نظرية كوراتوفسكي

في نظرية المخططات ، تُعدّ نظرية كوراتوفسكي وصفًا رياضيًا للمخططات المستوية ، سُمّيت نسبةً إلى كازيميرز كوراتوفسكي . تنصّ هذه النظرية على أن المخطط المحدود يكون مستويًا إذا وفقط إذا لم يحتوِ على مخطط فرعي يُمثّل تقسيمًا لـ${\displaystyle K_{5}}$( الرسم البياني الكامل على خمسة رؤوس ) ولا من${\displaystyle K_{3,3}}$( رسم بياني ثنائي الأجزاء كامل على ستة رؤوس، ثلاثة منها متصلة بكل من الرؤوس الثلاثة الأخرى، والمعروف أيضًا باسم الرسم البياني للمنفعة ).

الرسم البياني المستوي هو رسم بياني يمكن تمثيل رؤوسه بنقاط في المستوى الإقليدي ، ويمكن تمثيل حوافه بمنحنيات بسيطة في نفس المستوى تربط النقاط التي تمثل نهاياتها، بحيث لا يتقاطع أي منحنيين إلا عند نقطة نهاية مشتركة. غالبًا ما تُرسَم الرسوم البيانية المستوية بقطع مستقيمة تمثل حوافها، ولكن وفقًا لنظرية فاري، فإن السماح بالحواف المنحنية أو اشتراط الحواف المستقيمة لا يُحدث فرقًا في خصائصها من منظور نظرية الرسوم البيانية.

تقسيم الرسم البياني هو رسم بياني يتكون من تقسيم حوافه إلى مسارات مكونة من حافة واحدة أو أكثر. تنص نظرية كوراتوفسكي على أن الرسم البياني المحدود${\displaystyle G}$يكون السطح مستوياً إذا لم يكن من الممكن تقسيم حوافه${\displaystyle K_{5}}$أو${\displaystyle K_{3,3}}$ثم ربما إضافة حواف ورؤوس إضافية، لتشكيل رسم بياني متماثل مع${\displaystyle G}$بصورة مكافئة، يكون الرسم البياني المحدود مستويًا إذا وفقط إذا لم يحتوِ على رسم بياني جزئي متماثل مع الرسم البياني المحدود .${\displaystyle K_{5}}$أو${\displaystyle K_{3,3}}$.

لو${\displaystyle G}$هو رسم بياني يحتوي على رسم بياني فرعي${\displaystyle H}$هذا قسم فرعي من${\displaystyle K_{5}}$أو${\displaystyle K_{3,3}}$، ثم${\displaystyle H}$يُعرف باسم الرسم البياني الفرعي لكوراتوفسكي لـ${\displaystyle G}$[ ^{1 ] باستخدام هذه} الرموز، يمكن التعبير عن نظرية كوراتوفسكي بإيجاز: يكون الرسم البياني مستويًا إذا وفقط إذا لم يكن لديه رسم بياني فرعي لكوراتوفسكي.

الرسمان البيانيان${\displaystyle K_{5}}$و${\displaystyle K_{3,3}}$ are nonplanar, as may be shown either by a case analysis or an argument involving Euler's formula. Additionally, subdividing a graph cannot turn a nonplanar graph into a planar graph: if a subdivision of a graph ${\displaystyle G}$ has a planar drawing, the paths of the subdivision form curves that may be used to represent the edges of ${\displaystyle G}$ itself. Therefore, a graph that contains a Kuratowski subgraph cannot be planar. The more difficult direction in proving Kuratowski's theorem is to show that, if a graph is nonplanar, it must contain a Kuratowski subgraph.

A Kuratowski subgraph of a nonplanar graph can be found in linear time, as measured by the size of the input graph.^[2] This allows the correctness of a planarity testing algorithm to be verified for nonplanar inputs, as it is straightforward to test whether a given subgraph is or is not a Kuratowski subgraph.^[3] Usually, non-planar graphs contain a large number of Kuratowski-subgraphs. The extraction of these subgraphs is needed, e.g., in branch and cut algorithms for crossing minimization. It is possible to extract a large number of Kuratowski subgraphs in time dependent on their total size.^[4]

Kazimierz Kuratowski published his theorem in 1930.^[5] The theorem was independently proved by Orrin Frink and Paul Smith, also in 1930,^[6] but their proof was never published. The special case of cubic planar graphs (for which the only minimal forbidden subgraph is ${\displaystyle K_{3,3}}$) was also independently proved by Karl Menger in 1930.^[7] Since then, several new proofs of the theorem have been discovered.^[8]

In the Soviet Union, Kuratowski's theorem was known as either the Pontryagin–Kuratowski theorem or the Kuratowski–Pontryagin theorem,^[9] as the theorem was reportedly proved independently by Lev Pontryagin around 1927.^[10] However, as Pontryagin never published his proof, this usage has not spread to other places.^[11]

A closely related result, Wagner's theorem, characterizes the planar graphs by their minors in terms of the same two forbidden graphs ${\displaystyle K_{5}}$ and ${\displaystyle K_{3,3}}$كل رسم بياني جزئي لكوراتوفسكي هو حالة خاصة من رسم بياني جزئي من نفس النوع، وبينما لا يصح العكس، فليس من الصعب إيجاد رسم بياني جزئي لكوراتوفسكي (من نوع أو آخر) من أحد هذين الرسمين البيانيين الجزئيين الممنوعين؛ لذلك، فإن هاتين النظريتين متكافئتان. ^{[ 12 ]}

ومن الامتدادات نظرية روبرتسون-سيمور ، التي تنص على أنه يمكن تمييز كل فئة من الرسوم البيانية المغلقة تحت أخذ القواسم الفرعية (كما هو الحال في الرسوم البيانية المستوية) بطريقة مماثلة بواسطة مجموعة محدودة من القواسم الفرعية المحظورة.

• تخمين كيلمانز-سيمور ، الذي ينص على أن الرسوم البيانية غير المستوية ذات الاتصال الخماسي تحتوي على تقسيم فرعي من${\displaystyle K_{5}}$