معادلة الفرق بين المصفوفات

معادلة الفرق المصفوفية هي معادلة فرقية ترتبط فيها قيمة متجه (أو أحيانًا مصفوفة) من المتغيرات عند لحظة زمنية معينة بقيمته عند لحظة زمنية سابقة أو أكثر، باستخدام المصفوفات . ^{[ 1 ] [ 2 ]} رتبة المعادلة هي أقصى فارق زمني بين أي قيمتين محددتين لمتجه المتغيرات. على سبيل المثال،

$${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}$$

يُعدّ هذا مثالًا على معادلة فرق المصفوفات من الرتبة الثانية، حيث يُمثّل x متجهًا من المتغيرات من الرتبة n × 1 ، و A و B مصفوفتان من الرتبة n × n . هذه المعادلة متجانسة لعدم وجود حد ثابت متجهي مُضاف في نهايتها. ويمكن كتابة المعادلة نفسها أيضًا على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}}$$

أو كما

$${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}}$$

إن أكثر معادلات الفرق المصفوفية شيوعاً هي من الدرجة الأولى.

مثال على معادلة فرق المصفوفة غير المتجانسة من الدرجة الأولى هو

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b} }$

مع متجه ثابت إضافي b . حالة الاستقرار لهذا النظام هي قيمة x * للمتجه x ، والتي إذا تم الوصول إليها، فلن تنحرف عنها لاحقًا. يتم إيجاد x * عن طريق وضع x _t = x _{t −1} = x * في معادلة الفرق وحلها لإيجاد x * .

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }$

حيث I هي مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n ، وحيث يُفترض أن [ I − A ] قابلة للعكس . عندئذٍ، يمكن إعادة كتابة المعادلة غير المتجانسة في صورة متجانسة بدلالة الانحرافات عن حالة الاستقرار.

${\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}$

تكون معادلة الفرق المصفوفي من الدرجة الأولى [ x _t − x *] = A [ x _{t −1} − x *] مستقرة - أي أن x _t يتقارب بشكل مقارب إلى الحالة المستقرة x * - إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية لمصفوفة الانتقال A (سواء كانت حقيقية أو مركبة) لها قيمة مطلقة أقل من 1 (أي نصف قطر طيفي أقل من 1).

لنفترض أن المعادلة قد وُضعت في الصورة المتجانسة y _t = Ay _{t −1} . عندئذٍ يمكننا التكرار والتعويض بشكل متكرر من الشرط الابتدائي y ₀ ، وهو القيمة الابتدائية للمتجه y والتي يجب معرفتها لإيجاد الحل:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك، بحيث يكون الحل بدلالة t بالاستقراء الرياضي هو

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}}$

علاوة على ذلك، إذا كانت المصفوفة A قابلة للتقطير، فيمكننا إعادة كتابة A بدلالة قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية ، مما يعطي الحل على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},}$

حيث P مصفوفة من الرتبة n × n أعمدتها هي المتجهات الذاتية للمصفوفة A (بافتراض أن جميع القيم الذاتية متميزة)، و D مصفوفة قطرية من الرتبة n × n عناصر قطرها هي القيم الذاتية للمصفوفة A. يُبرر هذا الحل نتيجة الاستقرار المذكورة أعلاه: تتقلص المصفوفة A ^t إلى مصفوفة صفرية بمرور الوقت إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة A أقل من واحد في القيمة المطلقة.

انطلاقًا من النظام ذي الأبعاد n ، y( _t) = Ay( _{t -1)} ، يمكننا استخلاص ديناميكيات أحد متغيرات الحالة، ولنقل y₁ _. تُظهر معادلة الحل أعلاه لـ y( _t) أن حل y₁ _{, t} يكون بدلالة القيم الذاتية n للمصفوفة A. لذا _، يجب أن يكون للمعادلة التي تصف تطور y₁ حلٌّ يتضمن هذه القيم الذاتية نفسها. هذا الوصف يُحفز بديهيًا معادلة تطور y₁ _، وهي:

${\displaystyle y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}}$

حيث تُستمد المعاملات a _i من المعادلة المميزة للمصفوفة A :

${\displaystyle \lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.}$

وبالتالي فإن كل متغير قياسي فردي لنظام خطي من الدرجة الأولى ذي n بُعد يتطور وفقًا لمعادلة فرق أحادية المتغير من الدرجة n ، والتي لها نفس خاصية الاستقرار (مستقر أو غير مستقر) مثل معادلة الفرق المصفوفية.

يمكن حل معادلات الفرق المصفوفية من الرتبة الأعلى - أي التي يكون فيها التأخير الزمني أطول من دورة واحدة - وتحليل استقرارها، عن طريق تحويلها إلى صيغة من الرتبة الأولى باستخدام مصفوفة كتلية (مصفوفة من المصفوفات). على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا معادلة من الرتبة الثانية

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}$

حيث يكون المتجه المتغير x من الرتبة n × 1 ، و A و B من الرتبة n × n . ويمكن ترتيب ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n و 0 هي مصفوفة الصفر من الرتبة n × n . وبرمز z _t إلى متجه 2n × 1 المكدس للمتغيرات الحالية والمتأخرة مرة واحدة، و L إلى مصفوفة الكتل من الرتبة 2n × 2n ، نحصل كما في السابق على الحل .

${\displaystyle \mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}}$

كما هو الحال من قبل، فإن هذه المعادلة المكدسة، وبالتالي المعادلة الأصلية من الدرجة الثانية، تكون مستقرة إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة L أصغر من واحد في القيمة المطلقة.

في التحكم الخطي التربيعي الغاوسي ، تنشأ معادلة مصفوفية غير خطية للتطور العكسي لمصفوفة التكلفة الحالية والمستقبلية ، والتي يُرمز لها أدناه بـ H. تُسمى هذه المعادلة معادلة ريكاتي الديناميكية المنفصلة ، ​​وتنشأ عندما يتم التحكم في متجه متغير يتطور وفقًا لمعادلة فرق مصفوفية خطية عن طريق معالجة متجه خارجي بهدف تحسين دالة تكلفة تربيعية . تأخذ معادلة ريكاتي هذه الشكل التالي، أو شكلًا مشابهًا:

${\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} }$

حيث H و K و A مصفوفات من الرتبة n × n ، و C من الرتبة n × k ، و R من الرتبة k × k ، و n هو عدد عناصر المتجه المراد التحكم به، و k هو عدد عناصر متجه التحكم. تُستخرج مصفوفتا المعاملات A و C من المعادلة الخطية ، بينما تُستخرج مصفوفتا المعاملات K و R من دالة التكلفة التربيعية. انظر هنا لمزيد من التفاصيل.

بشكل عام، لا يمكن حل هذه المعادلة تحليليًا لإيجاد H _t بدلالة t ؛ بل يتم إيجاد سلسلة قيم H _t بتكرار معادلة ريكاتي. مع ذلك، فقد ثبت ^{[ 3 ]} أنه يمكن حل معادلة ريكاتي تحليليًا إذا كانت R = 0 و n = k + 1 ، وذلك باختزالها إلى معادلة فرقية كسرية قياسية ؛ علاوة على ذلك، لأي قيمتين k و n ، إذا كانت مصفوفة الانتقال A غير منفردة، فإنه يمكن حل معادلة ريكاتي تحليليًا بدلالة القيم الذاتية للمصفوفة، على الرغم من أنه قد يلزم إيجاد هذه القيم عدديًا. ^{[ 4 ]}

في معظم السياقات، يكون تطور المصفوفة H عكسيًا عبر الزمن مستقرًا، أي أن H تتقارب إلى مصفوفة ثابتة معينة H * ، والتي قد تكون غير نسبية حتى لو كانت جميع المصفوفات الأخرى نسبية. انظر أيضًا: التحكم العشوائي §  الزمن المتقطع .

معادلة ريكاتي ذات الصلة ^{[ 5 ]} هي

${\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}}$

حيث تكون المصفوفات X و A و B و C و E جميعها من الرتبة n × n . يمكن حل هذه المعادلة بشكل صريح. لنفترض${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1},}$وهذا ينطبق بالتأكيد على t = 0 مع N ₀ = X ₀ و D ₀ = I. ثم باستخدام هذا في معادلة الفرق، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}}$

وبالتالي، بالاستقراء، يكون الشكل${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}}$ينطبق هذا على جميع قيم t . عندئذٍ ، يمكن كتابة تطور N و D على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}}$

وبالتالي بالاستقراء

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}}$

• معادلة تفاضلية مصفوفية
• معادلة الفرق
• معادلة الفرق الخطي
• النظام الديناميكي
• معادلة ريكاتي الجبرية