لورنتز القياسي

في النسبية الخاصة، يُعطى موقع الجسيم في الزمكان رباعي الأبعاد بالعلاقة التالية:$${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$ أين${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$يمثل موضع الجسيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالنسبة لحدث مرجعي،${\displaystyle \mathbf {v} }$هي السرعة في الفضاء ثلاثي الأبعاد و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء .

يُعتبر "طول" المتجه كمية لورنتز قياسية، ويُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle x_{\mu}x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2},}$$ أين${\displaystyle \tau }$يمثل الزمن الخاص كما يقيسه جهاز الساعة في إطار سكون الجسيم، ويُعطى مقياس مينكوفسكي بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$ هذا مقياس زمني.

غالباً ما يتم تقديم مقياس مينكوفسكي في شكل يتم فيه عكس الإشارة الإجمالية. $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$ هذا مقياس يشبه الفضاء.

في مقياس مينكوفسكي، الفاصل الزمني الشبيه بالفضاء${\displaystyle s}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle x_{\mu}x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$

نستخدم مقياس مينكوفسكي الشبيه بالفضاء في بقية هذا المقال.

تُعرَّف السرعة في الزمكان على النحو التالي: $${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau},{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right),}$$ أين $${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$

مقدار السرعة الرباعية هو كمية قياسية لورنتزية. $${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$

وبالتالي ،${\displaystyle c}$هو كمية قياسية لورنتزية.

التسارع الرباعي يُعطى بالعلاقة التالية $${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$

يكون التسارع في الاتجاه 4 عموديًا دائمًا على السرعة في الاتجاه 4 $${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$

لذا، يمكننا اعتبار التسارع في الزمكان مجرد دوران للسرعة الرباعية. حاصل الضرب الداخلي للتسارع والسرعة هو كمية لورنتز قياسية، وقيمته صفر. هذا الدوران هو ببساطة تعبير عن قانون حفظ الطاقة. $${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$ أين${\displaystyle E}$هي طاقة الجسيم و${\displaystyle \mathbf {F} }$هي القوة الثالثة المؤثرة على الجسيم.

لنفترض وجود جسيم ثانٍ بسرعة 4${\displaystyle u}$وسرعة ثلاثية${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$في إطار السكون للجسيم الثاني، يكون الجداء الداخلي لـ${\displaystyle u}$مع${\displaystyle p}$يتناسب مع طاقة الجسيم الأول $${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}$$ حيث يشير الرقم السفلي 1 إلى الجسيم الأول.

بما أن العلاقة صحيحة في إطار الراحة للجسيم الثاني، فإنها صحيحة في أي إطار مرجعي.${\displaystyle E_{1}}$طاقة الجسيم الأول في إطار الجسيم الثاني هي كمية قياسية لورنتزية. لذلك، $${\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$$ في أي إطار مرجعي قصوري، حيث${\displaystyle E_{1}}$لا تزال طاقة الجسيم الأول في إطار الجسيم الثاني.

في إطار سكون الجسيم، يكون حاصل الضرب الداخلي للزخم هو $${\displaystyle p_{\mu}p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}$$

لذا، فإن كتلة السكون ( m ) هي كمية قياسية لورنتزية. وتبقى هذه العلاقة صحيحة بغض النظر عن الإطار المرجعي الذي يُحسب فيه الجداء الداخلي. وفي كثير من الحالات، تُكتب كتلة السكون على النحو التالي:${\displaystyle m_{0}}$لتجنب الخلط مع الكتلة النسبية، وهي${\displaystyle \gamma m_{0}}$.

لاحظ أن $${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}$$

مربع مقدار الزخم الثلاثي للجسيم كما تم قياسه في إطار الجسيم الثاني هو كمية قياسية لورنتزية.

يمكن بناء السرعة الثلاثية، في إطار الجسيم الثاني، من كميتين قياسيتين لورنتزيتين $${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}$$