مسافة مدببة

في الرياضيات ، يُعرف الفضاء المُشار إليه أو الفضاء الأساسي بأنه فضاء طوبولوجي يحتوي على نقطة مميزة تُسمى نقطة الأساس . والنقطة المميزة هي ببساطة نقطة محددة، يتم اختيارها من الفضاء، وتُعطى اسمًا، مثل:${\displaystyle x_{0},}$يبقى هذا دون تغيير خلال المناقشات اللاحقة، ويتم تتبعه خلال جميع العمليات. تشمل الأمثلة الشائعة للفضاءات ذات النقاط الطبيعية الكرات (مع القطب الشمالي كنقطة أساس)، والفترات المغلقة [0،1] (مع 0 كنقطة أساس)، والمجموعات الطوبولوجية (مع عنصر الوحدة كنقطة أساس).

خرائط المساحات المحددة ( الخرائط الأساسية ) هي خرائط متصلة تحافظ على نقاط الأساس، أي خريطة${\displaystyle f}$بين مساحة مدببة${\displaystyle X}$مع نقطة الأساس${\displaystyle x_{0}}$ومساحة مدببة${\displaystyle Y}$مع نقطة الأساس${\displaystyle y_{0}}$تُعتبر الخريطة أساسية إذا كانت متصلة بالنسبة لطوبولوجيا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$وإذا${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$يُشار إلى هذا عادةً بـ

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

تُعد الفضاءات المدببة مهمة في الطوبولوجيا الجبرية ، وخاصة في نظرية التماثل ، حيث تعتمد العديد من الإنشاءات، مثل المجموعة الأساسية ، على اختيار نقطة الأساس.

مفهوم المجموعة المدببة أقل أهمية؛ فهو على أي حال حالة فضاء منفصل مدبب .

تُعتبر الفضاءات المدببة في كثير من الأحيان حالة خاصة من الطوبولوجيا النسبية ، حيث تكون المجموعة الجزئية عبارة عن نقطة واحدة. ولذلك، فإن جزءًا كبيرًا من نظرية التماثل يُطوّر عادةً على الفضاءات المدببة، ثم يُنقل إلى الطوبولوجيا النسبية في الطوبولوجيا الجبرية .

تشكل فئة جميع المساحات المدببة فئة أعلى_{${\displaystyle \bullet }$}مع استخدام الخرائط المستمرة التي تحافظ على نقطة الأساس كتشاكلات . وهناك طريقة أخرى للتفكير في هذه الفئة وهي اعتبارها فئة الفاصلة ، (${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$أعلى ) حيث${\displaystyle \{\bullet \}}$هي أي فضاء ذي نقطة واحدة، و Top هي فئة الفضاءات الطوبولوجية . (تُسمى أيضًا فئة الشريحة التمامية، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \{\bullet \}/}$أعلى الصفحة .) الكائنات في هذه الفئة عبارة عن خرائط متصلة.${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$يمكن اعتبار هذه الخرائط بمثابة تحديد نقطة أساس في${\displaystyle X.}$التشكلات في (${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$Top ) هي التشكلات في Top التي يكون المخطط التالي تبادليًا بالنسبة لها :

من السهل ملاحظة أن خاصية التبادلية في المخطط تكافئ الشرط التالي:${\displaystyle f}$يحافظ على نقاط الأساس.

كمساحة محددة،${\displaystyle \{\bullet \}}$هو كائن صفري في الأعلى_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}، بينما هو مجرد كائن طرفي في Top .

يوجد عامل نسيان أعلى_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}${\displaystyle \to }$Top which "forgets" which point is the basepoint. This functor has a left adjoint which assigns to each topological space ${\displaystyle X}$ the disjoint union of ${\displaystyle X}$ and a one-point space ${\displaystyle \{\bullet \}}$ whose single element is taken to be the basepoint.

• A subspace of a pointed space ${\displaystyle X}$ is a topological subspace${\displaystyle A\subseteq X}$ which shares its basepoint with ${\displaystyle X}$ so that the inclusion map is basepoint preserving.
• One can form the quotient of a pointed space ${\displaystyle X}$ under any equivalence relation. The basepoint of the quotient is the image of the basepoint in ${\displaystyle X}$ under the quotient map.
• One can form the product of two pointed spaces ${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ as the topological product${\displaystyle X\times Y}$ with ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$serving as the basepoint.
• The coproduct in the category of pointed spaces is the wedge sum, which can be thought of as the 'one-point union' of spaces.
• The smash product of two pointed spaces is essentially the quotient of the direct product and the wedge sum. We would like to say that the smash product turns the category of pointed spaces into a symmetric monoidal category with the pointed 0-sphere as the unit object, but this is false for general spaces: the associativity condition might fail. But it is true for some more restricted categories of spaces, such as compactly generatedweak Hausdorff ones.
• The reduced suspension${\displaystyle \Sigma X}$ of a pointed space ${\displaystyle X}$ is (up to a homeomorphism) the smash product of ${\displaystyle X}$ and the pointed circle ${\displaystyle S^{1}.}$
• The reduced suspension is a functor from the category of pointed spaces to itself. This functor is left adjoint to the functor ${\displaystyle \Omega }$ taking a pointed space ${\displaystyle X}$ to its loop space${\displaystyle \Omega X}$.

• Category of groups – Category whose objects are groups and whose morphisms are group homomorphisms
• Category of metric spaces – Category whose objects are metric spaces and whose morphisms are metric maps
• Category of sets – Category whose objects are sets and whose morphisms are functions
• Category of topological spaces – Category whose objects are topological spaces and whose morphisms are continuous maps
• Category of topological vector spaces

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Introduction to Topology (second ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• mathoverflow discussion on several base points and groupoids