تكامل السطح

في الرياضيات ، وخاصةً في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، يُعد التكامل السطحي تعميمًا للتكاملات المتعددة ليشمل التكامل على الأسطح . ويمكن اعتباره نظيرًا للتكامل الخطي في التكامل الثنائي . عند إعطاء سطح ما، يمكن إجراء التكامل عليه لحقل قياسي (أي دالة للموضع تُرجع قيمة قياسية )، أو لحقل متجه (أي دالة تُرجع قيمة متجهة ). إذا لم تكن المنطقة R مستوية، فإنها تُسمى سطحًا كما هو موضح في الرسم التوضيحي.

تُستخدم التكاملات السطحية في الفيزياء ، وخاصة في النظريات الكلاسيكية للكهرومغناطيسية وميكانيكا الموائع .

لنفترض أن f حقل قياسي أو متجهي أو موتر معرف على سطح S. لإيجاد صيغة صريحة للتكامل السطحي لـ f على S ، نحتاج إلى تحديد معلمات S بتعريف نظام إحداثيات منحنية على S ، مثل خطوط الطول والعرض على الكرة . ولتكن هذه المعلمات r ( s , t ) ، حيث تتغير ( s , t ) في منطقة T في المستوى . عندئذٍ، يُعطى التكامل السطحي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

حيث يمثل التعبير بين خطين على الجانب الأيمن مقدار الضرب الاتجاهي للمشتقات الجزئية لـ r ( s , t ) ، ويُعرف باسم عنصر السطح (والذي، على سبيل المثال، يُعطي قيمة أصغر بالقرب من قطبي الكرة، حيث تتقارب خطوط الطول بشكل أكبر، وتكون إحداثيات خطوط العرض أكثر تقاربًا). ويمكن أيضًا التعبير عن التكامل السطحي بالشكل المكافئ.

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

حيث g هو محدد الشكل الأساسي الأول لتطبيق السطح r ( s , t ) . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد مساحة سطح الرسم البياني لدالة قياسية ما، ولتكن z = f ( x , y ) ، فإننا نحصل على

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

حيث r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . وبالتالي${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$، و${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$. لذا،

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

وهي الصيغة القياسية لحساب مساحة سطح موصوف بهذه الطريقة. ويمكن تمييز المتجه في السطر قبل الأخير أعلاه باعتباره المتجه العمودي على السطح.

بسبب وجود الضرب الاتجاهي، فإن الصيغ المذكورة أعلاه تعمل فقط للأسطح المضمنة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يمكن اعتبار هذا بمثابة دمج شكل حجم ريماني على السطح ذي المعلمات، حيث يتم إعطاء موتر القياس بواسطة الشكل الأساسي الأول للسطح.

سطح منحني${\displaystyle S}$مع حقل متجه${\displaystyle \mathbf {F} }$يمر عبره. تمثل الأسهم الحمراء (المتجهات) مقدار واتجاه المجال عند نقاط مختلفة على السطح

السطح مقسم إلى رقع صغيرة${\displaystyle dS=du\,dv}$عن طريق تحديد معلمات السطح${\displaystyle [u(\mathbf {x} ),v(\mathbf {x} )]}$

يكون التدفق عبر كل رقعة مساوياً للمكون العمودي (المتعامد) للمجال${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$في موقع الرقعة${\displaystyle \mathbf {x} }$مضروبًا في المساحة${\displaystyle dS}$المكون الطبيعي يساوي حاصل الضرب القياسي لـ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$مع متجه الوحدة العمودي${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$(أسهم زرقاء)

يتم حساب التدفق الكلي عبر السطح عن طريق جمع${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$لكل رقعة. في حالة صغر الرقعات إلى حد متناهي الصغر، يكون هذا هو التكامل السطحي${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F\cdot n} \;dS}$

لنفترض وجود حقل متجه v على سطح S ، أي لكل r = ( x , y , z ) في S ، فإن v ( r ) هو متجه.

تم تعريف تكامل v على S في القسم السابق. لنفترض الآن أننا نريد حساب تكامل المركبة العمودية فقط لحقل المتجهات على السطح، والنتيجة كمية قياسية تُسمى عادةً التدفق المار عبر السطح. على سبيل المثال، تخيل أن لدينا سائلاً يتدفق عبر S ، بحيث تحدد v ( r ) سرعة السائل عند r . يُعرَّف التدفق بأنه كمية السائل المتدفق عبر S في وحدة الزمن.

يوضح هذا الرسم التوضيحي أنه إذا كان حقل المتجهات مماسًا للسطح S عند كل نقطة، فإن التدفق يساوي صفرًا، لأن المائع على السطح S يتدفق فقط على طول السطح ، لا للداخل ولا للخارج. وهذا يعني أيضًا أنه إذا لم يكن تدفق v على طول السطح فقط ، أي إذا كان لـ v مركبة مماسية ومركبة عمودية، فإن المركبة العمودية فقط هي التي تُساهم في التدفق. بناءً على هذا المنطق، لإيجاد التدفق، نحتاج إلى حساب الجداء الداخلي لـ v مع متجه الوحدة العمودي على السطح n عند كل نقطة، مما يُعطينا حقلًا قياسيًا، ثم نُكامل هذا الحقل كما سبق. بعبارة أخرى، علينا تكامل v بالنسبة لعنصر متجه السطح.${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}$، وهو المتجه العمودي على S عند النقطة المعطاة، ومقداره هو${\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}$

نجد الصيغة

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

إن الضرب الاتجاهي على الجانب الأيمن من التعبير الأخير هو متجه عمودي على السطح (ليس بالضرورة أحاديًا) يتم تحديده بواسطة المعلمة.

تحدد هذه الصيغة التكامل على اليسار (لاحظ النقطة ورمز المتجه لعنصر السطح).

يمكننا أيضًا تفسير هذا على أنه حالة خاصة من تكامل الأشكال الثنائية، حيث نُعرّف حقل المتجهات بالشكل الأحادي، ثم نُكامل ثنائي هودج الخاص به على السطح. وهذا يُكافئ تكامل${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$فوق السطح المغمور، حيث${\displaystyle \mathrm {d} S}$هو شكل الحجم المستحث على السطح، والذي تم الحصول عليه عن طريق الضرب الداخلي للمقياس الريماني للفضاء المحيط مع العمودي الخارجي للسطح.

يترك

${\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}}$

ليكن شكلاً تفاضلياً من الدرجة الثانية معرفاً على سطح S ، وليكن

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$

ليكن تمثيلاً بارامترياً يحافظ على التوجيه لـ S مع${\displaystyle (s,t)}$في D. تغيير الإحداثيات من${\displaystyle (x,y)}$ل${\displaystyle (s,t)}$تتحول الأشكال التفاضلية كما

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

لذا${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$يتحول إلى${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t}$، أين${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$يشير إلى محدد جاكوبيان دالة الانتقال من${\displaystyle (s,t)}$ل${\displaystyle (x,y)}$أما تحويل الأشكال الأخرى فهو مماثل.

ثم، يُعطى التكامل السطحي للدالة f على S بالصيغة التالية:

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

أين

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

هو عنصر السطح العمودي على S.

تجدر الإشارة إلى أن التكامل السطحي لهذا الشكل الثنائي هو نفسه التكامل السطحي لحقل المتجهات الذي له مركبات${\displaystyle f_{x}}$،${\displaystyle f_{y}}$و${\displaystyle f_{z}}$.

يمكن اشتقاق نتائج مفيدة متنوعة للتكاملات السطحية باستخدام الهندسة التفاضلية وحساب المتجهات ، مثل نظرية التباعد ، والتدفق المغناطيسي ، وتعميمها، نظرية ستوكس .

لنلاحظ أننا عرّفنا التكامل السطحي باستخدام تمثيل وسيطي للسطح S. نعلم أن السطح الواحد قد يمتلك عدة تمثيلات وسيطية. على سبيل المثال، إذا غيّرنا موقعي القطب الشمالي والقطب الجنوبي على سطح كرة، فإن خطوط الطول والعرض تتغير لجميع النقاط على سطح الكرة. والسؤال الذي يطرح نفسه هو: هل يعتمد تعريف التكامل السطحي على التمثيل الوسيطي المُختار؟ بالنسبة لتكاملات الحقول العددية، فإن الإجابة على هذا السؤال بسيطة؛ ستكون قيمة التكامل السطحي ثابتة بغض النظر عن التمثيل الوسيطي المُستخدم.

في حالة تكاملات الحقول المتجهة، يصبح الأمر أكثر تعقيدًا نظرًا لوجود متجه عمودي على السطح. يمكن إثبات أنه عند وجود تمثيلين بارامتريين لنفس السطح، حيث يشير متجهاهما العموديان إلى الاتجاه نفسه، نحصل على القيمة نفسها للتكامل السطحي باستخدام كلا التمثيلين. أما إذا كان متجها هذين التمثيلين يشيران إلى اتجاهين متعاكسين، فإن قيمة التكامل السطحي المحسوبة باستخدام أحد التمثيلين تكون سالبة القيمة المحسوبة باستخدام التمثيل الآخر. وبالتالي، عند وجود سطح، لا نحتاج إلى التقيد بتمثيل بارامتري واحد، ولكن عند تكامل الحقول المتجهة، يجب علينا تحديد اتجاه المتجه العمودي مسبقًا، ثم اختيار أي تمثيل بارامتري يتوافق مع هذا الاتجاه.

تتمثل إحدى المشكلات الأخرى في أن الأسطح لا تحتوي أحيانًا على معلمات تغطي السطح بأكمله. والحل الواضح حينها هو تقسيم السطح إلى عدة أجزاء، وحساب التكامل السطحي على كل جزء، ثم جمعها. هذه هي الطريقة المتبعة بالفعل، ولكن عند تكامل الحقول المتجهة، يجب توخي الحذر عند اختيار متجه الاتجاه العمودي لكل جزء من السطح، بحيث تكون النتائج متسقة عند إعادة تجميع الأجزاء. بالنسبة للأسطوانة، يعني هذا أنه إذا قررنا أن يكون الاتجاه العمودي للمنطقة الجانبية خارج الجسم، فيجب أن يكون الاتجاه العمودي للأجزاء الدائرية العلوية والسفلية خارج الجسم أيضًا.

أخيرًا، توجد أسطح لا تسمح بوجود متجه عمودي عند كل نقطة بنتائج متسقة (مثل شريط موبيوس ). إذا قُسِّم هذا السطح إلى أجزاء، واختيرت لكل جزء معلمات ومتجه عمودي مناسب، ثم أُعيد تجميع الأجزاء، فسنجد أن المتجهات العمودية القادمة من الأجزاء المختلفة لا يمكن التوفيق بينها. هذا يعني أنه عند نقطة التقاء بين جزأين، ستكون لدينا متجهات عمودية تشير إلى اتجاهين متعاكسين. يُسمى هذا النوع من الأسطح "غير قابل للتوجيه" ، ولا يمكن الحديث عن تكامل حقول المتجهات عليه.

• عنصر المساحة
• نظرية التباعد
• نظرية ستوكس
• التكامل الخطي
• عنصر الخط
• عنصر الحجم
• تكامل الحجم
• نظام الإحداثيات الديكارتية
• عناصر الحجم ومساحة السطح في أنظمة الإحداثيات الكروية
• عناصر الحجم ومساحة السطح في أنظمة الإحداثيات الأسطوانية
• طريقة هولشتاين-هيرينغ

• وايسشتاين، إريك دبليو. "التكامل السطحي" . عالم الرياضيات .