الترتيب المحدود

في نظرية المجموعات ، يُعرَّف العدد الترتيبي النهائي بأنه عدد ترتيبي ليس صفرًا ولا عددًا ترتيبيًا لاحقًا . بمعنى آخر، يكون العدد الترتيبي λ عددًا ترتيبيًا نهائيًا إذا وُجد عدد ترتيبي أصغر منه، وكلما كان β عددًا ترتيبيًا أصغر من λ، فإنه يوجد عدد ترتيبي γ بحيث يكون β < γ < λ. كل عدد ترتيبي إما أن يكون صفرًا، أو عددًا ترتيبيًا لاحقًا، أو عددًا ترتيبيًا نهائيًا.

على سبيل المثال، أصغر عدد ترتيبي حدي هو ω ، وهو أصغر عدد ترتيبي أكبر من أي عدد طبيعي . يُسمى هذا العدد ترتيبيًا حديًا لأنه لأي عدد ترتيبي أصغر منه (أي لأي عدد طبيعي n )، يمكننا إيجاد عدد طبيعي آخر أكبر منه (مثل n + 1)، ولكنه لا يزال أصغر من ω. العدد الترتيبي الحدي التالي الأصغر هو ω + ω. سيتم تناول هذا الموضوع بمزيد من التفصيل في المقال.

باستخدام تعريف فون نيومان للأعداد الترتيبية ، فإن كل عدد ترتيبي هو مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا لجميع الأعداد الترتيبية الأصغر منه. وبالتالي، فإن اتحاد مجموعة غير فارغة من الأعداد الترتيبية التي لا تحتوي على عنصر أكبر منها هو دائمًا عدد ترتيبي نهائي. وباستخدام تعيين فون نيومان للأعداد الأصلية ، فإن كل عدد أصلي غير منتهٍ هو أيضًا عدد ترتيبي نهائي.

تتضمن الطرق الأخرى المختلفة لتعريف الأعداد الترتيبية الحدية ما يلي:

• يساوي هذا العدد الحد الأعلى لجميع الأعداد الترتيبية التي تسبقه، ولكنه لا يساوي صفرًا. (قارن ذلك بالعدد الترتيبي التالي: فمجموعة الأعداد الترتيبية التي تسبقه لها حد أقصى، لذا فإن الحد الأعلى هو هذا الحد الأقصى، أي العدد الترتيبي السابق).
• إنها ليست صفرًا وليس لها عنصر أقصى.
• يمكن كتابتها على شكل ωα لـ α > 0. أي أنه في الشكل الطبيعي لكانتور لا يوجد عدد محدود كحد أخير، والترتيب غير صفري.
• إنها نقطة حدية لفئة الأعداد الترتيبية، فيما يتعلق بطوبولوجيا الترتيب . (الأعداد الترتيبية الأخرى هي نقاط معزولة .)

يوجد بعض الجدل حول ما إذا كان ينبغي تصنيف الصفر كعدد ترتيبي نهائي أم لا، لأنه لا يوجد له سلف مباشر؛ فبعض الكتب الدراسية تدرج الصفر ضمن فئة الأعداد الترتيبية النهائية ^{[ 1 ]} بينما تستبعده كتب أخرى. ^{[ 2 ]}

بما أن فئة الأعداد الترتيبية مرتبة ترتيبًا جيدًا ، يوجد أصغر عدد ترتيبي نهائي لانهائي، يُرمز له بـ ω (أوميغا). يُعد العدد الترتيبي ω أيضًا أصغر عدد ترتيبي لانهائي (بغض النظر عن النهاية )، لأنه الحد الأعلى الأدنى للأعداد الطبيعية . لذا، يُمثل ω نوع ترتيب الأعداد الطبيعية. العدد الترتيبي النهائي التالي للأول هو ω + ω = ω·2، والذي يُعمم إلى ω· n لأي عدد طبيعي n . بأخذ اتحاد جميع قيم ω·n ( عملية القيمة العليا على أي مجموعة من الأعداد الترتيبية)، نحصل على ω·ω = ω² ^، والذي يُعمم إلى ωⁿ ^لأي عدد طبيعي n . يمكن تكرار هذه العملية كما يلي لإنتاج:

${\displaystyle \omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots }$

بشكل عام، تُنتج جميع هذه التعريفات التكرارية عبر الضرب، والرفع إلى الأسس، والرفع المتكرر إلى الأسس، وما إلى ذلك، أعدادًا ترتيبية حدية. جميع الأعداد الترتيبية التي نوقشت حتى الآن هي أعداد ترتيبية قابلة للعد . مع ذلك، لا توجد طريقة تعداد تكرارية لتسمية جميع الأعداد الترتيبية الأقل من عدد تشيرش-كلين الترتيبي ، وهو عدد ترتيبي قابل للعد.

بعد العدد القابل للعد، يُشار عادةً إلى أول عدد ترتيبي غير قابل للعد بالرمز ω _1. وهو أيضًا عدد ترتيبي حدي.

بالاستمرار، يمكن الحصول على ما يلي (وجميعها تتزايد الآن في عددها):

${\displaystyle \omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots }$

بشكل عام، نحصل دائمًا على ترتيب حدي عند أخذ اتحاد مجموعة غير فارغة من الترتيبات التي ليس لها عنصر أقصى .

الأعداد الترتيبية من الشكل ω²α، من أجل α > 0، هي نهايات النهايات، إلخ.

تُستنفد فئات الأعداد الترتيبية اللاحقة والأعداد الترتيبية الحدية (ذات النهايات المشتركة المختلفة )، بالإضافة إلى الصفر، فئة الأعداد الترتيبية بأكملها، لذا تُستخدم هذه الحالات غالبًا في البراهين بالاستقراء المتسامي أو التعريفات بالاستدعاء الذاتي المتسامي . تمثل الأعداد الترتيبية الحدية نقطة تحول في هذه الإجراءات، حيث يجب استخدام عمليات حدية مثل حساب الاتحاد على جميع الأعداد الترتيبية السابقة. من حيث المبدأ، يمكن إجراء أي عملية على الأعداد الترتيبية الحدية، لكن حساب الاتحاد عملية متصلة في طوبولوجيا الترتيب، وهذا أمر مرغوب فيه عادةً.

إذا استخدمنا تعيين فون نيومان للعدد الأصلي ، فإن كل عدد أصلي لانهائي هو أيضًا عدد ترتيبي نهائي (وهذه ملاحظة مناسبة، حيث أن كلمة "أصلي" مشتقة من الكلمة اللاتينية cardo التي تعني المفصل أو نقطة التحول ): يتم إثبات هذه الحقيقة ببساطة عن طريق إظهار أن كل عدد ترتيبي لاحق لانهائي مكافئ لعدد ترتيبي نهائي عبر حجة فندق اللانهاية .

للأعداد الأصلية مفهومها الخاص بالخلافة والحد (حيث يتم ترقية كل شيء إلى مستوى أعلى).

غير قابل للتحلل بشكل إضافي

يُطلق على العدد الترتيبي النهائي α اسم "غير قابل للتحليل الجمعي" إذا لم يكن بالإمكان التعبير عنه كمجموع أعداد ترتيبية β < α أصغر من α. هذه الأعداد هي أي عدد ترتيبي من الشكل التالي:${\displaystyle \أوميغا ^{\beta }}$بالنسبة لـ β، وهو عدد ترتيبي. يُكتب أصغرها${\displaystyle \gamma _{0}}$، والثاني مكتوب${\displaystyle \gamma _{1}}$إلخ. ^{[ 3 ]}

غير قابل للتحليل الضربي

يُطلق على العدد الترتيبي النهائي α اسم "غير قابل للتحليل الضربي" إذا لم يكن بالإمكان التعبير عنه كحاصل ضرب أعداد ترتيبية β < α أصغر من α. وهذه الأعداد هي أي عدد ترتيبي من الشكل التالي:${\displaystyle \أوميغا ^{\أوميغا ^{\beta }}}$بالنسبة لـ β، وهو عدد ترتيبي. يُكتب أصغرها${\displaystyle \delta _{0}}$، والثاني مكتوب${\displaystyle \delta _{1}}$إلخ. ^{[ 3 ]}

غير قابلة للتحلل بشكل كبير وما وراء ذلك

لا يشير مصطلح "غير قابل للتحليل الأسي" إلى الأعداد الترتيبية التي لا يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب أسي (?) للأعداد الترتيبية β < α الأقل من α، بل يشير إلى أعداد إبسيلون ، ويشير مصطلح "غير قابل للتحليل رباعيًا" إلى أعداد زيتا، ويشير مصطلح "غير قابل للتحليل خماسيًا" إلى أعداد إيتا، إلخ. ^{[ 3 ]}

• الحساب الترتيبي
• الحد الأساسي
• التسلسل الأساسي (الترتيبي)