نظرية كرول-شميدت

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تنص نظرية كرول-شميدت على أن المجموعة الخاضعة لشروط معينة من حيث محدودية سلاسل المجموعات الفرعية ، يمكن كتابتها بشكل فريد كحاصل ضرب مباشر محدود للمجموعات الفرعية غير القابلة للتحليل.

التعريفات

نقول إن المجموعة G تحقق شرط السلسلة التصاعدية (ACC) على المجموعات الفرعية إذا كان كل تسلسل من المجموعات الفرعية لـ G :

1=جي0≤جي1≤جي2≤⋯{\displaystyle 1=G_{0}\leq G_{1}\leq G_{2}\leq \cdots \,}

تكون ثابتة في النهاية، أي أنه يوجد عدد طبيعي N بحيث يكون G <sub>N </sub> = G <sub> N +1</sub> = G<sub> N +2</sub>  =  ...  . نقول إن G تحقق شرط الثبات المطلق على الزمر الجزئية الطبيعية إذا أصبحت كل متتالية من الزمر الجزئية الطبيعية لـ G ثابتة في النهاية.

وبالمثل، يمكن للمرء أن يحدد شرط السلسلة التنازلية على المجموعات الفرعية (العادية)، من خلال النظر إلى جميع التسلسلات المتناقصة للمجموعات الفرعية (العادية):

جي=جي0≥جي1≥جي2≥⋯.{\displaystyle G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq \cdots .\,}

من الواضح أن جميع الزمر المنتهية تحقق كلاً من شرطي ACC وDCC على الزمر الجزئية. الزمرة الدورية اللانهائيةZ{\displaystyle \mathbf {Z} }يحقق الشرط ACC ولكنه لا يحقق الشرط DCC، لأن (2)  >  (2) 2  >  (2) 3  >  ... متتالية جزئية متناقصة لا نهائية. من ناحية أخرى،ص∞{\displaystyle p^{\infty }}- جزء الالتواء منسؤال/Z{\displaystyle \mathbf {Q} /\mathbf {Z} }( المجموعة شبه الدورية p ) تحقق DCC ولكن ليس ACC.

نقول إن المجموعة G غير قابلة للتحليل إذا لم يكن من الممكن كتابتها كحاصل ضرب مباشر للمجموعات الفرعية غير التافهة G = H × K.  

إفادة

لوجي{\displaystyle G}إذا كانت المجموعة تحقق شرطي ACC وDCC على المجموعات الفرعية العادية، فهناك طريقة واحدة فقط لكتابتها.جي{\displaystyle G}كمنتج مباشرجي1×جي2×⋯×جيك{\displaystyle G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{k}\,}من عدد محدود من المجموعات الفرعية غير القابلة للتحليلجي{\displaystyle G}هنا، تعني الخاصية الفريدة أن التفكيكات المباشرة إلى مجموعات فرعية غير قابلة للتفكيك لها خاصية التبادل. أي: لنفترضجي=ح1×ح2×⋯×حل{\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,}وهو تعبير آخر عنجي{\displaystyle G}باعتباره ناتجًا عن مجموعات فرعية غير قابلة للتحليل. ثمك=ل{\displaystyle k=l}وهناك إعادة فهرسة لـحأنا{\displaystyle H_{i}}إنه أمر مُرضٍ

  • جيأنا{\displaystyle G_{i}}وحأنا{\displaystyle H_{i}}متماثلة لكلأنا{\displaystyle i}؛
  • جي=جي1×⋯×جير×حر+1×⋯×حل{\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,}لكلر{\displaystyle r}.

دليل

إثبات الوجود أمرٌ بسيط نسبيًا: ليكن S مجموعة جميع الزمر الجزئية الطبيعية التي لا يمكن كتابتها كحاصل ضرب زمر جزئية غير قابلة للتحليل. علاوة على ذلك، فإن أي زمرة جزئية غير قابلة للتحليل هي (بشكل بديهي) حاصل ضرب مباشر أحادي الحد لنفسها، وبالتالي قابلة للتحليل. إذا فشلت خوارزمية كرول-شميدت، فإن S تحتوي على G ؛ لذا يمكننا بناء سلسلة تنازلية من العوامل المباشرة بشكل متكرر؛ وهذا يناقض معادلة DCC. يمكن بعد ذلك عكس البناء لإظهار أن جميع العوامل المباشرة لـ G تظهر بهذه الطريقة. [ 1 ]

أما برهان التفرد، من جهة أخرى، فهو طويل نوعاً ما ويتطلب سلسلة من الليمات التقنية. للاطلاع على شرح كامل، انظر [ 2 ] .

ملاحظة

لا تؤكد النظرية وجود تفكيك غير تافه ، بل تؤكد فقط أن أي تفكيكين من هذا القبيل (إن وجدا) هما نفس الشيء.

تحلل ريماك

يُعدّ تحليل ريماك ، الذي قدّمه روبرت ريماك ، [ 3 ] تحليلًا لمجموعة أبيلية أو ما شابهها إلى مجموع مباشر محدود من عناصر غير قابلة للتحليل. وتُقدّم نظرية كرول-شميدت شروطًا لوجود تحليل ريماك ولتفرّد عوامله.

نظرية كرول-شميدت للوحدات

لوهـ≠0{\displaystyle E\neq 0}إذا كانت الوحدة النمطية تحقق شرطي ACC وDCC على الوحدات النمطية الفرعية (أي أنها نوثرية وأرتينية أو -بصورة مكافئة- ذات طول محدود )، فإنهـ{\displaystyle E}هو مجموع مباشر لوحدات غير قابلة للتحليل . حتى التبديل، يتم تحديد المكونات غير القابلة للتحليل في هذا المجموع المباشر بشكل فريد حتى التشاكل. [ 4 ]

عمّم غورو أزومايا هذا المفهوم، موضحًا أنه إذا كان للوحدة النمطية تفكيك (قد يكون لانهائيًا) إلى وحدات نمطية غير قابلة للتفكيك بقوة، فإن هذا التفكيك يكون فريدًا حتى التبديل والتشاكل. تكون الوحدة النمطية غير قابلة للتفكيك بقوة إذا كانت حلقة التشاكلات الداخلية الخاصة بها محلية. أي وحدة نمطية من هذا النوع غير قابلة للتفكيك، لكن العكس غير صحيح، كما يتضح من حلقة الأعداد الصحيحة عند اعتبارها وحدة نمطية فوق نفسها. تكون الدوال الحقنية غير القابلة للتفكيك والوحدات النمطية غير القابلة للتفكيك ذات الطول المحدود غير قابلة للتفكيك بقوة، وكذلك الوحدات النمطية الإسقاطية غير القابلة للتفكيك فوق الحلقات شبه الكاملة. [ 5 ]

بشكل عام، تفشل النظرية إذا افترضنا فقط أن الوحدة النمطية نوثرية أو أرتينية. [ 6 ]

تاريخ

أُثبتت نظرية كرول-شميدت الحالية لأول مرة على يد جوزيف ويدربورن ( حوليات الرياضيات ، 1909) للمجموعات المنتهية، مع أنه أشار إلى أن بعض الفضل يعود لدراسة سابقة أجراها جي. إيه. ميلر حيث تم النظر في الضرب المباشر للمجموعات الأبيلية. تُصاغ نظرية ويدربورن كخاصية تبادل بين التفكيكات المباشرة ذات الطول الأقصى. مع ذلك، لا يستخدم برهان ويدربورن التشاكلات الذاتية.

استنتجت أطروحة روبرت ريماك (1911) نفس نتيجة التفرد التي توصل إليها ويدربورن، لكنها أثبتت أيضًا (باستخدام المصطلحات الحديثة) أن زمرة التشاكلات المركزية تعمل بشكل متعدٍ على مجموعة التفكيكات المباشرة ذات الطول الأقصى لزمرة منتهية. ومن هذه النظرية الأقوى، أثبت ريماك أيضًا نتائج فرعية متعددة، بما في ذلك أن الزمر ذات المركز التافه والزمر الكاملة لها تفكيك ريماك فريد .

قام أوتو شميدت ( في بحثه "حول المنتجات المباشرة"، نشرة الجمعية الفرنسية للرياضيات، العدد 41 (1913)، الصفحات 161-164) بتبسيط النظريات الرئيسية لريماك إلى ما يُشبه البراهين المكتوبة في الكتب الدراسية اليوم، والتي لا تتجاوز ثلاث صفحات. وقد حسّن أسلوبه استخدام ريماك للعناصر المتطابقة لإنشاء التشاكلات المركزية المناسبة. ونشر كل من ريماك وشميدت براهين ونتائج لاحقة لنظرياتهما.

عاد فولفغانغ كرول ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161–196) إلى مسألة جي إيه ميلر الأصلية المتعلقة بالضرب المباشر للمجموعات الأبيلية، وذلك بتوسيعها لتشمل مجموعات المؤثرات الأبيلية ذات شروط السلسلة الصاعدة والهابطة. ويُصاغ هذا غالبًا بلغة الوحدات النمطية. ويلاحظ برهانه أن العناصر المتطابقة المستخدمة في براهين ريماك وشميدت يمكن حصرها في تشاكلات الوحدات النمطية؛ أما باقي تفاصيل البرهان فتبقى دون تغيير يُذكر.

قام أو. أور بتوحيد البراهين من فئات متنوعة تشمل الزمر المنتهية، وزمر المؤثرات الأبيلية، والحلقات، والجبر، وذلك بإثبات صحة نظرية التبادل لـ ويدربورن للشبكات النمطية ذات شروط السلسلة التنازلية والتصاعدية. لا يستخدم هذا البرهان العناصر المتساوية القوة، ولا يعيد إثبات خاصية التعدي لنظريات ريماك.

يتضمن كتابا كوروش وزاسنهاوس " نظرية الزمر " براهين شميدت وأوري تحت مسمى ريماك-شميدت، مع الإشارة إلى ويدربورن وأوري. وتستخدم نصوص لاحقة عنوان كرول-شميدت (في كتاب هانغرفورد "الجبر") وكرول-شميدت -أزوميا (في كتاب كورتيس-راينر). ويُستخدم اسم كرول-شميدت الآن بشكل شائع لأي نظرية تتعلق بتفرد الضرب المباشر ذي الحجم الأقصى. ويختار بعض المؤلفين تسمية التفكيكات المباشرة ذات الحجم الأقصى بتفكيكات ريماك تكريمًا لإسهاماته.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ توماس دبليو. هانغرفورد (6 ديسمبر 2012). الجبر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص  83. ISBN 978-1-4612-6101-8.
  2. ↑ هانغرفورد 2012، ص 86-8.
  3. ^ ريماك، روبرت (1911)، “Über die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare Faktoren” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik (بالألمانية)، 139 : 293– 308، دوى : 10.1515/crll.1911.139.293 ، ISSN 0075-4102 , جي اف ام 42.0156.01  
  4. ↑ جاكوبسون، ناثان (2009). الجبر الأساسي . المجلد 2 ( الطبعة الثانية). دوفر. ص 115. ISBN    978-0-486-47187-7.
  5. ↑ أندرسون، فرانك دبليو؛ فولر، كينت آر (1992). الحلقات وفئات الوحدات (الطبعة الثانية ). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN  978-0-387-97845-1.الصفحة = 144
  6. ^ فاتشيني، ألبرتو؛ هيربيرا، دولورز؛ ليفي، لورانس S.؛ فاموس، بيتر (1 كانون الأول/ديسمبر 1995). "فشل Krull-Schmidt في الوحدات الأرتينية" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 123 (12): 3587. دوى : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .

للمزيد من القراءة

  • أ. فاكيني: نظرية الوحدات. حلقات التشكل الداخلي وتفكيكات المجموع المباشر في بعض فئات الوحدات. التقدم في الرياضيات، 167. دار نشر بيركهاوزر، بازل، 1998. ISBN 3-7643-5908-0
  • سي إم رينجل: فشل كرول-ريماك-شميدت بالنسبة للوحدات الأرتينية فوق الحلقات المحلية. نظرية تمثيل الجبر 4 (2001)، العدد 1، 77-86.