علاقة تكرارية خطية بمعاملات ثابتة

بالنسبة للترتيب 1، التكرار $${\displaystyle a_{n}=ra_{n-1}}$$ لديه الحل${\displaystyle a_{n}=r^{n}}$مع${\displaystyle a_{0}=1}$والحل الأكثر عمومية هو${\displaystyle a_{n}=kr^{n}}$مع${\displaystyle a_{0}=k}$إن المعادلة المميزة التي تساوي صفرًا ( المعادلة المميزة ) هي ببساطة${\displaystyle tr=0}$.

يتم إيجاد حلول لعلاقات التكرار من الرتبة الأعلى هذه بوسائل منهجية، وغالبًا ما تستخدم حقيقة أن${\displaystyle a_{n}=r^{n}}$يُعد هذا حلاً لتكرار المشكلة تحديداً عندما${\displaystyle t=r}$هو جذر لكثير الحدود المميز. يمكن التعامل مع هذا مباشرةً أو باستخدام الدوال المولدة ( متسلسلات القوى الرسمية ) أو المصفوفات.

لنأخذ على سبيل المثال علاقة تكرارية من الشكل التالي: $${\displaystyle a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}.}$$

متى يكون لها حل بنفس الشكل العام لـ${\displaystyle a_{n}=r^{n}}$باستبدال هذا التخمين ( ansatz ) في علاقة التكرار، نجد أن $${\displaystyle r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2}}$$ يجب أن يكون هذا صحيحًا للجميع${\displaystyle n>1}$.

القسمة على${\displaystyle r^{n-2}}$نستنتج من ذلك أن جميع هذه المعادلات تختزل إلى نفس العبارة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=Ar+B,\\r^{2}-Ar-B&=0,\end{aligned}}}$$

وهي المعادلة المميزة للعلاقة التكرارية. أوجد${\displaystyle r}$للحصول على الجذرين${\displaystyle \lambda _{1}}$،${\displaystyle \lambda _{2}}$تُعرف هذه الجذور بالجذور المميزة أو القيم الذاتية للمعادلة المميزة. ويعتمد شكل الحلول على طبيعة هذه الجذور: فإذا كانت الجذور متميزة، نحصل على الحل العام.

$${\displaystyle a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}}$$

أما إذا كانت متطابقة (عندما${\displaystyle A^{2}+4B=0}$لدينا

$${\displaystyle a_{n}=C\lambda ^{n}+Dn\lambda ^{n}}$$

هذا هو الحل الأكثر عمومية؛ الثابتان${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$يمكن اختيارها بناءً على شرطين ابتدائيين معطيين${\displaystyle a_{0}}$و${\displaystyle a_{1}}$لإنتاج حل محدد.

في حالة القيم الذاتية المركبة (والتي تؤدي أيضًا إلى قيم مركبة لمعاملات الحل)${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$يمكن الاستغناء عن استخدام الأعداد المركبة عن طريق إعادة كتابة الحل في الصيغة المثلثية. في هذه الحالة، يمكننا كتابة القيم الذاتية على النحو التالي:${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\alpha \pm \beta i.}$ثم يمكن إثبات ذلك

$${\displaystyle a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}}$$

يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي: ^{[ 4 ] : ​​576-585}

$${\displaystyle a_{n}=2M^{n}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right)=2GM^{n}\cos(\theta n-\delta ),}$$

أين

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}&\cos(\theta )={\tfrac {\alpha }{M}}&\sin(\theta )={\tfrac {\beta }{M}}\\C,D=E\mp Fi&&\\G={\sqrt {E^{2}+F^{2}}}&\cos(\delta )={\tfrac {E}{G}}&\sin(\delta )={\tfrac {F}{G}}\end{array}}}$$

هنا${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$(أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle G}$و${\displaystyle \delta }$) هي ثوابت حقيقية تعتمد على الشروط الابتدائية. باستخدام $${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=2\alpha =A,}$$$${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-B,}$$

يمكن تبسيط الحل المذكور أعلاه على النحو التالي:

$${\displaystyle a_{n}=(-B)^{\frac {n}{2}}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right),}$$

أين${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$هي الشروط الأولية و

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {-Aa_{1}+a_{2}}{B}}\\F&=-i{\frac {A^{2}a_{1}-Aa_{2}+2a_{1}B}{B{\sqrt {A^{2}+4B}}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {A}{2{\sqrt {-B}}}}\right)\end{aligned}}}$$

وبهذه الطريقة، لا حاجة لحل مشكلة${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2}}$.

في جميع الحالات - القيم الذاتية الحقيقية المتميزة، والقيم الذاتية الحقيقية المكررة، والقيم الذاتية المركبة المترافقة - تكون المعادلة مستقرة (أي أن المتغير${\displaystyle a}$يتقارب إلى قيمة ثابتة (وتحديدًا، صفر) إذا وفقط إذا كانت كلتا القيمتين الذاتيتين أصغر من واحد بالقيمة المطلقة . في هذه الحالة من الدرجة الثانية، يمكن إثبات أن هذا الشرط على القيم الذاتية ^{[ 5 ]} مكافئ لـ${\displaystyle |A|<1-B<2}$وهو ما يعادل${\displaystyle |B|<1}$و${\displaystyle |A|<1-B}$.

حل المعادلة المتجانسة

$${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}}$$

يتضمن ذلك أولاً حل متعددة الحدود المميزة لها

$${\displaystyle \lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{n}}$$

بالنسبة لجذورها المميزة λ₁ _، ...، λₙ _. يمكن إيجاد هذه الجذور جبريًا إذا كان n ≤ 4 ، ولكن ليس بالضرورة في غير ذلك . إذا كان الحل سيُستخدم عدديًا، فيمكن إيجاد جميع جذور هذه المعادلة المميزة باستخدام الطرق العددية . مع ذلك، للاستخدام في سياق نظري، قد تكون المعلومة الوحيدة المطلوبة حول الجذور هي ما إذا كان أي منها أكبر من أو يساوي 1 بالقيمة المطلقة .

قد تكون جميع الجذور حقيقية ، أو قد يكون بعضها أعدادًا مركبة . في الحالة الأخيرة، تأتي جميع الجذور المركبة في أزواج مترافقة مركبة .

إذا كانت جميع الجذور المميزة متميزة، فإن حل المعادلة التكرارية الخطية المتجانسة

$${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}}$$

يمكن كتابتها بدلالة الجذور المميزة كما يلي

$${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}}$$

حيث يمكن إيجاد المعاملات cᵢ باستخدام الشروط الابتدائية. تحديدًا، لكل فترة زمنية معروفة القيمة التكرارية، يمكن استبدال هذه القيمة وقيمة t المقابلة لها _في معادلة الحل للحصول على معادلة خطية بدلالة n من المعاملات غير المعروفة؛ ويمكن حل n من هذه المعادلات، معادلة لكل شرط ابتدائي، آنيًا لإيجاد قيم المعاملات n . إذا كانت جميع الجذور المميزة حقيقية، فإن جميع قيم المعاملات cᵢ _ستكون حقيقية أيضًا؛ أما مع الجذور المركبة غير الحقيقية، فستكون بعض هذه المعاملات غير حقيقية أيضًا.

في حالة الرتبة الثانية، إذا كان الجذران متطابقين ( λ1 = λ2 ₎ ، فيمكن الإشارة إليهما معًا بالرمز λ ، وقد يكون الحل على الصورة التالية _:

$${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.}$$

تتضمن إحدى طرق الحل البديلة تحويل معادلة الفرق من الرتبة n إلى معادلة فرق مصفوفية من الرتبة الأولى . ويتم ذلك بكتابة w₁ _{, t} = yₜ _{، و} w₂ , _t = yₜ⁻¹ = w₁ _{, t⁻¹ ، و} w₃ _{, t} = yₜ⁻² = w₂ , _{t⁻¹ ،} وهكذا. ثم تصبح _{المعادلة الأصلية المفردة من} الرتبة n

$${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}$$

يمكن استبدالها بالمعادلات التالية من الدرجة الأولى:

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n}w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_{n-1,t-1}.\end{aligned}}}$$

تعريف المتجه w _i على النحو التالي

$${\displaystyle \mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}}$$

يمكن وضع هذا في شكل مصفوفة كما يلي

$${\displaystyle \mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b} }$$

هنا A عبارة عن مصفوفة n × n حيث يحتوي الصف الأول على ₁ ، ...، و _n وجميع الصفوف الأخرى تحتوي على 1 واحد فقط مع كون جميع العناصر الأخرى 0، و b عبارة عن متجه عمودي يحتوي على العنصر الأول b وبقية عناصره 0.

يمكن حل معادلة المصفوفة هذه باستخدام الطرق المذكورة في مقالة " معادلة فرق المصفوفة ". في الحالة المتجانسة، _يكون yᵢ ثابتًا شبه دائم لمصفوفة مثلثية سفلية ^{[ 6 ].}

التكرار

$${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,}$$

يمكن حلها باستخدام نظرية الدوال المولدة . أولاً، نكتب${\textstyle Y(x)=\sum _{t\geq 0}y_{t}x^{t}}$وبالتالي، فإن العلاقة التكرارية تعادل معادلة الدالة المولدة التالية:

$${\displaystyle Y(x)=a_{1}xY(x)+a_{2}x^{2}Y(x)+\cdots +a_{n}x^{n}Y(x)+{\frac {b}{1-x}}+p(x)}$$

أين${\displaystyle p(x)}$هي متعددة حدود من الدرجة على الأكثر${\displaystyle n-1}$بتصحيح الحدود الأولية. ومن هذه المعادلة يمكننا حلها للحصول على

$${\displaystyle Y(x)=\left({\frac {b}{1-x}}+p(x)\right)\cdot {\frac {1}{1-a_{1}x-a_{2}x^{2}-\cdots -a_{n}x^{n}}}.}$$

بمعنى آخر، عدم الاهتمام بالمعاملات الدقيقة،${\displaystyle Y(x)}$يمكن التعبير عنها كدالة كسرية${\displaystyle Y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

يمكن بعد ذلك اشتقاق الصيغة المغلقة عن طريق تحليل الكسور الجزئية . تحديدًا، إذا كُتبت الدالة المولدة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=\sum _{i}{\frac {f_{i}(x)}{(x-r_{i})^{m_{i}}}}}$$

ثم متعددة الحدود${\displaystyle p(x)}$يحدد المجموعة الأولية من التصحيحات${\displaystyle z(n)}$المقام${\displaystyle (x-r_{i})^{m}}$يحدد الحد الأسي${\displaystyle r_{i}^{n}}$، والدرجة${\displaystyle m}$بالإضافة إلى البسط${\displaystyle f_{i}(x)}$حدد معامل كثير الحدود${\displaystyle k_{i}(n)}$.

طريقة حل المعادلات التفاضلية الخطية مشابهة للطريقة المذكورة أعلاه - "التخمين الذكي" ( ansatz ) للمعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة هو${\displaystyle e^{\lambda x}}$أين${\displaystyle \lambda }$هو عدد مركب يتم تحديده عن طريق استبدال التخمين في المعادلة التفاضلية.

هذا ليس من قبيل الصدفة. بالنظر إلى متسلسلة تايلور لحل معادلة تفاضلية خطية:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$$

يتضح أن معاملات المتسلسلة تُعطى بواسطة${\displaystyle n}$المشتقة النونية لـ${\displaystyle f(x)}$تم التقييم عند النقطة${\displaystyle a}$. توفر المعادلة التفاضلية معادلة فرق خطية تربط هذه المعاملات.

يمكن استخدام هذا التكافؤ لحل علاقة التكرار بسرعة للمعاملات في حل متسلسلة القوى لمعادلة تفاضلية خطية.

القاعدة العامة (للمعادلات التي يكون فيها حاصل ضرب الحد الأول في كثير الحدود غير صفري عند الصفر) هي:

$${\displaystyle y^{[k]}\to f[n+k]}$$ وبشكل أعم $${\displaystyle x^{m}*y^{[k]}\to n(n-1)...(n-m+1)f[n+k-m]}$$

مثال: العلاقة التكرارية لمعاملات متسلسلة تايلور للمعادلة:

$${\displaystyle (x^{2}+3x-4)y^{[3]}-(3x+1)y^{[2]}+2y=0}$$

يُعطى بواسطة

$${\displaystyle n(n-1)f[n+1]+3nf[n+2]-4f[n+3]-3nf[n+1]-f[n+2]+2f[n]=0}$$

أو

$${\displaystyle -4f[n+3]+2nf[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.}$$

يوضح هذا المثال كيف يمكن حل المشكلات التي يتم حلها عادةً باستخدام طريقة حل متسلسلة القوى التي يتم تدريسها في فصول المعادلات التفاضلية العادية بطريقة أسهل بكثير.

مثال: المعادلة التفاضلية

$${\displaystyle ay''+by'+cy=0}$$

يوجد حل

$${\displaystyle y=e^{ax}.}$$

تحويل المعادلة التفاضلية إلى معادلة فرقية لمعاملات تايلور هو

$${\displaystyle af[n+2]+bf[n+1]+cf[n]=0.}$$

من السهل أن نرى أن${\displaystyle n}$المشتقة النونية لـ${\displaystyle e^{ax}}$تم تقييمها في${\displaystyle 0}$يكون${\displaystyle a^{n}}$.