انحناء ريتشي

في الهندسة التفاضلية ، موتر انحناء ريتشي ، الذي سمي على اسم جريجوريو ريتشي-كورباسترو ، هو كائن هندسي يتم تحديده من خلال اختيار مقياس ريماني أو شبه ريماني على متعدد الشعب . ويمكن اعتباره، على نطاق واسع، مقياسًا لدرجة اختلاف هندسة موتر متري معين محليًا عن هندسة الفضاء الإقليدي العادي أو الفضاء الإقليدي الزائف .

يمكن وصف موتر ريتشي من خلال قياس كيفية تشوه الشكل أثناء التحرك على طول المسارات الجيوديسية في الفضاء. في النسبية العامة ، والتي تتضمن الإعداد شبه الريماني، ينعكس هذا من خلال وجود موتر ريتشي في معادلة رايشودري . ولهذا السبب جزئيًا، تقترح معادلات مجال أينشتاين أنه يمكن وصف الزمكان بمقياس شبه ريماني، مع وجود علاقة بسيطة بشكل لافت للنظر بين موتر ريتشي ومحتوى المادة في الكون.

مثل موتر المقياس، يعين موتر ريتشي لكل فضاء مماس للمتعدد الشعب شكلًا خطيًا متماثلًا (بيسي 1987، ص 43). ^[1] على نطاق واسع، يمكن للمرء أن يشبه دور انحناء ريتشي في الهندسة الريمانية بدور لابلاس في تحليل الدوال؛ في هذا القياس، يتوافق موتر انحناء ريمان ، الذي يُعد انحناء ريتشي ناتجًا ثانويًا طبيعيًا له، مع المصفوفة الكاملة للمشتقات الثانية للدالة. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لرسم نفس القياس.

في الطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد ، يحتوي موتر ريتشي على جميع المعلومات التي يتم ترميزها في الأبعاد الأعلى بواسطة موتر انحناء ريمان الأكثر تعقيدًا . جزئيًا، تسمح هذه البساطة بتطبيق العديد من الأدوات الهندسية والتحليلية، مما أدى إلى حل تخمين بوانكاريه من خلال عمل ريتشارد س. هاميلتون وغريغوري بيرلمان .

في الهندسة التفاضلية، تسمح الحدود الدنيا لموتر ريتشي على متعدد الشعب الريماني باستخراج معلومات هندسية وطوبولوجية عالمية عن طريق المقارنة (راجع نظرية المقارنة ) مع هندسة شكل فضاء الانحناء الثابت . وذلك لأن الحدود الدنيا لموتر ريتشي يمكن استخدامها بنجاح في دراسة الدالة الطولية في الهندسة الريمانية، كما هو موضح لأول مرة في عام 1941 عبر نظرية مايرز .

أحد المصادر الشائعة لموتر ريتشي هو أنه ينشأ كلما تم تبديل المشتقة المتغيرة بالموتر اللابلاسي. وهذا، على سبيل المثال، يفسر وجوده في صيغة بوشنر ، والتي تُستخدم على نطاق واسع في الهندسة الريمانية. على سبيل المثال، تشرح هذه الصيغة لماذا تعتمد تقديرات التدرج بسبب شينج-تونج ياو (وتطوراتها مثل متباينات تشنغ-ياو ولي-ياو) دائمًا تقريبًا على حد أدنى لانحناء ريتشي.

في عام 2007، أظهر جون لوت وكارل ثيودور ستورم وسيدريك فيلاني بشكل حاسم أن الحدود الدنيا لانحناء ريتشي يمكن فهمها بالكامل من حيث بنية الفضاء المتري لمتعدد الشعب الريماني، جنبًا إلى جنب مع شكل حجمه. ^[2] وقد أدى هذا إلى إنشاء رابط عميق بين انحناء ريتشي وهندسة واسرشتاين والنقل الأمثل ، وهو موضوع الكثير من الأبحاث حاليًا. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

افترض أن هو متعدد شعب ريماني أو شبه ريماني ذو بعد - ، مزود باتصال ليفي-سيفيتا الخاص به . انحناء ريمان لـ هو خريطة تأخذ حقول متجه سلسة و و و وتعيد حقل المتجه في حقول المتجهات . نظرًا لأن هو حقل موتر، لكل نقطة ، فإنه يؤدي إلى خريطة (متعددة الخطوط): حدد لكل نقطة الخريطة بواسطة ${\displaystyle \left(M,g\right)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]} ض}$$ ${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p\in م}$$${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$${\displaystyle p\in م}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

وهذا يعني أنه بعد تحديد و ، إذن لأي أساس متعامد عمودي لمساحة المتجه ، يكون لدينا ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle T_{p}M}$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

إنه تمرين قياسي في الجبر الخطي المتعدد للتأكد من أن هذا التعريف لا يعتمد على اختيار الأساس . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

في تدوين الفهرس المجرد ،

$${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

اتفاقيات الإشارة. لاحظ أن بعض المصادر تحدد ما يمكن أن نسميه هنا، ثم تحدده على أنه على الرغم من اختلاف اتفاقيات الإشارة فيما يتعلق بموتر ريمان، إلا أنها لا تختلف فيما يتعلق بموتر ريتشي. ${\displaystyle R(X,Y)Z}$${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$${\displaystyle \operatorname {ريك} _{p}}$${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).}$

ليكن متعدد الشعب الريماني السلس أو شبه الريماني . إذا كان لدينا مخطط سلس، فإن لدينا دوال و لكل منها تلبي ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g^{ij}:\varphi(U)\rightarrow \mathbb{R} }$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$

بالنسبة لجميع . يوضح الأخير أنه، معبرًا عنه كمصفوفات، . يتم تعريف الدوال من خلال التقييم على حقول متجه الإحداثيات، في حين يتم تعريف الدوال بحيث توفر، كدالة ذات قيمة مصفوفة، معكوسًا للدالة ذات القيمة المصفوفة . ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{ij}}$${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

الآن قم بتعريف، لكل ، ، ، ، وبين 1 و ، الدوال ${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\مجموع _{b=1}^{n}\يسار(\جاما _{ab}^{a}\جاما _{ij}^{b}-\جاما _{ib}^{a}\جاما _{aj}^{b}\يمين)\نهاية{محاذاة}}}$$

كخرائط . ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

الآن دع و يكون مخططين سلسين مع . دع الدوال المحسوبة كما هو موضح أعلاه عبر المخطط ودع الدوال المحسوبة كما هو موضح أعلاه عبر المخطط . بعد ذلك يمكن للمرء التحقق من خلال حساب باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب أن ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$

$${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$$

حيث تكون المشتقة الأولى على طول الاتجاه لـ . وهذا يوضح أن التعريف التالي لا يعتمد على اختيار . لأي ، قم بتعريف خريطة ثنائية الخط بواسطة ${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$${\displaystyle p\in U}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$

حيث و هما مكونات متجهات الظل عند في و بالنسبة لحقول متجه الإحداثيات لـ . ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

من الشائع اختصار العرض الرسمي المذكور أعلاه بالأسلوب التالي:

يتضمن السطر الأخير إثباتًا بأن الخريطة الخطية Ric محددة جيدًا، وهو أمر أسهل كثيرًا في الكتابة باستخدام التدوين غير الرسمي.

التعريفان المذكوران أعلاه متطابقان. الصيغتان اللتان تحددان و في نهج الإحداثيات لهما توازي دقيق في الصيغ التي تحدد اتصال ليفي-سيفيتا، وانحناء ريمان عبر اتصال ليفي-سيفيتا. يمكن القول إن التعريفات التي تستخدم الإحداثيات المحلية بشكل مباشر هي الأفضل، لأن "الخاصية الحاسمة" لموتر ريمان المذكور أعلاه تتطلب أن تكون هاوسدورف من أجل أن تصمد. على النقيض من ذلك، فإن نهج الإحداثيات المحلية يتطلب فقط أطلسًا سلسًا. كما أنه من الأسهل إلى حد ما ربط فلسفة "الثبات" التي تكمن وراء النهج المحلي بطرق بناء أشياء هندسية أكثر غرابة، مثل حقول الدوران . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle M}$

الصيغة المعقدة التي تم تعريفها في القسم التمهيدي هي نفسها الموجودة في القسم التالي. والفرق الوحيد هو أن المصطلحات تم تجميعها بحيث يسهل رؤية ذلك${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

كما يمكن أن نرى من تناظرات موتر انحناء ريمان، فإن موتر ريتشي لمتعدد الشعب الريماني متماثل ، بمعنى أن

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$

للجميع${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

وبالتالي، يتبع ذلك خطيًا جبريًا أن موتر ريتشي يتحدد تمامًا من خلال معرفة الكمية لجميع المتجهات ذات الطول الوحدوي. غالبًا ما تسمى هذه الدالة على مجموعة متجهات الظل الوحدوية أيضًا بانحناء ريتشي ، لأن معرفتها تعادل معرفة موتر انحناء ريتشي. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$${\displaystyle X}$

يتم تحديد انحناء ريتشي من خلال الانحناءات المقطعية لمتعدد الشعب الريماني، ولكنه يحتوي عمومًا على معلومات أقل. في الواقع، إذا كان متجهًا بطول الوحدة على متعدد الشعب الريماني، فإن يكون مضروبًا بدقة في القيمة المتوسطة لانحناء المقطع، المأخوذة على جميع المستويين اللذين يحتويان على . هناك عائلة ذات بعدين من هذه المستويين، وبالتالي فقط في البعدين 2 و3 يحدد موتر ريتشي موتر الانحناء الكامل. الاستثناء الملحوظ هو عندما يتم إعطاء المتعدد مسبقًا كسطح فائق للفضاء الإقليدي . الشكل الأساسي الثاني ، الذي يحدد الانحناء الكامل عبر معادلة جاوس-كودازي ، يتم تحديده في حد ذاته بواسطة موتر ريتشي والاتجاهات الرئيسية للسطح الفائق هي أيضًا الاتجاهات الذاتية لموتر ريتشي. قدم ريتشي الموتر لهذا السبب. ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (n-2)}$

كما يمكن أن نرى من هوية بيانكي الثانية، هناك

$${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$

أين هو الانحناء القياسي ، والذي يتم تعريفه في الإحداثيات المحلية على النحو التالي: وهذا ما يسمى غالبًا بهوية بيانكي الثانية المتعاقد عليها. ${\displaystyle R}$${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

بالقرب من أي نقطة في متعدد الشعب الريماني ، يمكن للمرء تحديد إحداثيات محلية مفضلة، تسمى إحداثيات جيوديسية طبيعية . يتم تكييف هذه الإحداثيات مع المقياس المتري بحيث تتوافق الإحداثيات الجيوديسية من خلال الخطوط المستقيمة عبر الأصل، بطريقة تتوافق فيها المسافة الجيوديسية من مع المسافة الإقليدية من الأصل. في هذه الإحداثيات، يتم تقريب موتر المقياس المتري بشكل جيد بواسطة المقياس الإقليدي، بالمعنى الدقيق لذلك ${\displaystyle p}$${\displaystyle \left(M,g\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

في الواقع، من خلال أخذ توسع تايلور للمقياس المطبق على حقل جاكوبي على طول خط جيوديسي شعاعي في نظام الإحداثيات الطبيعي، يكون لدينا $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

في هذه الإحداثيات، يكون لعنصر الحجم المتري التوسع التالي عند p :

$${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

الذي يتبع ذلك بتوسيع الجذر التربيعي لمحدد المقياس.

وبالتالي، إذا كان انحناء ريتشي موجبًا في اتجاه متجه ، فإن المنطقة المخروطية في التي تم مسحها بواسطة عائلة مركزة بإحكام من المقاطع الجيوديسية بطول ينبعث من ، بسرعة أولية داخل مخروط صغير حوالي ، سيكون لها حجم أصغر من المنطقة المخروطية المقابلة في الفضاء الإقليدي، على الأقل بشرط أن تكون صغيرة بدرجة كافية. وبالمثل، إذا كان انحناء ريتشي سالبًا في اتجاه متجه معين ، فإن مثل هذه المنطقة المخروطية في المتشعب سيكون لها بدلاً من ذلك حجم أكبر مما سيكون عليه في الفضاء الإقليدي. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \xi }$

انحناء ريتشي هو في الأساس متوسط ​​الانحناءات في المستويات بما في ذلك . وبالتالي، إذا أصبح المخروط المنبعث بمقطع عرضي دائري (أو كروي) في البداية مشوهًا إلى قطع ناقص ( قطع ناقص )، فمن الممكن أن يتلاشى تشوه الحجم إذا كانت التشوهات على طول المحاور الرئيسية تتعارض مع بعضها البعض. ثم يتلاشى انحناء ريتشي على طول . في التطبيقات الفيزيائية، لا يشير وجود انحناء مقطعي غير متلاشي بالضرورة إلى وجود أي كتلة محليًا؛ إذا أصبح المقطع العرضي الدائري في البداية لمخروط من خطوط العالم بيضاويًا لاحقًا، دون تغيير حجمه، فهذا يرجع إلى تأثيرات المد والجزر من كتلة في مكان آخر. ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

تلعب انحناءة ريتشي دورًا مهمًا في النسبية العامة ، حيث أنها المصطلح الأساسي في معادلات مجال أينشتاين .

تظهر انحناءات ريتشي أيضًا في معادلة تدفق ريتشي ، التي قدمها لأول مرة ريتشارد س. هاملتون في عام 1982، حيث تم تحديد عائلات معينة ذات معلمة واحدة من المقاييس الريمانية كحلول لمعادلة تفاضلية جزئية محددة هندسيًا. في الإحداثيات المحلية التوافقية، يمكن التعبير عن موتر ريتشي على النحو التالي (Chow & Knopf 2004، Lemma 3.32). ^[3] حيث هي مكونات موتر المتري و هو عامل لابلاس-بلترامي . تحفز هذه الحقيقة تقديم معادلة تدفق ريتشي كامتداد طبيعي لمعادلة الحرارة للمتري. نظرًا لأن الحرارة تميل إلى الانتشار عبر مادة صلبة حتى يصل الجسم إلى حالة توازن من درجة حرارة ثابتة، إذا تم إعطاء أحد المتشعبات، فيمكننا أن نأمل في أن ينتج تدفق ريتشي مقياسًا ريمانيًا "متوازنًا" وهو أينشتاين أو انحناء ثابت. ومع ذلك، لا يمكن تحقيق مثل هذه الصورة النظيفة "للتقارب" نظرًا لأن العديد من المتشعبات لا يمكنها دعم مثل هذه المقاييس. تُظهر دراسة مفصلة لطبيعة حلول تدفق ريتشي، والتي يرجع الفضل فيها بشكل أساسي إلى هاملتون وجريجوري بيرلمان ، أن أنواع "التفردات" التي تحدث على طول تدفق ريتشي، والتي تتوافق مع فشل التقارب، تشفر معلومات عميقة حول الطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد. كانت ذروة هذا العمل إثباتًا لتخمين الهندسة الذي اقترحه ويليام ثورستون لأول مرة في سبعينيات القرن العشرين، والذي يمكن اعتباره تصنيفًا للمتشعبات المدمجة ثلاثية الأبعاد. $${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \Delta }$

في متعدد الشعب كاهلر ، يحدد انحناء ريتشي فئة تشيرن الأولى للمتعدد الشعب (التواء مود). ومع ذلك، لا يوجد لانحناء ريتشي تفسير طوبولوجي مماثل على متعدد الشعب الريماني العام.

فيما يلي قائمة قصيرة بالنتائج العالمية المتعلقة بالمتعددات ذات انحناء ريتشي الموجب؛ انظر أيضًا النظريات الكلاسيكية للهندسة الريمانية . باختصار، انحناء ريتشي الموجب لمتعدد الريمان له عواقب طوبولوجية قوية، بينما (بالنسبة للبعد 3 على الأقل)، لا يوجد لانحناء ريتشي السالب أي آثار طوبولوجية. (يقال إن انحناء ريتشي موجب إذا كانت دالة انحناء ريتشي موجبة على مجموعة متجهات الظل غير الصفرية .) بعض النتائج معروفة أيضًا للمتعددات شبه الريمانية. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$

1. تنص نظرية مايرز (1941) على أنه إذا كان انحناء ريتشي محددًا من الأسفل على متعدد شعب ريماني كامل ذو n بـ ، فإن متعدد الشعب له قطر . وبموجب حجة مساحة التغطية، يتبع ذلك أن أي متعدد شعب مضغوط ذو انحناء ريتشي موجب يجب أن يكون له مجموعة أساسية محدودة . أظهر تشنغ (1975) أنه في هذا الإطار، تحدث المساواة في متباينة القطر إذا كان متعدد الشعب متساوي القياس بالنسبة لكرة ذات انحناء ثابت .${\displaystyle (n-1)k>0}$${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$${\displaystyle k}$
2. تنص متباينة بيشوب- جروموف على أنه إذا كان متعدد الشعب الريماني كامل الأبعاد له انحناء ريتشي غير سلبي، فإن حجم الكرة الجيوديسية يكون أقل من أو يساوي حجم الكرة الجيوديسية بنفس نصف القطر في الفضاء الإقليدي. علاوة على ذلك، إذا كان يشير إلى حجم الكرة ذات المركز ونصف القطر في متعدد الشعب ويشير إلى حجم الكرة بنصف القطر في الفضاء الإقليدي، فإن الدالة غير متزايدة. يمكن تعميم هذا على أي حد أدنى لانحناء ريتشي (ليس فقط غير السلبي)، وهو النقطة الأساسية في إثبات نظرية الاكتناز لغروموف .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v_{p}(R)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. تنص نظرية تقسيم تشيجر-جرومول على أنه إذا احتوى متعدد الشعب الريماني الكامل على خط ، أي خط جيوديسي بحيث يكون متساوي القياس بالنسبة لمساحة حاصل الضرب لجميع ، فإنه يكون متساوي القياس بالنسبة لمساحة حاصل الضرب . وبالتالي، فإن متعدد الشعب الكامل ذو انحناء ريتشي الموجب يمكن أن يكون له طرف طوبولوجي واحد على الأكثر. كما أن النظرية صحيحة أيضًا في ظل بعض الفرضيات الإضافية لمتعددات الشعب اللورينتزية الكاملة (ذات التوقيع المتري ) مع موتر ريتشي غير سالب (جالواي 2000).${\displaystyle \left(M,g\right)}$${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. كانت نظرية التقارب الأولى لهاملتون لتدفق ريتشي، كنتيجة حتمية، هي أن المتشعبات المدمجة الوحيدة ذات الثلاثة أبعاد التي لها مقاييس ريمانانية لانحناء ريتشي الموجب هي حاصل قسمة الكرة الثلاثة على مجموعات فرعية منفصلة من SO(4) والتي تعمل بشكل متقطع بشكل صحيح. وقد قام لاحقًا بتوسيع هذا ليسمح بانحناء ريتشي غير السالب. وعلى وجه الخصوص، فإن الاحتمال الوحيد المتصل بشكل بسيط هو الكرة الثلاثة ذاتها.

تظهر هذه النتائج، وخاصة نتائج مايرز وهاملتون، أن انحناء ريتشي الإيجابي له عواقب طوبولوجية قوية. وعلى النقيض من ذلك، باستثناء حالة الأسطح، من المعروف الآن أن انحناء ريتشي السلبي ليس له أي آثار طوبولوجية؛ فقد أظهر لوكامب (1994) أن أي متعدد الشعب ذي بعد أكبر من اثنين يسمح بمقياس ريماني كامل لانحناء ريتشي السلبي. وفي حالة المتعددات ثنائية الأبعاد، فإن سلبية انحناء ريتشي مرادفة لسلبية الانحناء الغاوسي، والذي له آثار طوبولوجية واضحة للغاية . هناك عدد قليل جدًا من المتعددات ثنائية الأبعاد التي تفشل في قبول القياسات الريمانية للانحناء الغاوسي السلبي.

إذا تم تغيير المقياس عن طريق ضربه بعامل مطابق ، يتم إعطاء موتر ريتشي للمقياس الجديد المرتبط بالمطابقة (بيسي 1987، ص 59) بواسطة ${\displaystyle g}$${\displaystyle e^{2f}}$${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$

$${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$

أين هو (الطيف الإيجابي) هودج لابلاسيان، أي عكس الأثر المعتاد للهسياني. ${\displaystyle \Delta =*d*d}$

على وجه الخصوص، بالنظر إلى نقطة في متعدد الشعب الريماني، فمن الممكن دائمًا العثور على مقاييس مطابقة للمقياس المعطى الذي يختفي عنده موتر ريتشي عند . ومع ذلك، لاحظ أن هذا هو تأكيد نقطي فقط؛ من المستحيل عادةً جعل انحناء ريتشي يختفي بشكل متطابق على متعدد الشعب بالكامل من خلال إعادة القياس المطابق. ${\displaystyle p}$${\displaystyle g}$${\displaystyle p}$

بالنسبة للمتعددات ثنائية الأبعاد، تُظهر الصيغة أعلاه أنه إذا كانت دالة توافقية ، فإن القياس المطابق لا يغير موتر ريتشي (على الرغم من أنه لا يزال يغير أثره فيما يتعلق بالمقياس ما لم يكن . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$${\displaystyle f=0}$

في الهندسة الريمانية والهندسة شبه الريمانية ، موتر ريتشي الخالي من التتبع (يُسمى أيضًا موتر ريتشي الخالي من التتبع ) لمتعدد الشعب الريماني أو شبه الريماني هو الموتر المحدد بواسطة ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(M,g\right)}$

$${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$

حيث يشير كل من و إلى انحناء ريتشي والانحناء القياسي لـ . يعكس اسم هذا الكائن حقيقة أن أثره يختفي تلقائيًا: ومع ذلك، فهو موتر مهم للغاية لأنه يعكس "تحللًا متعامدًا" لموتر ريتشي. ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

الخاصية التالية، ليست تافهة للغاية، هي

$${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

من غير الواضح على الفور أن المصطلحين الموجودين على الجانب الأيمن متعامدين مع بعضهما البعض:

$${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

الهوية التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بهذا (ولكن يمكن إثباتها بشكل مباشر) هي أن

$${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

من خلال أخذ تباعد واستخدام متطابقة بيانكي المتعاقد عليها، نرى أن ذلك يعني . لذا، بشرط أن يكون n ≥ 3 و متصلين، فإن اختفاء ذلك يعني أن الانحناء القياسي ثابت. ومن ثم يمكننا أن نرى أن ما يلي متكافئ: ${\displaystyle Z=0}$${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$لبعض العدد${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

في الإطار الريماني، يُظهِر التحليل المتعامد أعلاه أن هذا يعادل أيضًا هذه الشروط. وعلى النقيض من ذلك، في الإطار شبه الريماني، لا يعني الشرط بالضرورة أن كل ما يمكن قوله هو أن هذه الشروط تعني${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$${\displaystyle Z=0,}$${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.}$

على وجه الخصوص، فإن اختفاء موتر ريتشي الخالي من الآثار يميز متعددات أينشتاين ، كما هو محدد بواسطة الشرط لعدد في النسبية العامة ، تنص هذه المعادلة على أن هو حل لمعادلات مجال الفراغ لأينشتاين مع الثابت الكوني . ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \left(M,g\right)}$

في متعدد شعب كاهلر ، يحدد انحناء ريتشي شكل انحناء حزمة الخطوط القياسية (مورويانو 2007، الفصل 12). حزمة الخطوط القياسية هي القوة الخارجية العليا لحزمة تفاضلات كاهلر المجسمة : ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

يؤدي اتصال ليفي-سيفيتا المقابل للمقياس على إلى نشوء اتصال على . انحناء هذا الاتصال هو الشكل ثنائي الأبعاد المحدد بواسطة ${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$

حيث يتم تحديد خريطة البنية المعقدة على الحزمة المماسية من خلال بنية متعدد شعب كاهلر. شكل ريتشي هو شكل مغلق ثنائي الأبعاد. فئة التماثل الخاصة به هي، حتى عامل ثابت حقيقي، فئة تشيرن الأولى للحزمة القياسية، وبالتالي فهي ثابتة طوبولوجيًا لـ (بالنسبة إلى compact ) بمعنى أنها تعتمد فقط على طوبولوجيا وفئة التماثل للبنية المعقدة. ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

وعلى العكس من ذلك، يحدد نموذج ريتشي موتر ريتشي بواسطة

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

في الإحداثيات المحلية الشاملة ، يتم إعطاء شكل ريتشي بواسطة ${\displaystyle z^{\alpha }}$

$${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$

حيث ∂ هو عامل دولبو و

$${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

إذا اختفى موتر ريتشي، فإن الحزمة الأساسية تكون مسطحة، وبالتالي يمكن تقليص مجموعة البنية محليًا إلى مجموعة فرعية من المجموعة الخطية الخاصة . ومع ذلك، تمتلك متشعبات كاهلر بالفعل هولونومي في ، وبالتالي فإن هولونومي (المقيد) لمتشعب كاهلر المسطح ريتشي موجود في . وعلى العكس من ذلك، إذا كان هولونومي (المقيد) لمتشعب ريماني ثنائي الأبعاد موجودًا في ، فإن المتشعب هو متشعب كاهلر المسطح ريتشي (كوباياشي ونوميزو 1996، IX، §4). ${\displaystyle SL(n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle SU(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle SU(n)}$

يمكن أيضًا تعميم موتر ريتشي على اتصالات أفينية عشوائية ، حيث يكون ثابتًا يلعب دورًا مهمًا بشكل خاص في دراسة الهندسة الإسقاطية (الهندسة المرتبطة بالجيوديسيات غير المعلمة) (نوميزو وساساكي 1994). إذا كان يدل على اتصال أفيني، فإن موتر الانحناء هو موتر (1،3) المحدد بواسطة ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

لأي حقول متجهة . يتم تعريف موتر ريتشي ليكون التتبع: ${\displaystyle X,Y,Z}$

$${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

في هذا الموقف الأكثر عمومية، يكون موتر ريتشي متماثلًا إذا وفقط إذا كان هناك شكل حجم موازٍ محليًا للاتصال.

تم تعريف مفاهيم انحناء ريتشي على المتشعبات المنفصلة على الرسوم البيانية والشبكات، حيث يتم قياس خصائص التباعد المحلي للحواف. يتم تعريف انحناء ريتشي لأوليفييه باستخدام نظرية النقل الأمثل. ^[4] يعتمد مفهوم مختلف (وأقدم)، انحناء ريتشي لفورمان، على الحجج الطوبولوجية. ^[5]

• بيسي، AL (1987)، متشعبات أينشتاين ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-15279-8.
• تشاو، بينيت ونوبف، دان (2004)، تدفق ريتشي: مقدمة ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-3515-7.
• أيزنهارت، إل بي (1949)، الهندسة الريمانية ، مطبعة جامعة برينستون.
• فورمان (2003)، "طريقة بوشنر للمركبات الخلوية وانحناء ريتشي التوليفي"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 29 (3): 323-374. doi:10.1007/s00454-002-0743-x. ISSN 1432-0444
• جالواي، جريجوري (2000)، "المبادئ القصوى للأسطح الفائقة الصفرية ونظريات تقسيم الصفر"، حوليات معهد هنري بوانكاريه أ ، 1 (3): 543-567، arXiv : math/9909158 ، رمز Bibcode :2000AnHP....1..543G، doi :10.1007/s000230050006، S2CID  9619157.
• كوباياشي، س.؛ نوميزو، ك. (1963)، أساسيات الهندسة التفاضلية، المجلد 1 ، إنترساينس.
• كوباياشي، شوشيشي؛ نوميزو، كاتسومي (1996)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلد. 2 , وايلي إنترساينس , ISBN 978-0-471-15732-8.
• لوكامب، جواكيم (1994)، "مقاييس انحناء ريتشي السالب"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 140 (3)، حوليات الرياضيات: 655-683، doi :10.2307/2118620، ISSN  0003-486X، JSTOR  2118620، MR  1307899.
• مورويانو، أندريه (2007)، محاضرات عن هندسة كاهلر ، نصوص طلاب الجمعية الرياضية بلندن، المجلد 69، مطبعة جامعة كامبريدج ، arXiv : math/0402223 ، doi :10.1017/CBO9780511618666، ISBN 978-0-521-68897-0، السيد  2325093، S2CID  209824092
• نوميزو، كاتسومي ؛ ساساكي، تاكيشي (1994)، الهندسة التفاضلية الأفينية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-44177-3.
• أوليفير، يان (2009)، "انحناء ريتشي لسلاسل ماركوف في الفضاءات المترية"، مجلة التحليل الوظيفي 256 (3): 810-864. doi:10.1016/j.jfa.2008.11.001. ISSN 0022-1236
• Ricci، G. (1903–1904)، “Direzioni e invarianti maini in una varietà qualunque”، Atti R. Inst. فينيتو ، 63 (2): 1233-1239.
• LA Sidorov (2001) [1994]، "Ricci tensor"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• LA Sidorov (2001) [1994]، "انحناء ريتشي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• نجمان، لوران ورومون، باسكال (2017): الأساليب الحديثة للانحناء المنفصل، سبرينغر (شام)، مذكرات محاضرات في الرياضيات

• Z. Shen, C. Sormani "طوبولوجيا المتشعبات المفتوحة ذات انحناء ريتشي غير السلبي" (دراسة استقصائية)
• جي. وي، "المتعددات ذات حدود انحناء ريتشي المنخفضة" (دراسة استقصائية)