نظرية ليفيتزكي

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ونظرية المُثُل الصفرية ، تنص نظرية ليفيتزكي، نسبةً إلى جاكوب ليفيتزكي ، على أنه في حلقة نوثرية يمنى، يكون كل مُثُل صفري أحادي الجانب بالضرورة مُثُلًا صفريًا . ^{[ 1 ] [ 2 ]} تُعدّ نظرية ليفيتزكي إحدى النتائج العديدة التي تُشير إلى صحة حدسية كوث ، وقد قدّمت بالفعل حلًا لإحدى مسائل كوث كما هو موضح في ( ليفيتزكي 1945 ) . وقد قُدّمت النتيجة في الأصل عام 1939 في ( ليفيتزكي 1950 ) ، وقُدّم برهان بسيط لها في ( أوتومي 1963 ) .

هذه هي حجة أوتومي كما وردت في ( لام 2001 ، ص 164-165)

اللمة ^{[ 3 ]}

افترض أن R يحقق شرط السلسلة التصاعدية على المبيدات من الشكل${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$حيث a ينتمي إلى R. إذن

1. أي مثالي أحادي الجانب صفري موجود في الجذر الصفري السفلي Nil _* ( R )؛
2. كل مثال أيمن غير صفري يحتوي على مثال أيمن غير صفري.
3. كل مثالي يساري غير صفري يحتوي على مثالي يساري غير صفري عديم القوة.

نظرية ليفيتزكي ^{[ 4 ]}

لتكن R حلقة نوثرية يمنى. عندئذٍ، يكون كل مثالي أحادي الجانب صفري في R مثاليًا صفريًا. في هذه الحالة، يتساوى الجذران الصفريان العلوي والسفلي، وعلاوة على ذلك، يُعد هذا المثالي أكبر مثالي صفري بين المثاليات الصفرية اليمنى وبين المثاليات الصفرية اليسرى.

البرهان : بالنظر إلى اللمة السابقة ، يكفي إثبات أن الجذر الصفري السفلي لـ R هو جذر صفري. ولأن R حلقة نوثرية يمنى، يوجد مثالي صفري أقصى N. وبسبب كبرية N ، فإن حلقة القسمة R / N لا تحتوي على مثاليات صفرية غير صفرية، لذا فإن R / N حلقة شبه أولية . ونتيجة لذلك، يحتوي N على الجذر الصفري السفلي لـ R. وبما أن الجذر الصفري السفلي يحتوي على جميع المثاليات الصفرية، فإنه يحتوي أيضًا على N ، وبالتالي فإن N يساوي الجذر الصفري السفلي.

• المثال العقيم
• تخمين كوث
• جاكوبسون الراديكالي

• إسحاق، آي. مارتن (1993)، الجبر، دورة دراسات عليا (  الطبعة الأولى)، شركة بروكس/كول للنشر، رقم ISBN 0-534-19002-2
• هيرستين، إنديانا (1968)، الحلقات غير التبادلية (  الطبعة الأولى)، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-88385-015-X
• لام، تي واي (2001)، دورة تمهيدية في الحلقات غير التبادلية ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-95183-6
• Levitzki، J. (1950)، “في الأنظمة المضاعفة” ، Compositio Mathematica ، 8 : 76–80 ، MR 0033799 . 
• ليفيتزكي، جاكوب (1945)، "حل مسألة لـ ج. كويثه"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 67 (3)، مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 437-442 ، doi : 10.2307/2371958 ، ISSN 0002-9327 ، JSTOR 2371958 ، MR 0012269   
• أوتومي، يوزو (1963)، "ملاحظات رياضية: نظرية ليفيتزكي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 70 (3)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 286، doi : 10.2307/2313127 ، hdl : 10338.dmlcz/101274 ، ISSN 0002-9890 ، JSTOR 2313127 ، MR 1532056