معادلة لين-إمدن

الموسوعة الحرة
حلول معادلة لين-إمدن لـ n = 0، 1، 2، 3، 4، 5

في الفيزياء الفلكية ، تُعدّ معادلة لين-إمدن صيغةً لا بُعدية لمعادلة بواسون للجهد التثاقلي لسائل نيوتوني متناظر كرويًا، ذي جاذبية ذاتية، ومتعدد الخواص . سُمّيت هذه المعادلة نسبةً إلى عالمي الفيزياء الفلكية جوناثان هومر لين وروبرت إمدن . [ 1 ] نص المعادلة هو:

1ξ2ددξ(ξ2دθدξ)+θن=0،{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}

أينξ{\displaystyle \xi }نصف قطر بلا أبعاد وθ{\displaystyle \theta }يرتبط ذلك بالكثافة، وبالتالي بالضغط، من خلالρ=ρجθن{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}للكثافة المركزيةρج{\displaystyle \rho _{c}}الفهرسن{\displaystyle n}هو مؤشر متعدد الخواص يظهر في معادلة الحالة متعددة الخواص، P=كρ1+1ن{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,} أينP{\displaystyle P}وρ{\displaystyle \rho }يمثلان الضغط والكثافة على التوالي، وك{\displaystyle K}ثابت تناسب. شروط الحدود القياسية هيθ(0)=1{\displaystyle \theta (0)=1}وθ′(0)=0{\displaystyle \theta '(0)=0}وبالتالي، تصف الحلول تغير الضغط والكثافة مع نصف القطر، وتُعرف باسم متعددات الأشكال ذات الدليلن{\displaystyle n}إذا تم استخدام سائل متساوي الحرارة (مؤشر متعدد الخواص يميل إلى اللانهاية) بدلاً من سائل متعدد الخواص، فسيتم الحصول على معادلة إمدن-تشاندراسيكار .

التطبيقات

فيزيائيًا، يربط التوازن الهيدروستاتيكي بين تدرج الجهد والكثافة وتدرج الضغط، بينما تربط معادلة بواسون الجهد بالكثافة. لذا، إذا توفرت لدينا معادلة أخرى تحدد كيفية تغير الضغط والكثافة بالنسبة لبعضهما البعض، يُمكننا التوصل إلى حل. إن اختيار غاز متعدد الخواص كما هو موضح أعلاه يجعل الصياغة الرياضية للمسألة موجزة للغاية، ويؤدي إلى معادلة لين-إمدن. تُعد هذه المعادلة تقريبًا مفيدًا للكرات البلازمية ذاتية الجاذبية، مثل النجوم، ولكنها عادةً ما تُمثل فرضية محدودة.

الاشتقاق

من التوازن الهيدروستاتيكي

لنفترض وجود سائل متناظر كرويًا وذا جاذبية ذاتية في حالة توازن هيدروستاتيكي . الكتلة محفوظة، وبالتالي يمكن وصفها بمعادلة الاستمرارية.دمدر=4πر2ρ{\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho } أينρ{\displaystyle \rho }هي وظيفة منر{\displaystyle r}معادلة التوازن الهيدروستاتيكي هي 1ρدPدر=-جيمر2{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}} أينم{\displaystyle m}وهي أيضاً وظيفة من وظائفر{\displaystyle r}. الاشتقاق مرة أخرى يعطي ددر(1ρدPدر)=2جيمر3-جير2دمدر=-2ρردPدر-4πجيρ\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}} حيث تم استخدام معادلة الاستمرارية لاستبدال تدرج الكتلة. بضرب كلا الطرفين فير2{\displaystyle r^{2}}وجمع مشتقاتP{\displaystyle P}على اليسار، يمكن للمرء أن يكتب ر2ددر(1ρدPدر)+2رρدPدر=ددر(ر2ρدPدر)=-4πجير2ρ{\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }

بقسمة كلا الجانبين علىر2{\displaystyle r^{2}}ينتج عن ذلك، بمعنى ما، شكلٌ ذو أبعاد للمعادلة المطلوبة. وإذا استبدلنا، بالإضافة إلى ذلك، معادلة الحالة متعددة الخواص بـP=كρج1+1نθن+1{\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}وρ=ρجθن{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}لدينا 1ر2ددر(ر2كρج1ن(ن+1)دθدر)=-4πجيρجθن{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}

جمع الثوابت والتعويض بهار=αξ{\displaystyle r=\alpha \xi }، أين α2=(ن+1)كρج1ن-1/4πجي،{\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,} لدينا معادلة لين-إمدن، 1ξ2ددξ(ξ2دθدξ)+θن=0{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}

من معادلة بواسون

وبالمثل، يمكن للمرء أن يبدأ بمعادلة بواسون ، ∇2Φ=1ر2ددر(ر2دΦدر)=4πجيρ{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }

يمكن استبدال تدرج الجهد باستخدام التوازن الهيدروستاتيكي، عبر دΦدر=-1ρدPدر{\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}} وهذا بدوره يؤدي إلى الشكل البُعدي لمعادلة لين-إمدن.

الحلول الدقيقة

For a given value of the polytropic index n{\displaystyle n}, denote the solution to the Lane–Emden equation as θn(ξ){\displaystyle \theta _{n}(\xi )}. In general, the Lane–Emden equation must be solved numerically to find θn{\displaystyle \theta _{n}}. There are exact, analytic solutions for certain values of n{\displaystyle n}, in particular: n=0,1,5{\displaystyle n=0,1,5}. For n{\displaystyle n} between 0 and 5, the solutions are continuous and finite in extent, with the radius of the star given by R=αξ1{\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}, where θn(ξ1)=0{\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}.

For a given solution θn{\displaystyle \theta _{n}}, the density profile is given by ρ=ρcθnn.{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}.}

The total mass M{\displaystyle M} of the model star can be found by integrating the density over radius, from 0 to ξ1{\displaystyle \xi _{1}}.

The pressure can be found using the polytropic equation of state, P=Kρ1+1n{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}, i.e. P=Kρc1+1nθnn+1{\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}

Finally, if the gas is ideal, the equation of state is P=kBρT/μ{\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }, where kB{\displaystyle k_{B}} is the Boltzmann constant and μ{\displaystyle \mu } the mean molecular weight. The temperature profile is then given by T=KμkBρc1/nθn{\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}

In spherically symmetric cases, the Lane–Emden equation is integrable for only three values of the polytropic index n{\displaystyle n}.

For n = 0

If n=0{\displaystyle n=0}, the equation becomes 1ξ2ddξ(ξ2dθdξ)+1=0{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}

Re-arranging and integrating once gives ξ2dθdξ=C1−13ξ3{\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}

Dividing both sides by ξ2{\displaystyle \xi ^{2}} and integrating again gives θ(ξ)=C0−C1ξ−16ξ2{\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}

The boundary conditions θ(0)=1{\displaystyle \theta (0)=1} and θ′(0)=0{\displaystyle \theta '(0)=0} imply that the constants of integration are C0=1{\displaystyle C_{0}=1} and C1=0{\displaystyle C_{1}=0}. Therefore, θ(ξ)=1−16ξ2{\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}

For n = 1

When n=1{\displaystyle n=1}, the equation can be expanded in the form d2θdξ2+2ξdθdξ+θ=0{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}

One assumes a power series solution: θ(ξ)=∑n=0∞anξn{\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}

This leads to a recursive relationship for the expansion coefficients: an+2=−an(n+3)(n+2){\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}

This relation can be solved leading to the general solution: θ(ξ)=a0sin⁡ξξ+a1cos⁡ξξ{\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}

The boundary condition for a physical polytrope demands that θ(ξ)→1{\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1} as ξ→0{\displaystyle \xi \rightarrow 0}. This requires that a0=1,a1=0{\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}, thus leading to the solution: θ(ξ)=sin⁡ξξ{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}

For n = 2

This exact solution was found by accident when searching for zero values of the related TOV Equation.[2]

We consider a series expansion around θ=0{\displaystyle \theta =0}θ=∑m=0∞amξm{\displaystyle \theta =\sum \limits _{m=0}^{\infty }a_{m}\xi ^{m}} with initial values θ|ξ=0=θ0{\displaystyle \theta |_{\xi =0}=\theta _{0}} and dθdξ|ξ=0=0{\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{d\xi }}\right|_{\xi =0}=0}. Plugging this into the Lane–Emden equation, we can show that all odd coefficients of the series vanish a2m+1=0{\displaystyle a_{2m+1}=0}. Furthermore, we obtain a recursive relationship between the even coefficients bm=a2m{\displaystyle b_{m}=a_{2m}} of the series. bm+1=−1(2m+2)(2m+3)∑k=0mbm−kbk{\displaystyle b_{m+1}=-{\frac {1}{(2m+2)(2m+3)}}\sum \limits _{k=0}^{m}b_{m-k}b_{k}} The series converges for ξ≲15.7179{\displaystyle \xi \lesssim 15.7179}.[3]

For n = 5

We start from with the Lane–Emden equation: 1ξ2ddξ(ξ2dθdξ)+θ5=0{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}

Rewriting for dθdξ{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}} produces: dθdξ=12(1+ξ23)3/22ξ3=ξ33[1+ξ23]3/2{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}

Differentiating with respect to ξ leads to: θ5=ξ2[1+ξ23]3/2+3ξ29[1+ξ23]5/2=99[1+ξ23]5/2{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}

Reduced, we come by: θ5=1[1+ξ23]5/2{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}

Therefore, the Lane–Emden equation has the solution θ(ξ)=11+ξ2/3{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}} when n=5{\displaystyle n=5}. This solution is finite in mass but infinite in radial extent, and therefore the complete polytrope does not represent a physical solution. Chandrasekhar believed for a long time that finding other solution for n=5{\displaystyle n=5} "is complicated and involves elliptic integrals".

Srivastava's solution

In 1962, Sambhunath Srivastava found an explicit solution when n=5{\displaystyle n=5}.[4] His solution is given by θ=sin⁡(ln⁡ξ)3ξ−2ξsin2⁡(ln⁡ξ),{\displaystyle \theta ={\frac {\sin(\ln {\sqrt {\xi }})}{\sqrt {3\xi -2\xi \sin ^{2}(\ln {\sqrt {\xi }})}}},} and from this solution, a family of solutions θ(ξ)→Aθ(Aξ){\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow {\sqrt {A}}\,\theta (A\xi )}يمكن الحصول على هذا الحل باستخدام تحويل التماثل. ولأن هذا الحل لا يفي بالشروط عند نقطة الأصل (في الواقع، هو حل تذبذبي تتزايد سعته بلا حدود كلما اقتربنا من نقطة الأصل)، فإنه يمكن استخدامه في النماذج النجمية المركبة.

الحلول التحليلية

في التطبيقات، تلعب الحلول التحليلية التي يمكن التعبير عنها بواسطة متسلسلة قوى متقاربة موسعة حول نقطة ابتدائية معينة دورًا رئيسيًا . عادةً ما تكون نقطة التوسع هيξ=0{\displaystyle \xi =0}وهي أيضًا نقطة شاذة (شذوذ ثابت) للمعادلة، ويتم توفير بعض البيانات الأولية.θ(0){\displaystyle \theta (0)}في مركز النجمة. يمكن إثبات [ 5 ] [ 3 ] أن المعادلة لها متسلسلة قوى متقاربة/حل تحليلي حول نقطة الأصل على النحو التالي: θ(ξ)=θ(0)-θ(0)ن6ξ2+يا(ξ3)،ξ≈0.{\displaystyle \theta (\xi )=\theta (0)-{\frac {\theta (0)^{n}}{6}}\xi ^{2}+O(\xi ^{3}),\quad \xi \approx 0.}

الحل العددي لمعادلة لين-إمدن في المستوى المركب.
الحل العددي للحل التحليلي لمعادلة لين-إمدن في المستوى المركب لـن=5{\displaystyle n=5}،θ(0)=2{\displaystyle \theta (0)=2}تظهر نقطتان متحركتان على المحور التخيلي. وتحدّان نصف قطر تقارب الحل التحليلي حول نقطة الأصل. وذلك لقيم مختلفة للبيانات الأولية وص{\displaystyle p}يختلف موقع النقاط الشاذة، ومع ذلك فهي تقع بشكل متناظر على المحور التخيلي. [ 6 ]

نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة محدود بسبب وجود نقطتين شاذتين [ 3 ] [ 7 ] على المحور التخيلي في المستوى المركب . تقع هاتان النقطتان الشاذتان بشكل متناظر حول نقطة الأصل. ويتغير موقعهما بتغيير معلمات المعادلة والشرط الابتدائي .θ(0){\displaystyle \theta (0)}ولذلك، تُسمى هذه النقاط بالنقاط الشاذة المتحركة، وذلك نسبةً إلى تصنيف بول بانليفيه لنقاط الشذوذ في المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية في المستوى المركب . ويظهر هيكل مشابه لنقاط الشذوذ في معادلات غير خطية أخرى ناتجة عن اختزال مؤثر لابلاس في التناظر الكروي، مثل معادلة الكرة متساوية الحرارة. [ 7 ]

يمكن توسيع الحلول التحليلية على طول خط الأعداد الحقيقية باستخدام إجراء الاستمرار التحليلي ، مما ينتج عنه الشكل الكامل لنوى النجوم أو السحب الجزيئية . كما يمكن مطابقة حلين تحليليين متداخلين في دوائر التقارب للحصول على حل نطاق أكبر، وهي طريقة شائعة الاستخدام لبناء خصائص محددة.

يُستخدم حل المتسلسلة أيضًا في التكامل العددي للمعادلة. ويُستخدم لإزاحة البيانات الأولية للحل التحليلي قليلًا عن نقطة الأصل، حيث تفشل الطرق العددية عند نقطة الأصل بسبب تفرد المعادلة.

الحلول العددية

بشكل عام، يتم إيجاد الحلول عن طريق التكامل العددي. تتطلب العديد من الطرق القياسية صياغة المسألة كنظام من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى . على سبيل المثال، [ 8 ]

دθدξ=-φξ2دφدξ=θنξ2{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\varphi }{\xi ^{2}}}\\[6pt]&{\frac {d\varphi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}\end{aligned}}}

هنا،φ(ξ){\displaystyle \varphi (\xi )}يُفسَّر على أنه الكتلة عديمة الأبعاد، والمحددة بواسطةم(ر)=4πα3ρجφ(ξ){\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\varphi (\xi )}الشروط الأولية ذات الصلة هيφ(0)=0{\displaystyle \varphi (0)=0}وθ(0)=1{\displaystyle \theta (0)=1}تمثل المعادلة الأولى التوازن الهيدروستاتيكي، وتمثل الثانية حفظ الكتلة.

المتغيرات المتماثلة

معادلة ثابتة تحت تأثير التماثل

من المعروف أنه إذاθ(ξ){\displaystyle \theta (\xi )}إذا كان حلاً لمعادلة لين-إمدن، فإن كذلكج2/ن+1θ(جξ){\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}[ 9 ] تُسمى الحلول المرتبطة بهذه الطريقة بالحلول المتجانسة ؛ والعملية التي تُحوّلها تُسمى التجانس . إذا اخترنا متغيرات ثابتة في التجانس، فيمكننا تقليل رتبة معادلة لين-إمدن بمقدار واحد.

توجد مجموعة متنوعة من هذه المتغيرات. والخيار المناسب هو يو=دسجل⁡مدسجل⁡ر=ξ3θنφ{\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\varphi }}} و V=دسجل⁡Pدسجل⁡ر=(ن+1)φξθ{\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\varphi }{\xi \theta }}}

يمكننا اشتقاق لوغاريتمات هذه المتغيرات بالنسبة إلىξ{\displaystyle \xi }، مما يعطي 1يوديودξ=1ξ(3-ن(ن+1)-1V-يو){\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(3-n(n+1)^{-1}V-U\right)} و 1VدVدξ=1ξ(-1+يو+(ن+1)-1V).{\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(-1+U+(n+1)^{-1}V\right).}

وأخيرًا، يمكننا تقسيم هاتين المعادلتين للتخلص من الاعتماد علىξ{\displaystyle \xi }مما يترك دVديو=-Vيو(يو+(ن+1)-1V-1يو+ن(ن+1)-1V-3).{\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right).}

أصبحت هذه الآن معادلة واحدة من الدرجة الأولى.

طوبولوجيا المعادلة الثابتة تحت تأثير التماثل

يمكن اعتبار المعادلة الثابتة تحت تأثير التماثل بمثابة زوج مستقل من المعادلات ديودسجل⁡ξ=-يو(يو+ن(ن+1)-1V-3){\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U\left(U+n(n+1)^{-1}V-3\right)} و دVدسجل⁡ξ=V(يو+(ن+1)-1V-1).{\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V\left(U+(n+1)^{-1}V-1\right).}

يمكن تحديد سلوك حلول هذه المعادلات من خلال تحليل الاستقرار الخطي . النقاط الحرجة للمعادلة (حيثدV/دسجل⁡ξ=ديو/دسجل⁡ξ=0{\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}) والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة جاكوبي مُدرجة في الجدول أدناه. [ 10 ]

نقطة حرجةالقيم الذاتيةالمتجهات الذاتية
(0،0){\displaystyle (0,0)}3،-1{\displaystyle 3,-1}(1،0)،(0،1){\displaystyle (1,0),(0,1)}
(3،0){\displaystyle (3,0)}-3،2{\displaystyle -3,2}(1،0)،(-3ن،5+5ن){\displaystyle (1,0),(-3n,5+5n)}
(0،ن+1){\displaystyle (0,n+1)}1،3-ن{\displaystyle 1,3-n}(0،1)،(2-ن،1+ن){\displaystyle (0,1),(2-n,1+n)}
(ن-3ن-1،2ن+1ن-1){\displaystyle \left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)}ن-5±Δن2-2ن{\displaystyle {\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}}(1-ن∓Δن،4+4ن){\displaystyle (1-n\mp \Delta _{n},4+4n)}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ لين، جوناثان هومر (1870). "حول درجة الحرارة النظرية للشمس، بافتراض وجود كتلة غازية تحافظ على حجمها بحرارتها الداخلية، واعتمادًا على قوانين الغازات كما هو معروف في التجارب الأرضية" . المجلة الأمريكية للعلوم . 2. 50 (148): 57-74 . Bibcode : 1870AmJS...50...57L . doi : 10.2475/ajs.s2-50.148.57 . ISSN 0002-9599 . S2CID 131102972 .  
  2. ↑ بلاير، جوناس. "القيم الصفرية لمعادلة TOV" . جيت هاب . تم الاطلاع عليه في 4 يناير 2024 .
  3. 1 2 3 هنتر، سي. (11 ديسمبر 2001). "حلول متسلسلة للبوليتروب والكرة متساوية الحرارة" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 328 (3): 839-847 . Bibcode : 2001MNRAS.328..839H . doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04914.x . ISSN 0035-8711 . 
  4. ↑ سريفاستافا، شامبوناث (1962). "حل جديد لمعادلة لين-إمدن ذات الدليل n=5". المجلة الفيزيائية الفلكية . 136 : 680. Bibcode : 1962ApJ...136..680S . doi : 10.1086/147421 . ISSN 0004-637X . 
  5. ↑ كيسيا، رادوسلاف أنتوني (2020). "معادلات لين-إمدن المضطربة كمسألة قيمة حدية ذات نقاط نهاية شاذة" . مجلة الأنظمة الديناميكية والتحكم . 26 (2): 333-347 . arXiv : 1810.01410 . doi : 10.1007/s10883-019-09445-6 . ISSN 1079-2724 . 
  6. ↑ كيسيا، رادوسلاف أنتوني؛ فيليبك، غالينا (2015)، "حول حالات التفرد في معادلات إمدن-فاولر" ، في ميتيوشيف، فلاديمير ف.؛ روزانسكي، مايكل ف. (محرران)، الاتجاهات الحالية في التحليل وتطبيقاته ، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، ص 93-99 ، doi : 10.1007/978-3-319-12577-0_13 ، ISBN  978-3-319-12576-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 يوليو 2020
  7. 1 2 كيسيا، رادوسلاف أنتوني؛ فيليبك، غالينا (2015). "حول معادلات إمدن-فاولر المعممة ومعادلات الكرات متساوية الحرارة" . الرياضيات التطبيقية والحساب . 265 : 1003-1010 . doi : 10.1016/j.amc.2015.05.140 .
  8. ↑ هانسن، كارل جيه؛ كاولر، ستيفن دي؛ تريمبل، فيرجينيا (2004). باطن النجوم: المبادئ الفيزيائية، والبنية، والتطور . نيويورك، نيويورك: سبرينغر. ص 338. ISBN  9780387200897.
  9. ↑ تشاندراسيكار، سوبرامانيان (1957) [1939]. مقدمة لدراسة بنية النجوم . دوفر. Bibcode : 1939isss.book.....C . ISBN 978-0-486-60413-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  10. ↑ هوريدت، جورج ب. (1987). "طوبولوجيا معادلة لين-إمدن". علم الفلك والفيزياء الفلكية . 117 ( 1-2 ): 117-130 . رمز Bibcode : 1987A & A...177..117H . ISSN 0004-6361 . 

للمزيد من القراءة