c 2 ، حيث E binding هو رقم سالب يمثل طاقة الربط الذاتي الجاذبية النيوتونية.

لذا، عند افتراض أن النظام شبه ساكن، يُفترض عدم وجود طاقة كبيرة على شكل "موجات جاذبية". وعند افتراض أن النظام يقع في فضاء-زمن "شبه مسطح"، يُفترض أن معاملات القياس هي في جوهرها معاملات مينكوفسكي ضمن هامش الخطأ التجريبي المقبول.

يمكن ملاحظة أن صيغ الطاقة الكلية والزخم تنشأ بشكل طبيعي في هذه الحالة الحدية كما يلي. [ 1 ] في الحالة الحدية الخطية، يمكن كتابة معادلات النسبية العامة على الصورة التالية:

∂α∂βحμανβ=16πجيتيμν{\displaystyle \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }}

في هذه الحالة، يتم ببساطة إعطاء الطاقة والزخم الكلي للنظام عن طريق تكامل موتر الإجهاد على شريحة مكانية.

Pμ=∫تيμ0د3x{\displaystyle P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x}

لكن باستخدام معادلات الحركة، يمكن أيضًا كتابة ذلك على النحو التالي

Pμ=116πجي∫∂α∂βحμα0βد3x=116πجي∫∂α∂جحμα0جد3x{\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x}

حيث يقتصر الجمع على j على الاتجاهات المكانية فقط، وتعتمد المساواة الثانية على حقيقة أنحμανβ{\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }}متناظر عكسيًا فيν{\displaystyle \nu }وβ{\displaystyle \beta }وأخيرًا، يُستخدم قانون غاوس لتحويل تكامل التباعد على الشريحة المكانية إلى تكامل على كرة غاوسية.

116πجي∫∂α∂جحμα0جد3x=116πجي∫∂αحμα0جد2Sج{\displaystyle {1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}

وهو ما يتطابق تمامًا مع صيغة الزخم الكلي المذكورة أعلاه.

في الزمكانات التي تُعرَّف فيها مفاهيم متعددة للكتلة في آنٍ واحد، يُتوقع أن تتفق هذه التعريفات. على سبيل المثال، في الزمكانات الثابتة المسطحة تقاربياً، تتطابق كتلة كومار مع كتلة ADM، بينما في غياب الإشعاع الجاذبي، تتطابق كتلة بوندي أيضاً مع كتلة ADM.

على الرغم من أن هذه المفاهيم للكتلة محددة جيدًا في وجود التناظرات أو الشروط التقاربية المناسبة، إلا أنها لا تُحدد كتلة لمنطقة محدودة من الزمكان. هذا القيد يحفز البحث عن مفاهيم شبه محلية للكتلة، والتي سنناقشها في القسم التالي.

الكميات شبه المحلية

من عيوب تعريفات الكتلة المذكورة أعلاه أنها تُعرَّف فقط عند نقطة الصفر أو اللانهاية المكانية، وبالتالي تتطلب معلومات عن هندسة الزمكان بعيدةً عن النظام المتأثر بالجاذبية. في الواقع، غالبًا ما تكون هذه المعلومات الشاملة غير متاحة، مما يجعل تفسير أو قياس مفاهيم الكتلة هذه صعبًا دون الوصول إلى النظام بأكمله أو جزء كبير منه. وقد حفّز هذا البحث عن مفاهيم للكتلة يمكن ربطها بمنطقة محدودة من الزمكان.

منذ سبعينيات القرن الماضي، سعى الفيزيائيون والرياضيون إلى تحقيق هدف أكثر طموحًا يتمثل في تعريف كميات شبه محلية مناسبة . تهدف الكتلة شبه المحلية إلى قياس الكتلة أو الطاقة الموجودة داخل منطقة محصورة بسطح مغلق، باستخدام البيانات الهندسية والفيزيائية المحددة على هذا السطح أو داخله فقط. ويعكس مصطلح "شبه محلي" حقيقة أنه على الرغم من أن هذه الكميات تعتمد على منطقة محدودة بدلًا من اللانهاية، إلا أنها لا يمكن أن تكون محلية تمامًا، لأن النسبية العامة لا تسمح بكثافة طاقة محلية محددة جيدًا لحقل الجاذبية.

طُرحت مجموعة واسعة من تعريفات الكتلة والطاقة شبه المحلية، بما في ذلك طاقة هوكينغ ، وطاقة جيروش ، وكتلة بارتنيك، وكتلة براون-يورك، وكتلة ليو-ياو، بالإضافة إلى تركيبات الطاقة-الزخم شبه المحلية التي وضعها روجر بنروز استنادًا إلى طرق التويستر . ولا يزال البحث عن تعريف مُرضٍ تمامًا للكتلة شبه المحلية مسألة مفتوحة، ولا يوجد تعريف واحد مقبول عالميًا. وتُركز التعريفات المختلفة على خصائص رياضية وفيزيائية متباينة، وتُناسب تطبيقات مختلفة.

على الرغم من هذه الاختلافات، يُتوقع عمومًا أن تستوفي الكتلة شبه المحلية ذات الدلالة الفيزيائية متطلبات أساسية معينة. تشمل هذه المتطلبات عادةً عدم السلبية في ظل ظروف طاقة مناسبة، والتوافق مع المفاهيم القياسية للكتلة الكلية عند اللانهاية، وخصائص صلابة ملائمة. على وجه الخصوص، عند تقييمها على سلسلة من الأسطح التي تقترب من اللانهاية المكانية أو اللانهاية الصفرية، يجب أن تتقارب الكتلة شبه المحلية مع كتلة ADM أو كتلة بوندي ، على التوالي. علاوة على ذلك، إذا انعدمت الكتلة شبه المحلية على سطح ما، فمن المتوقع أن تكون المنطقة المحصورة بهذا السطح مسطحة، بمعنى أنها متساوية القياس مع جزء من فضاء مينكوفسكي . تلعب الكميات شبه المحلية دورًا مهمًا في النسبية الرياضية، وهي أساسية لمسائل مثل صياغة حدسية الحلقة ، وإثبات متباينة بنروز ، وتطوير صيغ شبه محلية لقوانين ميكانيكا الثقوب السوداء. [ 3 ]

تاريخ

في عام 1918، كتب ديفيد هيلبرت في رسالة إلى فيليكس كلاين عن صعوبة تحديد طاقة "الحقل" و"فشل نظرية الطاقة" . وافترض هيلبرت في هذه الرسالة أن هذا الفشل سمة مميزة للنظرية العامة، وأنه بدلاً من "نظريات الطاقة الصحيحة" توجد "نظريات طاقة غير صحيحة".

سرعان ما أثبتت إيمي نوثر ، إحدى المقربات من هيلبرت، صحة هذا التخمين . تنطبق نظرية نوثر على أي نظام يمكن وصفه بمبدأ الفعل . تربط نظرية نوثر الطاقات المحفوظة بتناظرات الإزاحة الزمنية. عندما يكون تناظر الإزاحة الزمنية عبارة عن زمرة متصلة ذات معلمات محدودة ، مثل زمرة بوانكاريه ، فإن نظرية نوثر تُعرّف طاقة قياسية محفوظة للنظام المعني. مع ذلك، عندما يكون التناظر عبارة عن زمرة متصلة ذات معلمات غير محدودة، فإن وجود طاقة محفوظة ليس مضمونًا. وبالمثل، تربط نظرية نوثر الزخم المحفوظ بالإزاحات المكانية، عندما تكون زمرة تناظر الإزاحات ذات أبعاد محدودة. لأن النسبية العامة نظرية ثابتة تحت التحويلات التفاضلية ، فإنها تمتلك مجموعة تناظرات متصلة لانهائية بدلاً من مجموعة تناظرات ذات معلمات محدودة، وبالتالي فإن بنية المجموعة غير مناسبة لضمان حفظ الطاقة. وقد كان لنظرية نوثر تأثير كبير في إلهام وتوحيد مختلف الأفكار المتعلقة بالكتلة وطاقة النظام وزخم النظام في النسبية العامة.

من الأمثلة على تطبيق نظرية نوثر، الزمكانات الثابتة وكتلة كومار المرتبطة بها (كومار، 1959). فبينما تفتقر الزمكانات العامة إلى تناظر إزاحة زمنية ذي معلمات محدودة، تتمتع الزمكانات الثابتة بهذا التناظر، المعروف باسم متجه كيلينغ . وتثبت نظرية نوثر أن هذه الزمكانات الثابتة لا بد أن تمتلك طاقة محفوظة. وتُعرّف هذه الطاقة المحفوظة كتلة محفوظة، هي كتلة كومار.

تم تقديم مفهوم كتلة ADM (أرنويت وآخرون، 1960) انطلاقًا من صياغة القيمة الابتدائية للنسبية العامة. ثم أعيدت صياغتها لاحقًا بدلالة مجموعة التناظرات التقاربية عند اللانهاية المكانية، أي مجموعة SPI، من قِبل العديد من الباحثين (هيلد، 1980). وقد أسهمت هذه الصياغة الجديدة بشكل كبير في توضيح النظرية، بما في ذلك تفسير سبب تحول زخم ADM وطاقته كمتجه رباعي الأبعاد (هيلد، 1980). تجدر الإشارة إلى أن مجموعة SPI هي في الواقع لانهائية الأبعاد. ويعود وجود الكميات المحفوظة إلى أن مجموعة SPI من "الإزاحات الفائقة" تمتلك مجموعة فرعية مفضلة ذات أربعة معلمات من الإزاحات "الخالصة"، والتي، وفقًا لنظرية نوثر، تُولّد زخمًا-طاقة محفوظًا رباعي المعلمات. ومعيار هذا الزخم-الطاقة رباعي المعلمات هو كتلة ADM.

تم تقديم مفهوم كتلة بوندي (بوندي، 1962) في ورقة بحثية تناولت فقدان كتلة الأنظمة الفيزيائية عبر الإشعاع الجاذبي. وترتبط كتلة بوندي أيضًا بمجموعة من التناظرات التقاربية، وهي مجموعة BMS عند اللانهاية الصفرية. ومثل مجموعة SPI عند اللانهاية المكانية، فإن مجموعة BMS عند اللانهاية الصفرية لا نهائية الأبعاد، ولها أيضًا مجموعة فرعية مفضلة ذات أربعة معلمات من الإزاحات "الخالصة".

يُعدّ استخدام الموترات الزائفة ، مثل موتر لاندو-ليفشيتز الزائف (لاندو وليفشيتز، 1962)، نهجًا آخر لحلّ مشكلة الطاقة في النسبية العامة. لا تُعتبر الموترات الزائفة ثابتةً بالنسبة للمقياس ، ولذلك، لا تُعطي إجابات متسقة ومستقلة عن المقياس للطاقة الكلية إلا عند استيفاء قيود إضافية (مثل التسطح التقاربي). كما أن اعتماد الموترات الزائفة على المقياس يمنع أي تعريف مستقل عن المقياس لكثافة الطاقة المحلية، إذ ينتج عن كل اختيار مختلف للمقياس كثافة طاقة محلية مختلفة. 

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 ميسنر، تشارلز دبليو؛ ثورن، كيب إس؛ ويلر، جون إيه (1973). الجاذبية . نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 0-7167-0334-3.
  2. ↑ انظر: ميسنر، ثورن وويلر 1973 ، §20.4
  3. ↑ انظر المقال الاستعراضي Szabados 2004 .

مراجع