قلم رصاص ليفشيتز

في الرياضيات ، قلم ليفشيتز هو بناء في الهندسة الجبرية ابتكره سولومون ليفشيتز ، ويستخدم لتحليل الطوبولوجيا الجبرية لمتنوعة جبرية${\displaystyle V}$.

القلم الرصاص هو نوع خاص من نظام القواسم الخطية على${\displaystyle V}$، أي عائلة ذات مُعامل واحد، مُعَلمة بالخط الإسقاطي . وهذا يعني أنه في حالة التنوع الجبري المعقد${\displaystyle V}$قلم ليفشيتز يشبه إلى حد ما التليف فوق كرة ريمان ؛ ولكن مع شرطين يتعلقان بالتفرد.

تظهر النقطة الأولى إذا افترضنا أن${\displaystyle V}$يُعطى على أنه نوع إسقاطي ، والقواسم على${\displaystyle V}$هي مقاطع المستويات الفائقة . لنفترض مستويات فائقة معطاة${\displaystyle H}$ و${\displaystyle H'}$، أي ما يعادل طول القلم الرصاص — بعبارة أخرى،${\displaystyle H}$يُعطى بواسطة${\displaystyle L=0}$ و${\displaystyle H'}$بواسطة${\displaystyle L'=0}$بالنسبة للأشكال الخطية${\displaystyle L}$و${\displaystyle L'}$، والمقطع الفائق العام هو${\displaystyle V}$تقاطع مع

${\displaystyle \lambda L+\mu L^{\prime }=0.\ }$

ثم التقاطع${\displaystyle J}$ل${\displaystyle H}$مع${\displaystyle H'}$؛ له بُعد مشترك اثنان. يوجد تطبيق منطقي

${\displaystyle V\rightarrow P^{1}\$ :\ p\mapsto \left[L'(p):-L(p)\right]}

وهو في الواقع محدد جيدًا فقط خارج النقاط الواقعة على تقاطع${\displaystyle J}$مع${\displaystyle V}$لإنشاء خريطة محددة جيدًا، يجب تطبيق بعض التضخيم على${\displaystyle V}$.

النقطة الثانية هي أن الألياف نفسها قد "تتدهور" وتكتسب نقاطًا شاذة (حيثما تنطبق مبرهنة بيرتيني ، يكون المقطع الفائق العام أملسًا). يقيد قلم ليفشيتز طبيعة النقاط الشاذة المكتسبة، بحيث يمكن تحليل الطوبولوجيا باستخدام طريقة الدورة المتلاشية . يجب أن تحتوي الألياف ذات النقاط الشاذة على نقطة شاذة تربيعية فريدة فقط. ^{[ 1 ]}

لقد ثبت وجود حزم ليفشيتز في خاصية الصفر . وهي تُطبَّق بطرق مشابهة، ولكنها أكثر تعقيدًا، لدوال مورس على المشعبات الملساء . كما ثبت أيضًا وجود حزم ليفشيتز في خاصية p لطوبولوجيا إيتال.

وجد سيمون دونالدسون دورًا لحزم ليفشيتز في الطوبولوجيا التبسيطية ، مما أدى إلى اهتمام بحثي أحدث بها.

• نظرية بيكارد-ليفشيتز

• دونالدسون، سيمون ك. (1998). "تليفات ليفشيتز في الهندسة التبسيطية". دوكومنتا ماثيماتيكا (وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، المجلد الثاني (برلين، 1998)). المجلد الإضافي الثاني: 309-314 . MR 1648081 . 
• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جو (1994). مبادئ الهندسة الجبرية . مكتبة وايلي كلاسيكس. وايلي إنترساينس. ص  509. ISBN 0-471-05059-8.

• جومبف، روبرت (2005). "ما هو قلم ليفشيتز؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 52 (8).
• جومبف، روبرت (2001). "طوبولوجيا المشعبات التبسيطية" (ملف PDF) . المجلة التركية للرياضيات . 25 : 43-59 . MR 1829078. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2022-02-06.