التوازن الهيدروستاتيكي

تنص قوانين نيوتن للحركة على أن حجمًا من سائل ساكن أو في حالة سرعة ثابتة لا يتعرض لأي قوة محصلة. وهذا يعني أن مجموع القوى في اتجاه معين يجب أن يقابله مجموع مساوٍ من القوى في الاتجاه المعاكس. ويُسمى هذا التوازن في القوى بالتوازن الهيدروستاتيكي.

يمكن تقسيم السائل إلى عدد كبير من عناصر الحجم المكعبة ؛ ومن خلال النظر في عنصر واحد، يمكن اشتقاق فعل السائل.

هناك ثلاث قوى: القوة المؤثرة لأسفل على الجزء العلوي من متوازي المستطيلات من ضغط السائل الموجود فوقه ، P ، وذلك وفقًا لتعريف الضغط ، $${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$ وبالمثل، فإن القوة المؤثرة على عنصر الحجم من ضغط السائل الموجود أسفله والذي يدفع لأعلى هي $${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

وأخيرًا، يتسبب وزن عنصر الحجم في قوة متجهة للأسفل. إذا كانت الكثافة ρ ، والحجم V ، و g هي تسارع الجاذبية الأرضية القياسي ، فإن: $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$ حجم هذا المكعب يساوي مساحة الجزء العلوي أو السفلي مضروبة في الارتفاع  - وهي الصيغة المستخدمة لإيجاد حجم المكعب. $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

من خلال موازنة هذه القوى، تكون القوة الكلية المؤثرة على السائل هي $${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$ يساوي هذا المجموع صفرًا إذا كانت سرعة السائل ثابتة. بالقسمة على A، $${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$ أو، $${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$_{يمثل الفرق} بين الضغط _العلوي والضغط السفلي تغيرًا في الضغط، بينما يمثل h ارتفاع عنصر الحجم، أي تغيرًا في المسافة فوق سطح الأرض. وبما أن هذه التغيرات متناهية الصغر، يمكن كتابة المعادلة في صورة تفاضلية . $${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$ تتغير الكثافة بتغير الضغط، وتتغير الجاذبية بتغير الارتفاع، لذا ستكون المعادلة كالتالي: $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

وأخيرًا، تجدر الإشارة إلى أنه يمكن اشتقاق هذه المعادلة الأخيرة عن طريق حل معادلات نافيير-ستوكس ثلاثية الأبعاد لحالة التوازن حيث $${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$ إذن، المعادلة الوحيدة غير التافهة هي${\displaystyle z}$المعادلة، والتي تُقرأ الآن $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$ وبالتالي، يمكن اعتبار التوازن الهيدروستاتيكي حلاً بسيطاً بشكل خاص لمعادلة نافيير-ستوكس.

عن طريق إدخال موتر الطاقة والزخم لسائل مثالي$${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$ في معادلات مجال أينشتاين$${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$ وباستخدام شرط الحفظ $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$ يمكن للمرء أن يستنتج معادلة تولمان-أوبنهايمر-فولكوف لبنية نجم نسبي ثابت ومتناظر كرويًا في إحداثيات متساوية الخواص: $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$ عمليًا، ترتبط Ρ و ρ بمعادلة حالة على شكل f ( Ρ , ρ )  =  0، حيث f خاصة بتكوين النجم. M ( r ) عبارة عن تسلسل من الكرات الموزونة بكثافة الكتلة ρ ( r )، حيث يكون نصف قطر أكبر كرة r . $${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$ وفقًا للإجراء القياسي في حساب النهاية غير النسبية، نجعل c → ∞ ، بحيث يكون العامل $${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$ لذلك، في الحد غير النسبي، تختزل معادلة تولمان-أوبنهايمر-فولكوف إلى توازن نيوتن الهيدروستاتيكي: $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$ (لقد أجرينا تغييرًا بسيطًا في الترميز h  = r واستخدمنا f ( Ρ , ρ ) = 0 للتعبير عن ρ بدلالة P ). ^{[ 4 ]} يمكن حساب معادلة مماثلة للنجوم الدوارة ذات التناظر المحوري، والتي تُكتب في شكلها المستقل عن القياس كما يلي:    $${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$ بخلاف معادلة توازن TOV، فإن هاتين معادلتان (على سبيل المثال، إذا تم اختيار الإحداثيات الكروية كإحداثيات أساسية، كما هو معتاد عند التعامل مع النجوم).${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$، يشير الفهرس i إلى الإحداثيات r و${\displaystyle \theta }$).

يتعلق التوازن الهيدروستاتيكي بعلم السوائل الساكنة ومبادئ توازن السوائل . والميزان الهيدروستاتيكي هو ميزان خاص يُستخدم لوزن المواد في الماء، مما يسمح بحساب كثافتها النوعية . ينطبق هذا التوازن بدقة عندما يكون المائع المثالي في تدفق أفقي منتظم، وعندما يكون أي مائع ساكنًا أو متحركًا رأسيًا بسرعة ثابتة. كما يمكن أن يكون تقريبًا مقبولًا عندما تكون سرعات التدفق منخفضة بما يكفي لإهمال التسارع.

منذ عهد إسحاق نيوتن، أُجريت دراسات عديدة حول موضوع التوازن الذي يتحقق عند دوران سائل في الفضاء. وينطبق هذا على النجوم والأجرام السماوية كالكواكب، التي ربما كانت سائلة في الماضي، أو التي تتشوه مادتها الصلبة كسائل عند تعرضها لإجهادات عالية جدًا.

في أي طبقة من طبقات النجم، يوجد توازن هيدروستاتيكي بين تدرج الضغط الدافع للخارج ووزن المادة التي تعلوه والضاغطة للداخل. ويمكن دراسة الكواكب أيضًا بافتراض التوازن الهيدروستاتيكي. عادةً ما يكون النجم أو الكوكب الدوار في حالة توازن هيدروستاتيكي على شكل كروي مفلطح ، وهو شكل بيضاوي يكون فيه محوران رئيسيان متساويين في الطول وأطول من المحور الثالث.

ومن الأمثلة على هذه الظاهرة نجم فيغا ، الذي تبلغ مدة دورانه 12.5 ساعة. ونتيجة لذلك، يكون حجم فيغا عند خط الاستواء أكبر بنحو 20% منه بين القطبين.

في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) عام 1687 ، ذكر نيوتن بشكل صحيح أن سائلًا دوارًا ذو كثافة منتظمة تحت تأثير الجاذبية سيتخذ شكلًا كرويًا، وأن الجاذبية (بما في ذلك تأثير قوة الطرد المركزي ) ستكون أضعف عند خط الاستواء منها عند القطبين بمقدار يساوي (على الأقل تقاربًا ) خمسة أرباع قوة الطرد المركزي عند خط الاستواء. ^{[ 5 ]} في عام 1742، نشر كولن ماكلورين أطروحته عن التدفقات، حيث بيّن أن الشكل الكروي هو حل دقيق. إذا رمزنا لنصف القطر الاستوائي بـ${\displaystyle r_{e},}$نصف القطر القطبي بواسطة${\displaystyle r_{p},}$والغرابة من قبل${\displaystyle \epsilon ,}$مع

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

وجد أن الجاذبية عند القطبين هي ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية،${\displaystyle \rho }$هي الكثافة (الموحدة)، و${\displaystyle M}$الكتلة الكلية. نسبة هذه الكتلة إلى${\displaystyle g_{0},}$تقترب قيمة الجاذبية، إذا لم يكن السائل يدور، من قيمة معينة.

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

مثل${\displaystyle \epsilon }$يؤول إلى الصفر، حيث${\displaystyle f}$التسطيح:

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

قوة الجذب التثاقلي على خط الاستواء (باستثناء قوة الطرد المركزي) هي

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

بشكل تقاربي، لدينا:

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

أظهر ماكلورين (في حالة الكثافة المنتظمة) أن مركبة الجاذبية باتجاه محور الدوران تعتمد فقط على المسافة من المحور وتتناسب معها، وأن المركبة باتجاه مستوى خط الاستواء تعتمد فقط على المسافة من ذلك المستوى وتتناسب معها. وكان نيوتن قد أشار سابقًا إلى أن الجاذبية المحسوسة على خط الاستواء (بما في ذلك البرق الناتج عن قوة الطرد المركزي) يجب أن تكون${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$لكي يكون الضغط متساوياً في قاع القنوات من القطب أو من خط الاستواء إلى المركز، يجب أن تكون قوة الطرد المركزي عند خط الاستواء

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

بتعريف خط العرض بأنه الزاوية بين المماس لخط الزوال ومحور الدوران، فإن إجمالي الجاذبية المحسوسة عند خط العرض${\displaystyle \phi }$(بما في ذلك تأثير قوة الطرد المركزي) هو

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

يكون حل الشكل الكروي هذا مستقرًا حتى قيمة معينة (حرجة) لعزم الدوران (مُقاسًا بـ${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$)، ولكن في عام 1834، أظهر كارل جاكوبي أنه يصبح غير مستقر بمجرد أن تصل اللامركزية إلى 0.81267 (أو${\displaystyle f}$تصل إلى 0.3302). فوق القيمة الحرجة، يصبح الحل قطعًا ناقصًا جاكوبي، أو قطعًا ناقصًا مختلف الأضلاع (أي أن محاوره الثلاثة مختلفة). اكتشف هنري بوانكاريه عام 1885 أنه عند عزم زاوي أعلى، لن يكون الشكل بيضاويًا، بل بيضاويًا أو كمثريًا . ينخفض ​​التناظر من المجموعة النقطية D _2h ذات التناظر الثماني إلى المجموعة النقطية C _2v ذات التناظر الرباعي، ويكون محوره عموديًا على محور الدوران. ^{[ 7 ]} تحقق أشكال أخرى المعادلات بعد ذلك، لكنها غير مستقرة، على الأقل ليس بالقرب من نقطة التشعب . ^{[ 7 ] [ 8 ]} لم يكن بوانكاريه متأكدًا مما سيحدث عند عزم زاوي أعلى، لكنه استنتج أن الشكل سينقسم في النهاية إلى قسمين.

قد ينطبق افتراض الكثافة المنتظمة إلى حد ما على الكواكب المنصهرة أو الصخرية، ولكنه لا ينطبق على النجوم أو الكواكب ذات النواة المعدنية الكثيفة كالأرض. في عام 1737، درس ألكسيس كليروت حالة تغير الكثافة مع العمق. ^{[ 9 ]} تنص نظرية كليروت على أن تغير الجاذبية (بما في ذلك قوة الطرد المركزي) يتناسب طرديًا مع مربع جيب خط العرض، وتعتمد هذه النسبة خطيًا على التسطح (${\displaystyle f}$) ونسبة قوة الطرد المركزي إلى قوة الجذب عند خط الاستواء. (قارن بالعلاقة الدقيقة أعلاه لحالة الكثافة المنتظمة). تُعدّ نظرية كليرو حالة خاصة للشكل الكروي المفلطح، وهي علاقة اكتشفها لاحقًا بيير سيمون لابلاس بين الشكل وتغير الجاذبية. ^{[ 10 ]}

إذا كان للنجم جرم سماوي ضخم قريب، أو كان القمر مقيدًا مدّيًا، فإن قوى المد والجزر تدخل حيز التنفيذ أيضًا، مما يشوه شكل النجم أو القمر إلى شكل مختلف الأضلاع حتى لو كان الدوران وحده كافيًا لجعله كرويًا. ومن أمثلة ذلك نجمي بيتا ليرا وميماس .

يُعد التوازن الهيدروستاتيكي مهمًا أيضًا للوسط بين العناقيد ، حيث أنه يحد من كمية السوائل التي يمكن أن تكون موجودة في قلب عنقود المجرات .

يمكننا أيضًا استخدام مبدأ التوازن الهيدروستاتيكي لتقدير تشتت سرعة المادة المظلمة في عناقيد المجرات. المادة الباريونية فقط (أو بالأحرى تصادماتها) هي التي تُصدر إشعاعًا بالأشعة السينية . يأخذ اللمعان المطلق للأشعة السينية لكل وحدة حجم الشكل التالي:${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$أين${\displaystyle T_{B}}$و${\displaystyle \rho _{B}}$وهما درجة حرارة وكثافة المادة الباريونية، و${\displaystyle \Lambda (T)}$هي دالة لدرجة الحرارة وثوابت أساسية. تحقق الكثافة الباريونية المعادلة المذكورة أعلاه.${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$:$${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ يمثل التكامل مقياسًا للكتلة الإجمالية للعنقود، مع${\displaystyle r}$وهي المسافة المناسبة إلى مركز المجموعة. باستخدام قانون الغاز المثالي${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$(${\displaystyle k}$هو ثابت بولتزمان و${\displaystyle m_{B}}$(وهي كتلة مميزة لجزيئات الغاز الباريوني) وبإعادة الترتيب، نصل إلى $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ الضرب في${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$والتمييز فيما يتعلق بـ${\displaystyle r}$العائد $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ إذا افترضنا أن جسيمات المادة المظلمة الباردة لها توزيع سرعة متساوي الخواص، فإن نفس الاشتقاق ينطبق على هذه الجسيمات، وكثافتها.${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$يحقق المعادلة التفاضلية غير الخطية $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ بفضل بيانات الأشعة السينية والمسافة المثالية، يمكننا حساب كثافة الباريونات عند كل نقطة في العنقود، وبالتالي كثافة المادة المظلمة. ومن ثم يمكننا حساب تشتت السرعة.${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$من المادة المظلمة، والتي تُعطى بواسطة $${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$ نسبة الكثافة المركزية${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$يعتمد على الانزياح الأحمر${\displaystyle z}$من المجموعة ويتم تحديده بواسطة $${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$ أين${\displaystyle \theta }$يمثل العرض الزاوي للمجموعة و${\displaystyle s}$المسافة المناسبة إلى المجموعة. تتراوح قيم النسبة من 0.11 إلى 0.14 في مختلف الدراسات الاستقصائية. ^{[ 11 ]}

أصبح مفهوم التوازن الهيدروستاتيكي ذا أهمية بالغة في تحديد ما إذا كان جرم سماوي كوكبًا ، أو كوكبًا قزمًا ، أو جرمًا صغيرًا في النظام الشمسي . ووفقًا لتعريف الكوكب الذي اعتمده الاتحاد الفلكي الدولي عام 2006، فإن إحدى السمات المميزة للكواكب والكواكب القزمة هي امتلاكها جاذبية كافية للتغلب على صلابتها الذاتية والوصول إلى حالة التوازن الهيدروستاتيكي. غالبًا ما يمتلك هذا الجرم باطنًا وجيولوجيا متمايزة تشبه عوالم الكواكب ، ولكن الأجرام شبه الهيدروستاتيكية أو التي كانت هيدروستاتيكية سابقًا، مثل الكوكب الأولي 4 فيستا، قد تكون متمايزة أيضًا، وبعض الأجرام الهيدروستاتيكية (ولا سيما كاليستو ) لم تتمايز بشكل كامل منذ تكوينها. في كثير من الأحيان، يكون شكل التوازن كرويًا مفلطحًا ، كما هو الحال مع الأرض. ومع ذلك، في حالة الأقمار التي تدور في مدارات متزامنة ، تُشكل قوى المد والجزر أحادية الاتجاه تقريبًا شكلًا بيضاويًا مختلف الأضلاع . أيضًا، فإن الكوكب القزم المزعوم هاوميا مختلف الأضلاع بسبب دورانه السريع على الرغم من أنه قد لا يكون في حالة توازن حاليًا.

كان يُعتقد سابقًا أن الأجسام الجليدية تحتاج إلى كتلة أقل للوصول إلى حالة التوازن الهيدروستاتيكي مقارنةً بالأجسام الصخرية. أصغر جسم يبدو أنه في حالة توازن هي قمر ميمس الجليدي بقطر 396  كم، بينما أكبر جسم جليدي معروف بشكله غير المتوازن هو قمر بروتيوس الجليدي بقطر 420  كم، وأكبر الأجسام الصخرية ذات الشكل غير المتوازن هما الكويكبان بالاس وفيستا بقطر حوالي 520 كم. مع ذلك، فإن ميمس ليس في حالة توازن هيدروستاتيكي لدورانه الحالي. أصغر جسم مؤكد أنه في حالة توازن هيدروستاتيكي هو الكوكب القزم سيريس ، وهو جليدي بقطر 945 كم، وأكبر جسم معروف بانحرافه الملحوظ عن التوازن الهيدروستاتيكي هو إيابيتوس ، الذي يتكون في معظمه من جليد نفاذ ولا يحتوي تقريبًا على صخور. ^{[ 12 ]} يبلغ قطر إيابيتوس 1469 كم، وهو ليس كرويًا ولا بيضاويًا. بدلاً من ذلك، يتخذ شكلاً غريباً يشبه الجوزة بسبب حافته الاستوائية الفريدة . ^{[ 13 ]} قد تكون بعض الأجرام الجليدية في حالة توازن، جزئياً على الأقل، بفضل وجود محيط تحت سطحها، وهو ما لا يتوافق مع تعريف التوازن الذي يستخدمه الاتحاد الفلكي الدولي (حيث تتغلب الجاذبية على قوى الجسم الصلب الداخلية). حتى الأجرام الأكبر حجماً تنحرف عن التوازن الهيدروستاتيكي، على الرغم من شكلها الإهليلجي: ومن الأمثلة على ذلك قمر الأرض الذي يبلغ قطره 3474 كم (معظمه صخور)، ^{[ 14 ]} وكوكب عطارد الذي يبلغ قطره 4880 كم (معظمه معادن). ^{[ 15 ]}     

في عام 2024، وجد كيس وزملاؤه أن شكل كواوار بيضاوي الشكل، وهو ما لا يتوافق مع التوازن الهيدروستاتيكي لدورانه الحالي. افترضوا أن كواوار كان يدور بسرعة في الأصل وكان في حالة توازن هيدروستاتيكي، لكن شكله "تجمد" ولم يتغير مع تباطؤ دورانه بسبب قوى المد والجزر من قمره ويوت . ^{[ 16 ]} إذا كان الأمر كذلك، فسيشبه هذا وضع إيابيتوس، الذي يُعدّ مفلطحًا جدًا بالنسبة لدورانه الحالي. ^{[ 17 ] [ 18 ]} ومع ذلك، لا يزال إيابيتوس يُعتبر عمومًا قمرًا ذا كتلة كوكبية ^{[ 19 ]} ، وإن لم يكن ذلك دائمًا. ^{[ 20 ]}

تتميز الأجسام الصلبة بأسطح غير منتظمة، لكن قد تتوافق بعض هذه الاختلالات الموضعية مع حالة التوازن الكلي. فعلى سبيل المثال، أدت القاعدة الضخمة لأعلى جبل على وجه الأرض، ماونا كيا ، إلى تشوه وانخفاض مستوى القشرة المحيطة به، وبالتالي يقترب التوزيع الكلي للكتلة من حالة التوازن.

في الغلاف الجوي، ينخفض ​​ضغط الهواء مع ازدياد الارتفاع. يُسبب فرق الضغط هذا قوةً صاعدةً تُسمى قوة تدرج الضغط . تُوازن قوة الجاذبية الهابطة هذه القوة، مما يُبقي الغلاف الجوي مُرتبطًا بالأرض ويُحافظ على فروق الضغط مع الارتفاع. تبقى هذه القوى متوازنةً على نطاقات واسعة ، مما يسمح بتقدير معقول لضغط الهواء عند الارتفاع المُحدد. ^{[ 21 ]} وهذا يُتيح استخدام الضغط كإحداثية رأسية . ^{[ 22 ]} يُشير هذا التوازن إلى أن الحركات الرأسية واسعة النطاق في الغلاف الجوي للأرض ضئيلةٌ مُقارنةً بالحركات الأفقية، وتُظهر الملاحظات أن هذا التوازن يُحافظ عليه في حدود 1% على هذه النطاقات. ^{[ 23 ]} يُشكل افتراض التوازن الهيدروستاتيكي أساسًا للتقريب الهيدروستاتيكي لمعادلات نافيير-ستوكس ، ويُستخدم في العديد من نماذج الغلاف الجوي . ^{[ 24 ]} على نطاقات أصغر، كما هو الحال داخل العواصف الرعدية ، تُصبح الانحرافات في التدفق عن التوازن الهيدروستاتيكي كبيرة. ^{[ 21 ]}