الاستقراء المتسامي

الاستقراء المتسامي هو امتداد للاستقراء الرياضي ليشمل الأعداد الترتيبية . وتُعدّ صحته نظريةً من نظريات ZF ، وتعتمد على حقيقة أن الأعداد الترتيبية مرتبة ترتيبًا جيدًا ، وبالتالي فإن أي عبارة لا تكون صحيحةً بشكلٍ عام لجميع الأعداد الترتيبية يجب أن يكون لها مثال مضاد أدنى . في الواقع، هذا المبدأ صحيح أيضًا لأي مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا، ولكن بما أنه يمكن فهرسة أي مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا بالأعداد الترتيبية بطريقة تحافظ على الترتيب، يكفي إثبات المبدأ للأعداد الترتيبية. ^{[ 1 ]}

مبدأ الاستقراء المتسامي هو كما يلي:

يترك${\displaystyle P(\alpha )}$خاصية معرفة لجميع الأعداد الترتيبية${\displaystyle \alpha }$لنفترض أنه كلما${\displaystyle P(\beta )}$ينطبق هذا على الجميع${\displaystyle \beta <\alpha }$ثم​${\displaystyle P(\alpha )}$وهذا صحيح أيضاً. ^{[ 2 ]} إذن${\displaystyle P}$ينطبق هذا على جميع الأعداد الترتيبية.

يمكن إثبات هذا المبدأ بسهولة من خلال النظر في الصيغة المعاكسة :

إذا​${\displaystyle P}$إذا لم يكن هذا صحيحًا لجميع الأعداد الترتيبية، فإنه يوجد عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$بحيث​​${\displaystyle P(\beta )}$ينطبق هذا على الجميع${\displaystyle \beta <\alpha }$لكن​​${\displaystyle P(\alpha )}$هذا خطأ.

مثل هذا${\displaystyle \alpha }$⁠ هو مجرد مثال مضاد بسيط ، وجوده مضمون بحقيقة أن فئة الأعداد الترتيبية مرتبة ترتيبًا جيدًا .

الاستدعاء المتكرر عبر المحدود يشبه الاستقراء عبر المحدود؛ ومع ذلك، بدلاً من إثبات أن شيئًا ما ينطبق على جميع الأعداد الترتيبية، نقوم بإنشاء سلسلة من الكائنات، واحد لكل عدد ترتيبي.

على سبيل المثال، يمكن إنشاء أساس لفضاء متجهي (قد يكون ذا أبعاد لا نهائية) بالبدء بالمجموعة الفارغة، ولكل عدد ترتيبي α > 0، يتم اختيار متجه لا يقع ضمن الفضاء الممتد للمتجهات.${\displaystyle \{v_{\beta }\mid \beta <\alpha \}}$تتوقف هذه العملية عندما يتعذر اختيار أي متجه.

بصورة أكثر رسمية، يمكننا صياغة نظرية الاستدعاء المتكرر عبر اللانهائي على النحو التالي:

نظرية الاستدعاء الذاتي المتسامي (الإصدار 1) . بفرض دالة فئة ^{[ 3 ]} G : V → V (حيث V هي فئة جميع المجموعات)، يوجد متتالية متسامية وحيدة F : Ord → V (حيث Ord هي فئة جميع الأعداد الترتيبية) بحيث

${\displaystyle F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )}$لجميع الأعداد الترتيبية α ، حيث${\displaystyle \upharpoonright }$يشير إلى تقييد مجال F' إلى الترتيبات < α .

كما هو الحال في الاستقراء، يمكننا التعامل مع أنواع مختلفة من الأعداد الترتيبية بشكل منفصل: صيغة أخرى للاستدعاء الذاتي المتجاوز هي التالية:

نظرية الاستدعاء الذاتي المتسامي (الإصدار 2) . بفرض وجود مجموعة g ₁ ، ودوال من الفئتين G ₂ و G ₃ ، توجد دالة وحيدة F : Ord → V بحيث

• F (0) = g ₁ ,
• F ( α + 1) = G ₂ ( F ( α )) لجميع α ∈ Ord،
• ${\displaystyle F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )}$، لجميع الحدود λ ≠ 0.

_{تجدر الإشارة إلى أننا} نشترط أن تكون مجالات G2 _و G3 واسعة بما يكفي لجعل الخصائص المذكورة أعلاه ذات معنى. ويمكن إثبات تفرد المتتالية التي تحقق هذه الخصائص باستخدام الاستقراء المتسامي.

بشكل عام، يمكن تعريف الكائنات عن طريق الاستدعاء الذاتي المتجاوز على أي علاقة راسخة R. ( لا يشترط أن تكون R مجموعة؛ يمكن أن تكون فئة مناسبة ، بشرط أن تكون علاقة شبيهة بالمجموعة ؛ أي لأي x ، مجموعة جميع y بحيث تكون yRx مجموعة.)

تستخدم البراهين أو الإنشاءات التي تعتمد على الاستقراء والتكرار غالبًا بديهية الاختيار لإنتاج علاقة مرتبة ترتيبًا جيدًا يمكن معالجتها بالاستقراء المتسامي. مع ذلك، إذا كانت العلاقة المعنية مرتبة ترتيبًا جيدًا بالفعل، فيمكن في كثير من الأحيان استخدام الاستقراء المتسامي دون اللجوء إلى بديهية الاختيار. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، تُثبت العديد من النتائج المتعلقة بمجموعات بوريل بالاستقراء المتسامي على الرتبة الترتيبية للمجموعة؛ وهذه الرتب مرتبة ترتيبًا جيدًا بالفعل، لذا فإن بديهية الاختيار غير ضرورية لترتيبها ترتيبًا جيدًا.

يوضح البناء التالي لمجموعة فيتالي إحدى الطرق التي يمكن من خلالها استخدام بديهية الاختيار في برهان بالاستقراء المتسامي:

أولاً، رتب الأعداد الحقيقية ترتيباً جيداً ( وهنا يدخل مبدأ الاختيار عبر نظرية الترتيب الجيد )، مما يعطي متتالية${\displaystyle \langle r_{\alpha }\mid \alpha <\beta \rangle }$حيث β عدد ترتيبي بعدد عناصر المتصل . ليكن v₀ مساويًا _لـ r₀ . ثم ليكن _v₁ مساويًا لـ rα₁ _{، حيث} α₁ هو أصغر عدد حقيقي بحيث لا يكون rα₁ - v₀ _عددًا نسبيًا _. استمر ؛ في كل خطوة _، استخدم أصغر عدد حقيقي من متتالية r لا يكون له فرق نسبي مع أي عنصر تم إنشاؤه حتى الآن في _{متتالية} v . استمر حتى _يتم استنفاد جميع الأعداد الحقيقية في متتالية r . ستُحصي متتالية v النهائية مجموعة فيتالي.  

تستخدم الحجة السابقة بديهية الاختيار بشكل أساسي في البداية، وذلك لترتيب الأعداد الحقيقية ترتيباً جيداً. بعد هذه الخطوة، لا تُستخدم بديهية الاختيار مرة أخرى.

تتسم استخدامات أخرى لمسلمة الاختيار بمزيد من الدقة. فعلى سبيل المثال، غالبًا ما لا يُحدد بناءٌ باستخدام الاستدعاء الذاتي المتسامي قيمةً فريدةً لـ A _{α +1} ، بالنظر إلى المتتالية حتى α ، بل يُحدد فقط شرطًا يجب أن تُحققه A _{α +1} ، ويُبرهن على وجود مجموعة واحدة على الأقل تُحقق هذا الشرط. إذا تعذّر تحديد مثال فريد لمثل هذه المجموعة في كل مرحلة، فقد يكون من الضروري اللجوء إلى (شكلٍ ما من) مسلمة الاختيار لاختيار واحدة منها في كل خطوة. بالنسبة للاستقراءات والاستدعاءات الذاتية ذات الطول القابل للعد ، تكفي مسلمة الاختيار التابع الأضعف . ولأن هناك نماذج لنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل تهمّ علماء نظرية المجموعات، تُحقق مسلمة الاختيار التابع دون مسلمة الاختيار الكاملة، فإن معرفة أن برهانًا معينًا لا يتطلب سوى الاختيار التابع قد يكون مفيدًا.

• الاستقراء الرياضي
• الاستقراء- ∈
• عدد لا نهائي
• الاستقراء المبني على أسس متينة
• معضلة زورن

• سوبس، باتريك (1972)، "القسم 7.1"، نظرية المجموعات البديهية ، منشورات دوفر ، رقم ISBN 0-486-61630-4

• إيمرسون، جوناثان ؛ ليزاما، مارك ؛ ووايسشتاين، إريك دبليو. "الاستقراء عبر اللانهائي" . عالم الرياضيات .