حلقة شبه رئيسية

في نظرية الحلقات ، وهي فرع من فروع الرياضيات، تُعدّ المُثُل شبه الأولية والحلقات شبه الأولية تعميمات للمُثُل الأولية والحلقات الأولية . وفي الجبر التبادلي ، تُسمى المُثُل شبه الأولية أيضًا بالمُثُل الجذرية ، وتُعتبر الحلقات شبه الأولية مُرادفة للحلقات المُختزلة.

فعلى سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة ، تكون المُثُل شبه الأولية هي المُثُل الصفرية، إلى جانب تلك المُثُل التي على الشكل${\displaystyle n\mathbb {Z} }$حيث n عدد صحيح خالٍ من المربعات . إذن،${\displaystyle 30\mathbb {Z} }$هو مثال شبه أولي للأعداد الصحيحة (لأن 30 = 2 × 3 × 5، بدون عوامل أولية مكررة)، ولكن${\displaystyle 12\mathbb {Z} \,}$ليس كذلك (لأن 12 = 2 ² × 3، مع وجود عامل أولي متكرر).

تشمل فئة الحلقات شبه الأولية الحلقات شبه الأولية والحلقات الأولية والحلقات المختزلة .

تظهر معظم التعريفات والتأكيدات الواردة في هذه المقالة في ( لام 1999 ) و ( لام 2001 ) .

بالنسبة للحلقة التبديلية R ، يكون المثالي A مثاليًا شبه أولي إذا حقق A أحد الشرطين المتكافئين التاليين:

• إذا كان x ^k ينتمي إلى A لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة k و x عنصر من R ، فإن x ينتمي إلى A.
• إذا كان y موجودًا في R ولكنه ليس موجودًا في A ، فإن جميع القوى الصحيحة الموجبة لـ y ليست موجودة في A.

الشرط الأخير المتمثل في أن المتمم "مغلق تحت القوى" يشبه حقيقة أن متممات المثاليات الأولية مغلقة تحت الضرب.

كما هو الحال مع المُثُل الأولية، يُعمَّم هذا على الحلقات غير التبادلية "من حيث المُثُل". الشروط التالية هي تعريفات متكافئة للمُثُل شبه الأولي A في الحلقة R :

• لأي مثالي J من R ، إذا كان J ^k ⊆ A لعدد طبيعي موجب k ، فإن J ⊆ A .
• لأي مثالي أيمن J من R ، إذا كان J ^k ⊆ A لعدد طبيعي موجب k ، فإن J ⊆ A .
• لأي مثالي يساري J من R ، إذا كان J k ^⊆ A لعدد طبيعي موجب k ، فإن J ⊆ A.
• لأي x في R ، إذا كان xRx ⊆ A ، فإن x ينتمي إلى A.

هنا أيضًا، يوجد نظير غير تبادلي للمثاليّات الأولية كمكملات للأنظمة من الرتبة m . تُسمى المجموعة الجزئية غير الفارغة S من الحلقة R نظامًا من الرتبة n إذا كان لكل عنصر s في S ، يوجد عنصر r في R بحيث يكون s ∧ r ∧ S. وبناءً على هذا المفهوم، يمكن إضافة نقطة مكافئة أخرى إلى القائمة السابقة:

• R \ A هو نظام من الرتبة n.

تُسمى الحلقة R حلقة شبه أولية إذا كان المثالي الصفري مثاليًا شبه أولي. في الحالة التبديلية، يُكافئ هذا كون R حلقة مُختزلة ، إذ لا تحتوي R على عناصر نيلبوتنتية غير صفرية. أما في الحالة غير التبديلية، فلا تحتوي الحلقة ببساطة على مثاليات يمينية نيلبوتنتية غير صفرية. لذا، بينما تكون الحلقة المُختزلة دائمًا شبه أولية، فإن العكس غير صحيح. ^{[ 1 ]}

بدايةً، من الواضح أن المثاليات الأولية هي شبه أولية، وأنه بالنسبة للحلقات التبادلية، فإن المثالي الأولي شبه الأولي هو مثالي أولي.

مع أن تقاطع المُثُل الأولية ليس عادةً عددًا أوليًا، إلا أنه يُعدّ مُثُلًا شبه أولي. وسنُبين قريبًا أن العكس صحيح أيضًا، أي أن كل مُثُل شبه أولي هو تقاطع مجموعة من المُثُل الأولية.

لأي مثالي B في حلقة R ، يمكننا تكوين المجموعات التالية:

${\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ مثالي أولي}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ لبعض }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}$

المجموعة${\displaystyle {\sqrt {B}}}$هو تعريف جذر B ، وهو مثالي شبه أولي يحتوي على B ، بل هو أصغر مثالي شبه أولي يحتوي على B. قد يكون التضمين أعلاه صحيحًا في الحالة العامة، ولكنه يصبح مساواةً بالنسبة للحلقات التبديلية.

وفقًا لهذا التعريف، يكون المثالي A شبه أولي إذا وفقط إذا${\displaystyle {\sqrt {A}}=A}$عند هذه النقطة، يتضح أيضاً أن كل مثالي شبه أولي هو في الواقع تقاطع مجموعة من المثاليّات الأولية. علاوة على ذلك، يُظهر هذا أن تقاطع أي مثاليّين شبه أوليّين هو أيضاً مثالي شبه أوليّ.

بحسب التعريف، يكون العدد R شبه أولي إذا وفقط إذا${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}=\{0\}}$أي أن تقاطع جميع المُثُل الأولية يساوي صفرًا. هذا المُثُل${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}}$ويُشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle Nil_{*}(R)\,}$ويسمى أيضًا الجذر الصفري السفلي لباير أو جذر باير-مكوي أو الجذر الأولي لـ R.

حلقة غولدي اليمنى هي حلقة ذات بُعد منتظم محدود (يُسمى أيضًا رتبة محدودة ) كوحدة نمطية يمنى على نفسها، وتُحقق شرط السلسلة التصاعدية على العناصر المُفنية اليمنى لمجموعاتها الجزئية. تنص نظرية غولدي على أن حلقات غولدي اليمنى شبه الأولية هي تحديدًا تلك التي تمتلك حلقة أرتينية كلاسيكية يمنى شبه بسيطة من كسور القسمة . ومن ثم، تُحدد نظرية أرتين-ويدربورن بنية حلقة كسور القسمة هذه بشكل كامل.

• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• لام، تي واي (2001)، مدخل إلى الحلقات غير التبادلية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  131 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  xx+385، ISBN 978-0-387-95183-6، MR 1838439 

• الخيار الأمثل شبه الأساسي في بلانيت ماث .