تضمين كوراتوفسكي

في الرياضيات ، يسمح تضمين كوراتوفسكي برؤية أي فضاء متري كمجموعة جزئية من فضاء باناخ . وقد سمي على اسم كازيميرز كوراتوفسكي .

من الواضح أن العبارة تنطبق على الفضاء الفارغ. إذا كان ( X , d ) فضاءً متريًا، _و x₀ نقطة في X ، و Cb ₍ X ) يرمز إلى فضاء باناخ لجميع الدوال الحقيقية المتصلة والمحدودة على X ذات معيار السوبريموم ، فإن التطبيق

${\displaystyle \Phi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

محدد بواسطة

${\displaystyle \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{لكل}}\quad x,y\in X}$

هو تماثل قياس . ^{[ 1 ]}

يمكن اعتبار البناء المذكور أعلاه بمثابة تضمين فضاء متري محدد في فضاء باناخ.

تنص نظرية كوراتوفسكي-فويديسوافسكي على أن كل فضاء متري محدود X يكون متساوي القياس مع مجموعة جزئية مغلقة من مجموعة جزئية محدبة من فضاء باناخ ما. ^{[ 2 ]} (ملاحظة: صورة هذا التضمين مغلقة في المجموعة الجزئية المحدبة، وليس بالضرورة في فضاء باناخ). هنا نستخدم التساوي في القياس.

${\displaystyle \Psi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

محدد بواسطة

${\displaystyle \Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{لكل}}\quad x,y\in X}$

المجموعة المحدبة المذكورة أعلاه هي الغلاف المحدب لـ Ψ( X ).

في كلتا نظريتي التضمين هاتين، يمكننا استبدال C _b ( X ) بفضاء باناخ ℓ  ^∞ ( X ) لجميع الدوال المحدودة X → R ، مرة أخرى مع معيار السوبريموم ، لأن C _b ( X ) هو فضاء فرعي خطي مغلق من ℓ  ^∞ ( X ).

تُعدّ نتائج التضمين هذه مفيدة لأن فضاءات باناخ تتمتع بعدد من الخصائص المفيدة التي لا تشترك فيها جميع الفضاءات المترية: فهي فضاءات متجهة تسمح بجمع النقاط وإجراء العمليات الهندسية الأساسية التي تتضمن الخطوط والمستويات، وما إلى ذلك؛ وهي فضاءات كاملة . وبالنظر إلى دالة ذات مجال مقابل X ، فإنه من المرغوب فيه غالبًا توسيع هذه الدالة إلى مجال أكبر، وهذا يتطلب في كثير من الأحيان توسيع المجال المقابل في الوقت نفسه إلى فضاء باناخ يحتوي على X.

من الناحية الرسمية، تم تقديم هذا التضمين لأول مرة بواسطة كوراتوفسكي [ ^{3 ]، ولكن} صيغة مشابهة جدًا لهذا التضمين تظهر بالفعل في أوراق فريشيه . تستخدم تلك الأوراق التضمين لعرض${\displaystyle \ell ^{\infty }}$باعتبارها فضاءً متريًا "عالميًا" قابلًا للفصل (فهي ليست قابلة للفصل في حد ذاتها، ومن هنا جاءت علامات التنصيص) ^{[ 4 ]} ولإنشاء مقياس عام على${\displaystyle \mathbb {R} }$عن طريق سحب المقياس على منحنى جوردان بسيط في${\displaystyle \ell ^{\infty }}$[ ^{5 ]​}

• المدى الضيق ، هو تضمين لأي فضاء متري في فضاء متري حقني مُعرَّف بشكل مشابه لتضمين كوراتوفسكي.