نظرية كرامرز

بحسب تعريف العامل المضاد للوحدة،${\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }$، أين${\textstyle u}$و${\textstyle w}$هي متجهات في${\textstyle {\mathcal {H}}}$استبدال${\textstyle u=Tv}$و${\textstyle w=v}$واستخدام ذلك${\textstyle T^{2}=-1}$، نحصل${\textstyle \langle T^{2}v,Tv\rangle =-\langle v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle }$وهذا يعني أن${\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}$.

وبالتالي، إذا كان الهاميلتوني${\textstyle H}$متناظر عكسيًا زمنيًا، أي أنه يتبادل مع${\textstyle T,}$عندئذٍ، ستكون جميع فضاءات الطاقة الذاتية الخاصة بها ذات انحلال زوجي، وذلك عند تطبيق${\textstyle T}$إلى حالة طاقة ذاتية عشوائية${\textstyle |n\rangle }$يعطي حالة طاقة ذاتية أخرى${\textstyle T|n\rangle }$هذا متعامد مع الأول. خاصية التعامد أساسية، لأنها تعني أن الحالتين الذاتيتين${\textstyle |n\rangle }$و${\textstyle T|n\rangle }$تمثل حالات فيزيائية مختلفة. أما إذا كانت، على العكس من ذلك، نفس الحالة الفيزيائية، فإن${\displaystyle T|n\rangle =e^{i\alpha }|n\rangle }$لزاوية${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$، مما يعني

${\displaystyle T^{2}|n\rangle =T(e^{i\alpha }|n\rangle )=e^{-i\alpha }e^{i\alpha }|n\rangle =|n\rangle }$

لإكمال نظرية انحلال كرامرز، نحتاج فقط إلى إثبات أن عامل عكس الزمن${\textstyle T}$عند تطبيق دوران على فضاء هيلبرت ذي عدد صحيح نصف فردي، يتم استيفاء الشروط التالية:${\textstyle T^{2}=-1}$وينتج هذا عن حقيقة أن عامل الدوران${\textstyle \mathbf {S} }$يمثل نوعًا من الزخم الزاوي ، وعلى هذا النحو، ينبغي أن ينعكس اتجاهه تحت تأثير${\displaystyle T}$:

${\displaystyle \mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .}$

بشكل ملموس، المشغل${\textstyle T}$يُكتب الشيء الذي يمتلك هذه الخاصية عادةً على النحو التالي:

${\displaystyle T=e^{-i\pi S_{y}}K}$

أين${\textstyle S_{y}}$هو عامل الدوران في${\textstyle y}$الاتجاه و${\textstyle K}$هي خريطة الاقتران المعقدة في${\textstyle S_{z}}$أساس الدوران. ^{[ 2 ]}

منذ${\textstyle iS_{y}}$يحتوي على مكونات مصفوفة حقيقية في${\displaystyle S_{z}}$الأساس، ثم

${\displaystyle T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.}$

وبالتالي، بالنسبة للدوران ذي العدد الفردي النصفي${\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }$لدينا${\textstyle T^{2}=-1}$هذه هي نفس علامة السالب التي تظهر عند القيام بـ${\displaystyle 2\pi }$الدوران على الأنظمة ذات اللف المغزلي نصف الفردي ، مثل الفرميونات .