تدهور مستويات الطاقة

في ميكانيكا الكم ، يكون مستوى الطاقة متدهورًا إذا كان يتوافق مع حالتين أو أكثر مختلفتين قابلتين للقياس لنظام كمي . وعلى العكس من ذلك، يُقال عن حالتين أو أكثر مختلفتين لنظام ميكانيكي كمي أنهما متدهورتان إذا أعطتا نفس قيمة الطاقة عند القياس. يُعرف عدد الحالات المختلفة المقابلة لمستوى طاقة معين بدرجة الانحطاط (أو ببساطة انحطاط ) المستوى. يتم تمثيله رياضيًا بواسطة هاملتونيان للنظام الذي يحتوي على أكثر من حالة ذاتية مستقلة خطيًا بنفس قيمة الطاقة الذاتية . ^{[1] : 48} عندما تكون هذه هي الحالة، فإن الطاقة وحدها لا تكفي لوصف الحالة التي يكون فيها النظام، وتكون هناك حاجة إلى أرقام كمية أخرى لوصف الحالة الدقيقة عندما يكون التمييز مطلوبًا. في الميكانيكا الكلاسيكية ، يمكن فهم ذلك من حيث المسارات المحتملة المختلفة المقابلة لنفس الطاقة.

يلعب الانحلال دورًا أساسيًا في ميكانيكا الإحصاء الكمومي . بالنسبة لنظام مكون من N جسيم في ثلاثة أبعاد، قد يتوافق مستوى طاقة واحد مع عدة دوال موجية أو حالات طاقة مختلفة. تتمتع جميع هذه الحالات المتحللة عند نفس المستوى باحتمالية متساوية للامتلاء. يعطي عدد هذه الحالات انحلال مستوى طاقة معين.

يمكن التعامل مع الحالات المحتملة لنظام ميكانيكي كمي رياضيًا كمتجهات مجردة في فضاء هيلبرت المعقد القابل للفصل ، بينما يمكن تمثيل العناصر القابلة للملاحظة بواسطة مشغلات هيرميتية خطية تعمل عليها. من خلال اختيار أساس مناسب ، يمكن تحديد مكونات هذه المتجهات وعناصر المصفوفة للمشغلات في هذا الأساس. إذا كانت A عبارة عن مصفوفة N  ×  N ، وX متجه غير صفري ، و λ عددي ، بحيث ، فإن العددي λ يُقال إنه قيمة ذاتية لـ A ويُقال إن المتجه X هو المتجه الذاتي المقابل لـ λ . جنبًا إلى جنب مع المتجه الصفري، تشكل مجموعة جميع المتجهات الذاتية المقابلة لقيمة ذاتية معينة λ فضاءً فرعيًا لـ C ⁿ ، والذي يُسمى الفضاء الذاتي لـ λ . يقال عن القيمة الذاتية λ التي تتوافق مع متجهين ذاتيين مستقلين خطيًا مختلفين أو أكثر أنها متدهورة ، أي، و ، حيث و متجهان ذاتيان مستقلان خطيًا. يُعرف بُعد الفضاء الذاتي المقابل لتلك القيمة الذاتية بدرجة انحطاطها ، والتي يمكن أن تكون محدودة أو غير محدودة. يقال عن القيمة الذاتية أنها غير متدهورة إذا كان فضاءها الذاتي أحادي البعد. ${\displaystyle AX=\lambda X}$${\displaystyle AX_{1}=\lambda X_{1}}$${\displaystyle AX_{2}=\lambda X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

القيم الذاتية للمصفوفات التي تمثل الملاحظات الفيزيائية في ميكانيكا الكم تعطي القيم القابلة للقياس لهذه الملاحظات بينما تعطي الحالات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية الحالات المحتملة التي قد يوجد فيها النظام، عند القياس. تُعطى القيم القابلة للقياس لطاقة نظام كمي من خلال القيم الذاتية لمشغل هاملتونيان، بينما تعطي حالاته الذاتية حالات الطاقة المحتملة للنظام. يقال إن قيمة الطاقة متدهورة إذا كان هناك على الأقل حالتان مستقلتان خطيًا للطاقة مرتبطتان بها. علاوة على ذلك، فإن أي تركيبة خطية من حالتين ذاتيتين متدهورتين أو أكثر هي أيضًا حالة ذاتية لمشغل هاملتونيان تتوافق مع نفس القيمة الذاتية للطاقة. يتبع هذا بوضوح من حقيقة أن الفضاء الذاتي لقيمة الطاقة λ هو فضاء فرعي (كونه نواة هاملتونيان ناقص λ مضروبًا في المتطابقة)، وبالتالي فهو مغلق تحت التركيبات الخطية.

في حالة عدم وجود انحطاط، إذا تم تحديد قيمة مُقاسة لطاقة نظام كمي، يُفترض أن تكون الحالة المقابلة للنظام معروفة، حيث تتوافق حالة ذاتية واحدة فقط مع كل قيمة ذاتية للطاقة. ومع ذلك، إذا كان لدى هاملتونيان قيمة ذاتية متدهورة من الدرجة g _n ، فإن الحالات الذاتية المرتبطة بها تشكل فضاءً فرعيًا متجهًا من البعد g _n . في مثل هذه الحالة، يمكن ربط العديد من الحالات النهائية بنفس النتيجة ، وكلها عبارة عن تركيبات خطية لمتجهات ذاتية متعامدة عمودية g _n . ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle |E_{n,i}\rangle }$

في هذه الحالة، فإن احتمال أن تعطي قيمة الطاقة المقاسة لنظام في الحالة القيمة يتم تحديده من خلال مجموع احتمالات العثور على النظام في كل حالة من الحالات على هذا الأساس، أي، ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle E_{n}}$$${\displaystyle P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}}$$

يهدف هذا القسم إلى توضيح وجود مستويات الطاقة المتدهورة في الأنظمة الكمومية التي تمت دراستها في أبعاد مختلفة. تساعد دراسة الأنظمة أحادية وثنائية الأبعاد في الفهم المفاهيمي للأنظمة الأكثر تعقيدًا.

في العديد من الحالات، يمكن الحصول على نتائج تحليلية بسهولة أكبر في دراسة الأنظمة أحادية البعد. بالنسبة لجسيم كمي ذي دالة موجية يتحرك في جهد أحادي البعد ، يمكن كتابة معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن على النحو التالي: نظرًا لأن هذه معادلة تفاضلية عادية، فهناك دالتان ذاتيتان مستقلتان لطاقة معينة على الأكثر، بحيث لا تتجاوز درجة الانحطاط اثنين أبدًا. يمكن إثبات أنه في بُعد واحد، لا توجد حالات مرتبطة متدهورة لدوال الموجة القابلة للتطبيع . الشرط الكافي لجهد متصل متقطع والطاقة هو وجود عددين حقيقيين بحيث يكون لدينا . ^[3] على وجه الخصوص، يحدها أدناه في هذا المعيار. ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle V(x)}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M,x_{0}}$${\displaystyle M\neq 0}$${\displaystyle \forall x>x_{0}}$${\displaystyle V(x)-E\geq M^{2}}$${\displaystyle V}$

إثبات النظرية أعلاه.

بالنظر إلى نظام كمي أحادي البعد في إمكانات ذات حالات متدهورة تتوافق مع نفس القيمة الذاتية للطاقة ، نكتب معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن للنظام: ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle E}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}+V\psi _{1}&=E\psi _{1}\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}+V\psi _{2}&=E\psi _{2}\end{aligned}}}$$ بضرب المعادلة الأولى في والثانية في وطرح إحداهما من الأخرى، نحصل على: تكامل كلا الطرفين في حالة الدوال الموجية المحددة جيدًا والقابلة للتطبيع، يتلاشى الثابت أعلاه، بشرط أن تختفي كلتا الدالتين الموجيتين عند نقطة واحدة على الأقل، ونجد: حيث هو، بشكل عام، ثابت مركب. بالنسبة للدوال الذاتية للحالة المقيدة (التي تميل إلى الصفر مثل )، وبافتراض وتلبية الشرط المذكور أعلاه، يمكن إظهار [3] أن المشتق الأول للدالة الموجية يقترب أيضًا من الصفر في الحد ، بحيث يكون الثابت أعلاه صفرًا وليس لدينا أي انحطاط. ${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{1}}$$${\displaystyle \psi _{1}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}-\psi _{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{1}=0}$$$${\displaystyle \psi _{1}{\frac {d\psi _{2}}{dx}}-\psi _{2}{\frac {d\psi _{1}}{dx}}={\mbox{constant}}}$$$${\displaystyle \psi _{1}(x)=c\psi _{2}(x)}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\to \infty }$

توجد أنظمة كمية ثنائية الأبعاد في جميع الحالات الثلاث للمادة ويمكن إنشاء الكثير من التنوع الذي نراه في المادة ثلاثية الأبعاد في بعدين. تتكون المواد ثنائية الأبعاد الحقيقية من طبقات أحادية الذرة على سطح المواد الصلبة. تشمل بعض الأمثلة على أنظمة الإلكترون ثنائية الأبعاد التي تم تحقيقها تجريبياً MOSFET والشبكات الفائقة ثنائية الأبعاد للهيليوم والنيون والأرجون والزينون وما إلى ذلك وسطح الهيليوم السائل . تتم دراسة وجود مستويات الطاقة المتدهورة في حالات الجسيم في صندوق والمذبذب التوافقي ثنائي الأبعاد ، والتي تعمل كنماذج رياضية مفيدة للعديد من أنظمة العالم الحقيقي.

لنفترض وجود جسيم حر في مستوى أبعاد وفي مستوى جدران غير قابلة للاختراق. يمكن كتابة معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن لهذا النظام ذي الدالة الموجية على النحو التالي: قيم الطاقة المسموح بها هي: الدالة الموجية الطبيعية هي : حيث${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{y}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi }$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}$$${\displaystyle n_{x},n_{y}=1,2,3,\dots }$

لذا، فإن الأرقام الكمومية و مطلوبة لوصف القيم الذاتية للطاقة وأقل طاقة للنظام يتم إعطاؤها بواسطة ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$$${\displaystyle E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)}$$

بالنسبة لبعض النسب المتناسبة بين الطولين و ، تكون أزواج معينة من الحالات متدهورة. إذا ، حيث p وq عددان صحيحان، فإن الحالات و لهما نفس الطاقة وبالتالي تكون متدهورة بالنسبة لبعضها البعض. ${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{y}}$${\displaystyle L_{x}/L_{y}=p/q}$${\displaystyle (n_{x},n_{y})}$${\displaystyle (pn_{y}/q,qn_{x}/p)}$

في هذه الحالة، يتم تحديد أبعاد الصندوق وقيم الطاقة الذاتية بواسطة ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L}$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$$

نظرًا لأنه يمكن تبديل و دون تغيير الطاقة، فإن كل مستوى طاقة له انحطاط لا يقل عن اثنين عندما تكون و مختلفة. يتم الحصول على الحالات المتدهورة أيضًا عندما يكون مجموع مربعات الأرقام الكمومية المقابلة لمستويات الطاقة المختلفة هو نفسه. على سبيل المثال، الحالات الثلاث (n _x = 7، n _y = 1)، (n _x = 1، n _y = 7) و (n _x = n _y = 5) جميعها لها و تشكل مجموعة متدهورة. ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}}$

درجات انحطاط مستويات الطاقة المختلفة لجسيم في صندوق مربع:

${\displaystyle n_{x}}$	${\displaystyle n_{y}}$	${\displaystyle E\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\right)}$	الانحطاط
1	1	2	1
2 1	1 2	5 5	2
2	2	8	1
3 1	1 3	10 10	2
3 2	2 3	13 13	2
4 1	1 4	17 17	2
3	3	18	1
...	...	...	...
7 5 1	1 5 7	50 50 50	3
...	...	...	...
8 7 4 1	1 4 7 8	65 65 65 65	4
...	...	...	...
9 7 6 2	2 6 7 9	85 85 85 85	4
...	...	...	...
11 10 5 2	2 5 10 11	125 125 125 125	4
...	...	...	...
14 10 2	2 10 14	200 200 200	3
...	...	...	...
17 13 7	7 13 17	338 338 338	3

في هذه الحالة، تعتمد أبعاد الصندوق والقيم الذاتية للطاقة على ثلاثة أرقام كمية. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=L}$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}$$

نظرًا لأن و يمكن تبادلهما دون تغيير الطاقة، فإن كل مستوى طاقة لديه انحطاط لا يقل عن ثلاثة عندما لا تكون الأرقام الكمومية الثلاثة متساوية. ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$

إذا كان عاملان و يتبادلان، أي ، فإن لكل متجه ذاتي لـ ، يكون أيضًا متجه ذاتي لـ بنفس القيمة الذاتية. ومع ذلك، إذا كانت هذه القيمة الذاتية، على سبيل المثال ، متدهورة، فيمكن القول إنها تنتمي إلى الفضاء الذاتي لـ ، والذي يقال إنه ثابت عالميًا تحت تأثير . ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$${\displaystyle E_{\lambda }}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

بالنسبة لملاحظتين متبادلتين A و B ، يمكن للمرء إنشاء أساس متعامد عمودي لمساحة الحالة مع متجهات ذاتية مشتركة بين المشغلين. ومع ذلك، إذا كانت قيمة ذاتية متدهورة لـ ، فإنها تكون فضاء ذاتي فرعي لـ ثابت تحت تأثير ، لذا فإن تمثيل في الأساس الذاتي لـ ليس مصفوفة قطرية بل مصفوفة قطرية كتلة ، أي أن المتجهات الذاتية المتدهورة لـ ليست، بشكل عام، متجهات ذاتية لـ . ومع ذلك، من الممكن دائمًا اختيار أساس للمتجهات الذاتية المشتركة بين و في كل فضاء ذاتي فرعي متدهور لـ. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

إذا كانت قيمة ملاحظة معينة A غير متدهورة، فهناك أساس فريد يتكون من متجهاتها الذاتية. من ناحية أخرى، إذا كانت قيمة أو أكثر من القيم الذاتية لـ متدهورة، فإن تحديد قيمة ذاتية لا يكفي لوصف متجه الأساس. إذا كان من الممكن، عن طريق اختيار قيمة ملاحظة ، والتي تتبادل مع ، إنشاء أساس متعامد عمودي من المتجهات الذاتية المشتركة مع و ، والتي تكون فريدة من نوعها، لكل من الأزواج المحتملة من القيم الذاتية {a,b}، فإن و يُقال أنهما يشكلان مجموعة كاملة من الملاحظات المتبادلة . ومع ذلك، إذا كان لا يزال من غير الممكن تحديد مجموعة فريدة من المتجهات الذاتية، على الأقل لأحد أزواج القيم الذاتية، فيمكن إيجاد قيمة ملاحظة ثالثة ، والتي تتبادل مع كليهما و بحيث تشكل الثلاثة مجموعة كاملة من الملاحظات المتبادلة.${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

ويترتب على ذلك أن الدوال الذاتية للهاميلتوني لنظام كمي له قيمة طاقة مشتركة يجب أن يتم تصنيفها من خلال إعطاء بعض المعلومات الإضافية، وهو ما يمكن القيام به من خلال اختيار عامل يتنقل مع الهاميلتوني. تتطلب هذه التسميات الإضافية تسمية دالة ذاتية فريدة للطاقة وعادة ما تكون مرتبطة بثوابت حركة النظام.

يتم تعريف عامل التكافؤ من خلال فعله في تمثيل تغيير r إلى −r، أي يمكن إظهار أن القيم الذاتية لـ P تقتصر على ، وكلاهما قيم ذاتية متدهورة في فضاء حالة لا نهائي الأبعاد. يقال إن متجه ذاتي لـ P بقيمة ذاتية +1 هو زوجي، بينما يقال إن المتجه ذات القيمة الذاتية −1 هو فردي. ${\displaystyle |r\rangle }$$${\displaystyle \langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)}$$${\displaystyle \pm 1}$

الآن، المؤثر الزوجي هو الذي يفي بالشرط، بينما المؤثر الفردي هو الذي يفي بالشرط. ونظرًا لأن مربع مؤثر الزخم زوجي، فإذا كانت الإمكانات V(r) زوجية، يُقال إن المؤثر الهاميلتوني هو مؤثر زوجي. وفي هذه الحالة، إذا كانت كل من قيمه الذاتية غير متدهورة، فإن كل متجه ذاتي هو بالضرورة حالة ذاتية لـ P، وبالتالي من الممكن البحث عن الحالات الذاتية لـ بين الحالات الزوجية والفردية. ومع ذلك، إذا لم يكن لإحدى حالات الطاقة الذاتية تكافؤ محدد ، فيمكن التأكيد على أن القيمة الذاتية المقابلة متدهورة، وهي متجه ذاتي لـ بنفس القيمة الذاتية لـ . ${\displaystyle {\hat {A}}}$$${\displaystyle {\tilde {A}}=P{\hat {A}}P}$$ $${\displaystyle [P,{\hat {A}}]=0}$$${\displaystyle {\hat {B}}}$$${\displaystyle P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0}$$${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle P|\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

غالبًا ما يكون الأصل الفيزيائي للانحلال في نظام ميكانيكي كمي هو وجود قدر من التناظر في النظام. إن دراسة تناظر نظام كمي قد تمكننا في بعض الحالات من العثور على مستويات الطاقة والانحلال دون حل معادلة شرودنجر، وبالتالي تقليل الجهد المبذول.

رياضيًا، يمكن توضيح علاقة الانحطاط بالتناظر على النحو التالي. ضع في اعتبارك عملية تناظر مرتبطة بعامل وحدوي S. بموجب هذه العملية، يرتبط الهاميلتوني الجديد بالهاميلتوني الأصلي من خلال تحويل التشابه الناتج عن العامل S ، بحيث ، بما أن S وحدوي. إذا ظل الهاميلتوني دون تغيير بموجب عملية التحويل S ، فلدينا الآن، إذا كانت حالة ذاتية للطاقة، حيث E هي القيمة الذاتية المقابلة للطاقة. مما يعني أن هي أيضًا حالة ذاتية للطاقة بنفس القيمة الذاتية E. إذا كانت الحالتان و مستقلتان خطيًا (أي متميزتان فيزيائيًا)، فهما بالتالي متدهورتان. ${\displaystyle H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}SHS^{\dagger }&=H\\[1ex]SHS^{-1}&=H\\[1ex]SH&=HS\\[1ex][S,H]&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle |\alpha \rangle }$$${\displaystyle H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle }$$$${\displaystyle HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle }$$${\displaystyle S|\alpha \rangle }$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle S|\alpha \rangle }$

في الحالات التي يتميز فيها S بمعامل مستمر ، فإن جميع حالات النموذج لها نفس القيمة الذاتية للطاقة. ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle S(\epsilon )|\alpha \rangle }$

يُقال إن مجموعة جميع العوامل التي تتبادل مع هاملتونيان لنظام كمي تشكل مجموعة التناظر الخاصة بهاملتونيان. تحدد محولات مولدات هذه المجموعة جبر المجموعة. يحافظ التمثيل ذو الأبعاد n لمجموعة التناظر على جدول الضرب لعوامل التناظر. تُعطى الانحطاطات المحتملة للهاملتونيان مع مجموعة تناظر معينة من خلال أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعة. تشكل الدوال الذاتية المقابلة لقيمة ذاتية متدهورة ذات n أضعاف أساسًا لتمثيل غير قابل للاختزال ذو الأبعاد n لمجموعة التناظر الخاصة بهاملتونيان.

يمكن أن تكون الانحطاطات في النظام الكمومي منهجية أو عرضية بطبيعتها.

يُطلق على هذا أيضًا اسم الانحطاط الهندسي أو الطبيعي وينشأ بسبب وجود نوع من التناظر في النظام قيد الدراسة، أي ثبات الهاميلتوني تحت عملية معينة، كما هو موضح أعلاه. التمثيل الناتج عن الانحطاط الطبيعي غير قابل للاختزال وتشكل الدوال الذاتية المقابلة أساسًا لهذا التمثيل.

إنه نوع من الانحطاط الناتج عن بعض السمات الخاصة للنظام أو الشكل الوظيفي للإمكانات قيد النظر، وربما يرتبط بتناظر ديناميكي مخفي في النظام. ^[4] كما أنه يؤدي إلى كميات محفوظة، والتي غالبًا ما يصعب تحديدها. تؤدي التناظرات العرضية إلى هذه الانحطاطات الإضافية في طيف الطاقة المنفصلة. يمكن أن يكون الانحطاط العرضي بسبب حقيقة أن مجموعة هاملتونيان ليست كاملة. ترتبط هذه الانحطاطات بوجود مدارات مقيدة في الفيزياء الكلاسيكية.

بالنسبة لجسيم في جهد مركزي 1/ r ، فإن متجه لابلاس-رونج-لينز هو كمية محفوظة ناتجة عن انحطاط عرضي، بالإضافة إلى الحفاظ على الزخم الزاوي بسبب الثبات الدوراني.

بالنسبة لجسيم يتحرك على مخروط تحت تأثير جهدين مقدارهما 1/ r و r ² ، متمركزين عند طرف المخروط، فإن الكميات المحفوظة المقابلة للتناظر العرضي ستكون مكونين من مكافئ متجه رونج-لينز، بالإضافة إلى مكون واحد من متجه الزخم الزاوي. تولد هذه الكميات تناظر SU(2) لكلا الجهدين.

إن الجسيم المتحرك تحت تأثير مجال مغناطيسي ثابت، والذي يخضع لحركة سيكلوترونية على مدار دائري، هو مثال مهم آخر للتناظر العرضي. إن مضاعفات التناظر في هذه الحالة هي مستويات لاندو التي تتدهور إلى ما لا نهاية.

في الفيزياء الذرية ، تُظهر لنا الحالات المقيدة للإلكترون في ذرة الهيدروجين أمثلة مفيدة للانحلال. في هذه الحالة، يتنقل هاميلتونيان مع الزخم الزاوي المداري الكلي ، ومكونه على طول اتجاه z، وزخم الدوران الزاوي الكلي ومكونه z . الأرقام الكمومية المقابلة لهذه العوامل هي ،، (دائمًا 1/2 للإلكترون) و على التوالي. ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle m_{s}}$

تعتمد مستويات الطاقة في ذرة الهيدروجين فقط على العدد الكمي الرئيسي n . بالنسبة لـ n معين ، فإن جميع الحالات المقابلة لها نفس الطاقة وهي متدهورة. وبالمثل بالنسبة للقيم المعطاة لـ n و ℓ ، فإن الحالات مع متدهورة. وبالتالي فإن درجة انحطاط مستوى الطاقة E _n هي والتي تتضاعف إذا تم تضمين انحطاط الدوران. ^{[1] : 267f}${\displaystyle \ell =0,\ldots ,n-1}$${\displaystyle (2\ell +1)}$${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,\ldots ,\ell }$$${\displaystyle \sum _{\ell \mathop {=} 0}^{n-1}(2\ell +1)=n^{2},}$$

الانحطاط فيما يتعلق بـ هو انحطاط أساسي موجود لأي جهد مركزي ، وينشأ عن غياب اتجاه مكاني مفضل. غالبًا ما يوصف الانحطاط فيما يتعلق بـ بأنه انحطاط عرضي، ولكن يمكن تفسيره من حيث التناظرات الخاصة لمعادلة شرودنجر والتي تكون صالحة فقط لذرة الهيدروجين حيث يتم إعطاء الطاقة الكامنة بواسطة قانون كولومب . ^{[1] : 267f}${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$

إنه جسيم بلا دوران وله كتلة m يتحرك في فضاء ثلاثي الأبعاد ، ويخضع لقوة مركزية تكون قيمتها المطلقة متناسبة مع مسافة الجسيم من مركز القوة. ويقال إنه متساوي الخواص لأن الجهد المؤثر عليه لا يتغير دورانيًا، أي حيث يكون التردد الزاوي معطى بواسطة . $${\displaystyle F=-kr}$$${\displaystyle V(r)}$$${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}}$$${\displaystyle \omega }$${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$

نظرًا لأن مساحة الحالة لمثل هذا الجسيم هي حاصل ضرب موتر مساحات الحالة المرتبطة بوظائف الموجة أحادية البعد الفردية، فإن معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن لمثل هذا النظام تُعطى بواسطة - $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\psi }=E\psi }$$

لذا، فإن القيم الذاتية للطاقة هي أو، حيث n عدد صحيح غير سالب. لذا، فإن مستويات الطاقة متدهورة ودرجة الانحطاط تساوي عدد المجموعات المختلفة التي تلبي انحطاط الحالة - من خلال النظر في توزيع الكميات عبر و . وجود 0 في يعطي إمكانيات للتوزيع عبر و . وجود 1 كما في يعطي إمكانيات عبر و وهكذا. وهذا يؤدي إلى النتيجة العامة لـ والجمع على الكل يؤدي إلى انحطاط الحالة -، بالنسبة للحالة الأساسية ، يكون الانحطاط هو لذا فإن الحالة غير متدهورة. لجميع الحالات العليا، يكون الانحطاط أكبر من 1 لذا فإن الحالة متدهورة. $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega }$$$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega }$$${\displaystyle \{n_{x},n_{y},n_{z}\}}$$${\displaystyle n_{x}+n_{y}+n_{z}=n}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle n-n_{x}+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$ ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle 1}$

يمكن إزالة الانحطاط في نظام ميكانيكي كمي إذا تم كسر التناظر الأساسي بواسطة اضطراب خارجي . يتسبب هذا في انقسام مستويات الطاقة المتدهورة. هذا في الأساس تقسيم التمثيلات الأصلية غير القابلة للاختزال إلى تمثيلات ذات أبعاد أقل للنظام المضطرب.

رياضيًا، يمكن حساب الانقسام الناتج عن تطبيق جهد اضطراب صغير باستخدام نظرية الاضطراب المتدهور المستقل عن الزمن . هذا مخطط تقريب يمكن تطبيقه لإيجاد حل لمعادلة القيمة الذاتية لهاملتونيان H لنظام كمي به اضطراب مطبق، معطى الحل لهاملتونيان H ₀ للنظام غير المضطرب. وهو يتضمن توسيع القيم الذاتية والخصائص الذاتية لهاملتونيان H في سلسلة اضطراب. تشكل الحالات الذاتية المتدهورة بقيمة ذاتية طاقة معينة فضاء فرعي متجه، ولكن ليست كل قاعدة من الحالات الذاتية لهذا الفضاء نقطة بداية جيدة لنظرية الاضطراب، لأنه عادةً لن يكون هناك أي حالات ذاتية للنظام المضطرب بالقرب منها. الأساس الصحيح الذي يجب اختياره هو الأساس الذي يجعل هاملتونيان الاضطراب قطريًا داخل الفضاء الفرعي المتدهور.

رفع الانحطاط عن طريق نظرية الاضطرابات الانحطاطية من الدرجة الأولى.

ضع في اعتبارك هاملتوني غير مضطرب واضطراب ، بحيث يكون هاملتوني مضطرب ${\displaystyle {\hat {H_{0}}}}$${\displaystyle {\hat {V}}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}}$$ الحالة الذاتية المضطربة، لعدم وجود انحطاط، تُعطى بواسطة- تتباعد الحالة الذاتية المضطربة للطاقة وكذلك تحولات الطاقة ذات الدرجة الأعلى عندما ، أي في وجود انحطاط في مستويات الطاقة. بافتراض أن تمتلك N حالة ذاتية متدهورة بنفس قيمة الطاقة الذاتية E، وأيضًا بشكل عام بعض الحالات الذاتية غير المتدهورة. يمكن كتابة الحالة الذاتية المضطربة كتوسع خطي في الحالات الذاتية المتدهورة غير المضطربة على أنها- حيث تشير إلى القيم الذاتية للطاقة المضطربة. بما أن قيمة ذاتية متدهورة لـ ، فإن الضرب المسبق في حالة ذاتية متدهورة غير مضطربة أخرى يعطي- هذه مشكلة قيمة ذاتية، وكتابة ، لدينا- $${\displaystyle |\psi _{0}\rangle =|n_{0}\rangle +\sum _{k\neq 0}V_{k0}/(E_{0}-E_{k})|n_{k}\rangle }$$${\displaystyle E_{0}=E_{k}}$${\displaystyle {\hat {H_{0}}}}$${\displaystyle |m\rangle }$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle =\sum _{i}|m_{i}\rangle \langle m_{i}|\psi _{j}\rangle =\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle }$$ $${\displaystyle [{\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}]\psi _{j}\rangle =[{\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}]\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle =E_{j}\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle }$$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\hat {H_{0}}}}$$${\displaystyle \sum _{i}c_{ji}{\hat {V}}|m_{i}\rangle =(E_{j}-E)\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle =\Delta E_{j}\sum _{i}c_{ji}|m_{i}\rangle }$$${\displaystyle \langle m_{k}|}$$${\displaystyle \sum _{i}c_{ji}[\langle m_{k}|{\hat {V}}|m_{i}\rangle -\delta _{ik}(E_{j}-E)]=0}$$${\displaystyle V_{ik}=\langle m_{i}|{\hat {V}}|m_{k}\rangle }$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}V_{11}-\Delta E_{j}&V_{12}&\dots &V_{1N}\\V_{21}&V_{22}-\Delta E_{j}&\dots &V_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\V_{N1}&V_{N2}&\dots &V_{NN}-\Delta E_{j}\end{vmatrix}}.}$$ تعطي قيم N الذاتية التي تم الحصول عليها عن طريق حل هذه المعادلة التحولات في مستوى الطاقة المتدهورة بسبب الاضطراب المطبق، بينما تعطي المتجهات الذاتية الحالات المضطربة في الأساس المتدهور غير المضطرب . لاختيار الحالات الذاتية الجيدة من البداية، من المفيد العثور على عامل يتبادل مع هاميلتونيان الأصلي وله حالات ذاتية متزامنة معه. ${\displaystyle |m\rangle }$${\displaystyle {\hat {V}}}$${\displaystyle {\hat {H_{0}}}}$

فيما يلي بعض الأمثلة المهمة للمواقف الفيزيائية حيث يتم تقسيم مستويات الطاقة المتدهورة لنظام الكم عن طريق تطبيق اضطراب خارجي.

يشير النظام ذو المستويين أساسًا إلى نظام فيزيائي به حالتان تكون طاقاتهما متقاربة ومختلفة جدًا عن طاقات الحالات الأخرى للنظام. يتم إجراء جميع الحسابات لمثل هذا النظام على فضاء فرعي ثنائي الأبعاد لمساحة الحالة.

إذا كانت الحالة الأساسية للنظام الفيزيائي متدهورة إلى حدين، فإن أي اقتران بين الحالتين المتقابلتين يخفض طاقة الحالة الأساسية للنظام، ويجعله أكثر استقرارًا.

إذا كانت و مستويات الطاقة للنظام، بحيث ، و يتم تمثيل الاضطراب في الفضاء الفرعي ثنائي الأبعاد على هيئة مصفوفة 2×2 التالية، فإن الطاقات المضطربة هي ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\[1ex]W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{+}&=E+|W_{12}|\\E_{-}&=E-|W_{12}|\end{aligned}}}$$

تتضمن أمثلة الأنظمة ذات الحالتين التي يتم فيها كسر الانحطاط في حالات الطاقة من خلال وجود مصطلحات غير قطرية في الهاميلتونيان الناتجة عن تفاعل داخلي بسبب خاصية متأصلة في النظام ما يلي:

• البنزين ، مع وجود تصرفين محتملين للروابط المزدوجة الثلاثة بين ذرات الكربون المتجاورة .
• جزيء الأمونيا ، حيث يمكن أن تكون ذرة النيتروجين إما أعلى أو أسفل المستوى الذي تحدده ذرات الهيدروجين الثلاث .
• ح⁺
  ₂جزيء، حيث قد يتمركز الإلكترون حول أي من النواتين.

تؤدي التصحيحات التي تطرأ على تفاعل كولومب بين الإلكترون والبروتون في ذرة الهيدروجين بسبب الحركة النسبية وربط المدار المغزلي إلى كسر الانحطاط في مستويات الطاقة لقيم مختلفة لـ l تتوافق مع رقم كمي رئيسي واحد n .

يتم إعطاء اضطراب هاملتونيان بسبب التصحيح النسبي بواسطة حيث هو عامل الزخم و هي كتلة الإلكترون. يتم إعطاء تصحيح الطاقة النسبية من الدرجة الأولى في الأساس بواسطة $${\displaystyle H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle |nlm\rangle }$$${\displaystyle E_{r}=\left(-1/8m^{3}c^{2}\right)\left\langle n\ell m\right|p^{4}\left|n\ell m\right\rangle }$$

الآن أين ثابت البنية الدقيقة ؟ ${\displaystyle p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{r}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle +e^{4}\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle \right]\\&=-{\frac {1}{2}}mc^{2}\alpha ^{4}\left[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(\ell +1/2)}\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle \alpha }$

يشير تفاعل الدوران-المدار إلى التفاعل بين العزم المغناطيسي الجوهري للإلكترون والمجال المغناطيسي الذي يتعرض له بسبب الحركة النسبية مع البروتون. التفاعل هاملتوني هو الذي يمكن كتابته على النحو التالي $${\displaystyle H_{so}=-{\frac {e}{mc}}{\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {L} }{r^{3}}}={\frac {e^{2}}{m^{2}c^{2}r^{3}}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {L} }$$$${\displaystyle H_{so}={\frac {e^{2}}{4m^{2}c^{2}r^{3}}}\left[J^{2}-L^{2}-S^{2}\right]}$$

يتم إعطاء تصحيح الطاقة من الدرجة الأولى في الأساس حيث يكون اضطراب هاملتونيان قطريًا، بواسطة حيث هو نصف قطر بور . يتم إعطاء تحول طاقة البنية الدقيقة الكلية بواسطة لـ . ${\displaystyle |j,m,\ell ,1/2\rangle }$$${\displaystyle E_{so}={\frac {\hbar ^{2}e^{2}}{4m^{2}c^{2}}}{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{a_{0}^{3}n^{3}\ell (\ell +{\frac {1}{2}})(\ell +1)}}}$$${\displaystyle a_{0}}$$${\displaystyle E_{fs}=-{\frac {mc^{2}\alpha ^{4}}{2n^{3}}}\left[1/(j+1/2)-3/4n\right]}$$${\textstyle j=\ell \pm {\tfrac {1}{2}}}$

إن انقسام مستويات الطاقة للذرة عند وضعها في مجال مغناطيسي خارجي بسبب تفاعل العزم المغناطيسي للذرة مع المجال المطبق يُعرف باسم تأثير زيمان . ${\displaystyle {\vec {m}}}$

مع الأخذ في الاعتبار الزخم الزاوي المداري والدوراني، و ، على التوالي، لإلكترون واحد في ذرة الهيدروجين، فإن اضطراب هاميلتونيان يعطى بواسطة حيث و . وبالتالي، الآن، في حالة تأثير زيمان للمجال الضعيف، عندما يكون المجال المطبق ضعيفًا مقارنة بالمجال الداخلي، يهيمن اقتران المدار المغزلي و و لا يتم الحفاظ عليهما بشكل منفصل. الأعداد الكمومية الجيدة هي n و ℓ و j و m _j ، وعلى هذا الأساس، يمكن إظهار أن تصحيح الطاقة من الدرجة الأولى يعطى بواسطة حيث يسمى مغناطيسي بور . وبالتالي، اعتمادًا على قيمة ، ينقسم كل مستوى طاقة متدهور إلى عدة مستويات. ${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {S} }$$${\displaystyle {\hat {V}}=-(\mathbf {m} _{\ell }+\mathbf {m} _{s})\cdot \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {m} _{\ell }=-e\mathbf {L} /2m}$${\displaystyle \mathbf {m} _{s}=-e\mathbf {S} /m}$$${\displaystyle {\hat {V}}={\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B} }$$${\textstyle \mathbf {L} }$${\textstyle \mathbf {S} }$$${\displaystyle E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j},}$$${\displaystyle \mu _{B}={e\hbar }/2m}$${\displaystyle m_{j}}$

في حالة تأثير زيمان للمجال القوي، عندما يكون المجال المطبق قويًا بدرجة كافية، بحيث تنفصل الزخم الزاوي المداري والدوراني، تصبح الأعداد الكمومية الجيدة الآن n و l و ml و ms . هنا، يتم الحفاظ على Lz و _Sz ، وبالتالي يتم إعطاء هاملتونيان الاضطراب بواسطة- _{بافتراض} أن المجال المغناطيسي على طول اتجاه z- . لذا، لكل قيمة _{m ℓ ،} توجد قيمتان محتملتان لـ ms _، .$${\displaystyle {\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m}$$$${\displaystyle {\hat {V}}=eB(m_{\ell }+2m_{s})/2m}$$${\displaystyle \pm 1/2}$

إن انقسام مستويات الطاقة في الذرة أو الجزيء عند تعرضه لحقل كهربائي خارجي يُعرف باسم تأثير ستارك .

بالنسبة لذرة الهيدروجين، يكون الاضطراب هاميلتوني إذا تم اختيار المجال الكهربائي على طول الاتجاه z . $${\displaystyle {\hat {H}}_{s}=-|e|Ez}$$

يتم تحديد تصحيحات الطاقة الناتجة عن المجال المطبق من خلال قيمة التوقع في الأساس. ويمكن إظهار ذلك من خلال قواعد الاختيار عندما و . ${\displaystyle {\hat {H}}_{s}}$${\displaystyle |n\ell m\rangle }$${\displaystyle \langle n\ell m_{\ell }|z|n_{1}\ell _{1}m_{\ell 1}\rangle \neq 0}$${\displaystyle \ell =\ell _{1}\pm 1}$${\displaystyle m_{\ell }=m_{\ell 1}}$

يتم رفع الانحطاط فقط لبعض الحالات التي تخضع لقواعد الاختيار، في الترتيب الأول. يتم إعطاء الانقسام من الترتيب الأول في مستويات الطاقة للحالات المتدهورة و ، وكلاهما يتوافق مع n = 2، بواسطة . ${\displaystyle |2,0,0\rangle }$${\displaystyle |2,1,0\rangle }$${\displaystyle \Delta E_{2,1,m_{\ell }}=\pm |e|\hbar ^{2}/(m_{e}e^{2})E}$

• كثافة الدول

• كوهين تنودجي، كلود؛ ديو، برنارد. لالوي، فرانك. ميكانيكا الكم. المجلد. 1. هيرمان. رقم ISBN 978-2-7056-8392-4.^{[ بحاجة لمصدر كامل ]}
• شانكار، رامامورتي (2013). مبادئ ميكانيكا الكم. سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4615-7675-4.^{[ بحاجة لمصدر كامل ]}
• لارسون، رون ؛ فالفو، ديفيد سي. (30 مارس 2009). الجبر الخطي الابتدائي، الطبعة المحسنة. سينجيج ليرنينج. ص 8-. ISBN 978-1-305-17240-1.
• هوبسون؛ رايلي (27 أغسطس 2004). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة (Clpe) الطبعة الثانية. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-61296-8.
• هيمر (2005). Kvantemekanikk: PC Hemmer. تابير أكاديميسك فورلاج. Tillegg 3: ملحق للأقسام 3.1 و3.3 و3.5. رقم ISBN 978-82-519-2028-5.
• الانحلال الكمي في الأنظمة ثنائية الأبعاد، ديبناريان جانا، قسم الفيزياء، كلية العلوم والتكنولوجيا الجامعية
• الهاشمي، منير (2008). التناظر العرضي في الفيزياء الكمومية.