ليندبلاديان

في ميكانيكا الكم ، تُعدّ معادلة فرانك-غوريني-كوساكوفسكي-سودارشان-ليندبلاد ( FGKSL ) الرئيسية (نسبةً إلى فالنتين فرانك ، وفيتوريو غوريني، وأندريه كوساكوفسكي ، وجورج سودارشان، وغوران ليندبلاد )، أو معادلة غوريني-كوساكوفسكي-سودارشان-ليندبلاد ( GKSL ) الرئيسية، أو المعادلة الرئيسية بصيغة ليندبلاد ، أو معادلة ليوفيل الكمومية ، أو معادلة ليندبلاد، إحدى الصيغ العامة لمعادلات ماركوف الرئيسية التي تصف الأنظمة الكمومية المفتوحة . وهي تُعمّم معادلة شرودنغر لتشمل الأنظمة الكمومية المفتوحة؛ أي الأنظمة المتصلة بمحيطها. لم تعد الديناميكيات الناتجة وحدوية، ولكنها لا تزال تحافظ على خاصية الحفاظ على الأثر وتكون موجبة تمامًا لأي شرط ابتدائي . ^{[ 1 ]}

معادلة شرودنغر ، أو بالأحرى معادلة فون نيومان، هي حالة خاصة من معادلة GKSL، مما أدى إلى بعض التكهنات حول إمكانية توسيع ميكانيكا الكم وتطويرها بشكل مثمر من خلال المزيد من تطبيق وتحليل معادلة ليندبلاد. ^{[ 2 ]} تتعامل معادلة شرودنغر مع متجهات الحالة ، التي لا يمكنها وصف سوى حالات الكم النقية ، وبالتالي فهي أقل عمومية من مصفوفات الكثافة ، التي يمكنها وصف الحالات المختلطة أيضًا.

إن فهم تفاعل النظام الكمومي مع بيئته أمر ضروري لفهم العديد من الظواهر الشائعة الملاحظة مثل الانبعاث التلقائي للضوء من الذرات المثارة، أو أداء العديد من الأجهزة التكنولوجية الكمومية، مثل الليزر .

في الصيغة الكلاسيكية لميكانيكا الكم، يخضع التطور الزمني للنظام لديناميكيات وحدوية. وهذا يعني عدم وجود اضمحلال، والحفاظ على تماسك الطور طوال العملية. وينتج ذلك عن أخذ جميع درجات الحرية المشاركة في الاعتبار. مع ذلك، يتفاعل أي نظام فيزيائي حقيقي مع بيئته، إذ لا يمكن عزله تمامًا. ويؤدي التفاعل مع درجات الحرية الخارجية إلى تبديد الطاقة في محيطه، مما يسبب اضمحلالًا وعشوائية في الطور.

استُحدثت بعض التقنيات الرياضية لمعالجة تفاعل النظام الكمومي مع بيئته. من هذه التقنيات استخدام مصفوفة الكثافة ومعادلتها الرئيسية. ورغم أن هذا النهج في حل ديناميكيات الكم يُكافئ من حيث المبدأ صورة شرودنغر أو صورة هايزنبرغ ، إلا أنه يُسهّل علينا تفسير العمليات غير المتماسكة التي تُمثل التفاعلات البيئية. يتميز مُؤثر الكثافة بقدرته على تمثيل مزيج كلاسيكي من الحالات الكمومية، ولذا فهو ضروري لوصف ديناميكيات ما يُسمى بالأنظمة الكمومية المفتوحة بدقة.

تصف معادلة ليندبلاد الرئيسية تطور أنواع مختلفة من الأنظمة الكمومية المفتوحة، مثل نظام مقترن بشكل ضعيف بخزان ماركوفي. ^{[ 1 ]} تجدر الإشارة إلى أن H الظاهر في المعادلة ليس بالضرورة مساوياً لهاملتونيان النظام الأساسي، ولكنه قد يتضمن أيضاً ديناميكيات وحدوية فعالة ناتجة عن تفاعل النظام مع البيئة.

يبدأ اشتقاق استدلالي، كما في ملاحظات جون بريسكيل [ ^{5 ]} ، بصيغة أكثر عمومية لنظام كمومي مفتوح، ثم يحوله إلى صيغة ليندبلاد بافتراض ماركوفية والتوسع في زمن قصير. أما المعالجة القياسية ذات الأساس الفيزيائي ^{[ 6 ] [ 7 ] فتغطي ثلاثة أنواع شائعة من اشتقاقات ليندبلاديان، انطلاقًا من هاميلتوني يؤثر على كل من النظام والبيئة: حد الاقتران الضعيف (الموصوف بالتفصيل أدناه)، وتقريب الكثافة المنخفضة، وحد الاقتران المفرد. يعتمد كل من هذه الاشتقاقات} على افتراضات فيزيائية محددة، تتعلق، على سبيل المثال، بدوال الارتباط في البيئة. فعلى سبيل المثال، في اشتقاق حد الاقتران الضعيف، يُفترض عادةً أن: (أ) ارتباطات النظام بالبيئة تتطور ببطء، (ب) إثارات البيئة الناتجة عن النظام تتلاشى بسرعة، (ج) يمكن إهمال الحدود سريعة التذبذب مقارنةً بالنطاق الزمني للنظام محل الاهتمام. تُسمى هذه التقريبات الثلاثة على التوالي: بورن، وماركوف، والموجة الدوارة. ^{[ 8 ]}

يفترض اشتقاق حد الاقتران الضعيف وجود نظام كمومي ذي عدد محدود من درجات الحرية مقترنًا بحمام يحتوي على عدد لا نهائي من درجات الحرية. يمتلك كل من النظام والحمام هاميلتونيًا مكتوبًا بدلالة مؤثرات تعمل فقط على الفضاء الجزئي الخاص بكل منهما من فضاء هيلبرت الكلي . تتحكم هذه الهاميلتونيات في الديناميكيات الداخلية للنظام والحمام غير المقترنين. يوجد هاميلتوني ثالث يحتوي على نواتج مؤثرات النظام والحمام، وبالتالي يربط النظام والحمام. الشكل الأكثر عمومية لهذا الهاميلتوني هو

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

المعادلة 3.1

يمكن وصف ديناميكيات النظام بأكمله بواسطة معادلة ليوفيل للحركة،${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$هذه المعادلة، التي تحتوي على عدد لا نهائي من درجات الحرية، يستحيل حلها تحليليًا إلا في حالات خاصة جدًا. علاوة على ذلك، في ظل بعض التقريبات، لا داعي لأخذ درجات حرية الوسط المحيط في الاعتبار، ويمكن اشتقاق معادلة رئيسية فعالة بدلالة مصفوفة كثافة النظام.${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$يمكن تحليل المشكلة بسهولة أكبر بالانتقال إلى صورة التفاعل ، المحددة بالتحويل الوحدوي .${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$، أين${\displaystyle M}$هو عامل تشغيل اختياري، و${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$لاحظ أيضًا أن${\displaystyle U(t,t_{0})}$هو المؤثر الوحدوي الكلي للنظام بأكمله. من السهل التأكد من أن معادلة ليوفيل تصبح

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

المعادلة 3.2

أين الهاميلتوني${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$وهو يعتمد بشكل صريح على الوقت. كذلك، وفقًا لصورة التفاعل،${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$، أين${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$يمكن تكامل هذه المعادلة مباشرة للحصول على

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

المعادلة 3.3

هذه المعادلة الضمنية لـ${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$يمكن استبدالها مرة أخرى في معادلة ليوفيل للحصول على معادلة تفاضلية تكاملية دقيقة

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

المعادلة 3.4

نواصل عملية الاشتقاق بافتراض أن التفاعل يبدأ عند${\displaystyle t=0}$وفي ذلك الوقت، لا توجد أي ارتباطات بين النظام والحمام. وهذا يعني أن الشرط الأولي قابل للتحليل إلى${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$، أين${\displaystyle R_{0}}$يمثل عامل الكثافة للحمام في البداية.

تتبع درجات الحرية فوق حوض الاستحمام،${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$، من المعادلة التفاضلية التكاملية المذكورة أعلاه ينتج

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

المعادلة 3.5

هذه المعادلة دقيقة بالنسبة للديناميكيات الزمنية لمصفوفة كثافة النظام، لكنها تتطلب معرفة كاملة بديناميكيات درجات حرية الوسط المحيط. يعتمد افتراض مبسط يُسمى تقريب بورن على كبر حجم الوسط المحيط وضعف الاقتران النسبي، أي أن اقتران النظام بالوسط المحيط لا ينبغي أن يُغير بشكل كبير من حالات الوسط المحيط الذاتية. في هذه الحالة، يمكن تحليل مصفوفة الكثافة الكاملة لجميع الأزمنة كما يلي:${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$تصبح المعادلة الرئيسية

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

المعادلة 3.6

أصبحت المعادلة الآن صريحة في درجات حرية النظام، لكن حلها صعب للغاية. ويتمثل الافتراض الأخير في تقريب بورن-ماركوف، الذي ينص على أن المشتق الزمني لمصفوفة الكثافة يعتمد فقط على حالتها الراهنة، وليس على حالتها السابقة. ويصح هذا الافتراض في ظل ديناميكيات الوسط المحيط السريعة، حيث تتلاشى الارتباطات داخل الوسط المحيط بسرعة فائقة، ويؤدي ذلك إلى استبدال...${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$على الجانب الأيمن من المعادلة.

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

المعادلة 3.7

إذا افترضنا أن هاميلتونيان التفاعل له الشكل التالي

${\displaystyle H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}}$

المعادلة 3.8

لمشغلي الأنظمة${\displaystyle \alpha _{i}}$ومشغلي الحمامات${\displaystyle \Gamma _{i}}$ثم${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$تصبح المعادلة الرئيسية

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

المعادلة 3.9

والتي يمكن توسيعها لتصبح

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]}$

المعادلة 3.10

القيم المتوقعة${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$تتعلق هذه الارتباطات بدرجات حرية الوسط المحيط. وبافتراض التلاشي السريع لهذه الارتباطات (مثاليًا${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$), يتم تحقيق الشكل المذكور أعلاه للمؤثر الفائق ليندبلاد L.

في أبسط الحالات، يوجد عامل قفز واحد فقط${\displaystyle F}$ولا يوجد تطور وحدوي. في هذه الحالة، تكون معادلة ليندبلاد هي

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

المعادلة 4.1

تُستخدم هذه الحالة غالبًا في البصريات الكمومية لنمذجة امتصاص أو انبعاث الفوتونات من خزان.

لنمذجة كل من الامتصاص والانبعاث، نحتاج إلى مؤثر قفز لكل منهما. وهذا يؤدي إلى معادلة ليندبلاد الأكثر شيوعًا التي تصف تخميد مذبذب توافقي كمي (يمثل على سبيل المثال تجويف فابري-بيرو ) مقترن بحمام حراري ، مع مؤثرات القفز التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

هنا${\displaystyle {\overline {n}}}$يمثل متوسط ​​عدد الإثارات في الخزان الذي يخمد المذبذب، و γ هو معدل الاضمحلال.

لنمذجة هاميلتونيان المذبذب التوافقي الكمومي ذي التردد${\displaystyle \omega _{c}}$بالنسبة للفوتونات، يمكننا إضافة تطور وحدوي آخر:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

المعادلة 4.2

يمكن تضمين عوامل ليندبلاد إضافية لنمذجة أشكال مختلفة من فقدان التماسك والاسترخاء الاهتزازي. وقد تم دمج هذه الطرق في طرق نشر مصفوفة الكثافة القائمة على الشبكة.

• معادلة الكم الرئيسية
• معادلة ريدفيلد
• نظام كمي مفتوح
• طريقة القفز الكمومي
• نظرية سوخوتسكي-بليميلج §  دالة هيتلر

• Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017). "نبذة تاريخية عن معادلة GKLS". أنظمة مفتوحة وديناميكيات المعلومات . 24 (3). arXiv : 1710.05993 . Bibcode : 2017OSID...2440001C . doi : 10.1142/S1230161217400017 . S2CID 90357 . 
• كوساكوفسكي، أ. (1972). "حول الميكانيكا الإحصائية الكمومية للأنظمة غير الهاميلتونية". تقارير الفيزياء الرياضية . 3 (4): 247. Bibcode : 1972RpMP....3..247K . doi : 10.1016/0034-4877(72)90010-9 .
• بيلافين، أ.أ.؛ زيلدوفيتش، ب. يا.؛ بيريلوموف، أ.م.؛ بوبوف، ف.س. (1969). "استرخاء الأنظمة الكمومية ذات الأطياف متساوية البعد" . مجلة الفيزياء التجريبية والنظرية . 29 : 145. رمز Bibcode : 1969JETP...29..145B .
• ليندبلاد، ج. (1976). "حول مولدات أنصاف الزمر الديناميكية الكمومية" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 48 (2): 119. رمز Bibcode : 1976CMaPh..48..119L . doi : 10.1007/BF01608499 . S2CID 55220796 . 
• غوريني، ف.؛ كوساكوفسكي، أ.؛ سودارشان، إي سي جي (1976). "المجموعات شبه الديناميكية الموجبة تمامًا لأنظمة N-المستوى". مجلة الفيزياء الرياضية 17 (5): 821. Bibcode : 1976JMP....17..821G . doi : 10.1063/1.522979 .
• بانكس، ت.؛ ساسكيند، ل.؛ بيسكين، م. إ. (1984). "صعوبات تطور الحالات النقية إلى حالات مختلطة". الفيزياء النووية ب . 244 (1): 125-134 . Bibcode : 1984NuPhB.244..125B . doi : 10.1016/0550-3213(84)90184-6 . OSTI 1447054 . 
• أكاردي، لويجي؛ لو، يون جانج؛ فولوفيتش الرابع (2002). نظرية الكم وحدودها العشوائية . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-5404-1928-0.
• أليكي، روبرت (2002). "مقدمة إلى أنصاف المجموعات الديناميكية الكمومية". ديناميكيات التبديد . سلسلة محاضرات في الفيزياء. المجلد  597. ص  239. arXiv : quant-ph/0205188 . Bibcode : 2002LNP...597..239A . doi : 10.1007/3-540-46122-1_10 . ISBN 978-3-540-44111-3. S2CID 118089738 . 
• أليكي، روبرت؛ ليندي، كارل (1987). أنصاف المجموعات الديناميكية الكمومية وتطبيقاتها . برلين: سبرينغر فيرلاغ. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• أتال، ستيفان؛ جوي آلان. بيليه، كلود آلان (2006). أنظمة الكم المفتوحة II: النهج الماركوفي . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-5403-0992-5.
• جاردينر، سي دبليو؛ زولر، بيتر (2010). الضوضاء الكمومية . سلسلة سبرينغر في التآزر (  الطبعة الثالثة). برلين هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-642-06094-6.
• إنجاردن، رومان س.؛ كوساكوفسكي، أ.؛ أويا، م. (1997). ديناميكيات المعلومات والأنظمة المفتوحة: المنهج الكلاسيكي والكمي . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ISBN 978-0-7923-4473-5.

• تاراسوف، فاسيلي إي. (2008). ميكانيكا الكم للأنظمة غير الهاميلتونية والمبددة . أمستردام، بوسطن، لندن، نيويورك: إلسيفير ساينس. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• بيرل، ب. (2012). "اشتقاق بسيط لمعادلة ليندبلاد". المجلة الأوروبية للفيزياء ، 33 (4)، 805.

• مجموعة أدوات البصريات الكمومية لبرنامج ماتلاب
• تمت أرشفة mcsolve في 2023-09-30 على Wayback Machine. برنامج حل القفزة الكمومية (مونت كارلو) من QuTiP.
• QuantumOptics.jl هي مجموعة أدوات البصريات الكمومية في لغة جوليا.
• معادلة ليندبلاد الرئيسية