حالة مقياس لورينز

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الكهرومغناطيسية ، يُعد شرط لورنز القياسي أو مقياس لورنز (نسبةً إلى لودفيج لورنز ) تثبيتًا جزئيًا للمقياس الكمي للمتجه الكهرومغناطيسي من خلال اشتراط∂μأμ=0{\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}يُخلط هذا الاسم غالبًا مع اسم هندريك لورنتز ، الذي سُميت العديد من المفاهيم في هذا المجال باسمه. [ 1 ] الشرط ثابت لورنتز . لا يُحدد شرط قياس لورنتز القياس بشكل كامل: إذ لا يزال من الممكن إجراء تحويل قياس .أμ↦أμ+∂μو{\displaystyle A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f}، حيث∂μ{\displaystyle \partial ^{\mu }}هو التدرج الرباعي وو{\displaystyle f}هي أي دالة قياسية توافقية : أي دالة قياسية تخضع لـ∂μ∂μو=0{\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0}، معادلة حقل قياسي عديم الكتلة .

يُستخدم شرط لورنز القياسي لإزالة مُكوّن اللف المغزلي الصفري الزائد في معادلات ماكسويل عند استخدامها لوصف حقل كمومي عديم الكتلة ذي لف مغزلي 1. كما يُستخدم أيضًا للحقول ذات الكتلة ذات اللف المغزلي 1 حيث لا ينطبق مفهوم تحويلات القياس على الإطلاق.

وصف

في الكهرومغناطيسية ، يُستخدم شرط لورنتز عمومًا في حسابات المجالات الكهرومغناطيسية المتغيرة مع الزمن من خلال الكمونات المتأخرة . [ 2 ] الشرط هو ∂μأμ≡أμ،μ=0،{\displaystyle \جزئي _{\mu} A^{\mu }\equiv A^{\mu }_{,\mu }=0,} أينأμ{\displaystyle A^{\mu }}يمثل هذا الجهد الرباعي ، وتشير الفاصلة إلى التفاضل الجزئي ، ويشير المؤشر المتكرر إلى استخدام اصطلاح جمع أينشتاين . يتميز هذا الشرط بكونه ثابتًا تحت تحويلات لورنتز ، مع احتفاظه بدرجات حرية قياس كبيرة.

في الترميز المتجهي العادي ووحدات النظام الدولي للوحدات، يكون الشرط هو ∇⋅أ+1ج2∂φ∂ت=0،{\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,} أينأ{\displaystyle \mathbf {A} }هو الجهد المتجه المغناطيسي وφ{\displaystyle \varphi }هو الجهد الكهربائي ؛ [ 3 ] [ 4 ] انظر أيضًا تثبيت المقياس .

في وحدات غاوس، يكون الشرط [ 5 ] [ 6 ]∇⋅أ+1ج∂φ∂ت=0.{\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}

يمكن إيجاد تبرير سريع لمقياس لورنز باستخدام معادلات ماكسويل والعلاقة بين الكمون المتجه المغناطيسي والمجال المغناطيسي: ∇×هـ=-∂ب∂ت=-∂(∇×أ)∂ت{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}

لذلك، ∇×(هـ+∂أ∂ت)=0.{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}

بما أن الدوران يساوي صفرًا، فهذا يعني وجود دالة قياسية.φ{\displaystyle \varphi }بحيث -∇φ=هـ+∂أ∂ت.{\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}

وهذا يعطي معادلة معروفة للمجال الكهربائي: هـ=-∇φ-∂أ∂ت.{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}

يمكن استبدال هذه النتيجة في معادلة أمبير-ماكسويل ، ∇×ب=μ0ج+1ج2∂هـ∂ت∇×(∇×أ)=μ0ج+1ج2∂∂ت(-∇φ-∂أ∂ت)⇒∇(∇⋅أ)-∇2أ=μ0ج-1ج2∂(∇φ)∂ت-1ج2∂2أ∂ت2.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\[1ex]\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\\[1ex]\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}

وهذا يترك ∇(∇⋅أ+1ج2∂φ∂ت)=μ0ج-1ج2∂2أ∂ت2+∇2أ.{\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}

لتحقيق ثبات لورنتز، يجب التعامل مع المشتقات الزمنية والمشتقات المكانية على قدم المساواة (أي من نفس الرتبة). لذلك، من الملائم اختيار شرط قياس لورنتز، الذي يجعل الطرف الأيسر صفرًا ويعطي النتيجة. ◻أ=[1ج2∂2∂ت2-∇2]أ=μ0ج.{\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} .}

سيؤدي إجراء مماثل مع التركيز على الجهد القياسي الكهربائي واختيار نفس المقياس إلى ◻φ=[1ج2∂2∂ت2-∇2]φ=1ε0ρ.{\displaystyle \Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .}

هذه أشكال أبسط وأكثر تناظرًا لمعادلات ماكسويل غير المتجانسة .

هنا ج=1ε0μ0{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}} هي سرعة الضوء في الفراغ، و◻{\displaystyle \Box }هو مؤثر دالمبير ذو التوقيع المتري (+ − − −) . هذه المعادلات ليست صالحة فقط في ظروف الفراغ، بل أيضًا في الأوساط المستقطبة، [ 7 ] إذاρ{\displaystyle \rho }وج{\displaystyle \mathbf {J} }تمثل كثافة المصدر وكثافة الدوران، على التوالي، لحقول الحث الكهرومغناطيسيهـ{\displaystyle \mathbf {E} }وب{\displaystyle \mathbf {B} }تم حسابها كالمعتاد منφ{\displaystyle \varphi }وأ{\displaystyle \mathbf {A} }بحسب المعادلات هـ=-∇φ-∂أ∂تب=∇×أ{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}

الحلول الصريحة لـφ{\displaystyle \varphi }وأ{\displaystyle \mathbf {A} }– فريدة من نوعها، إذا اختفت جميع الكميات بسرعة كافية عند اللانهاية – تُعرف باسم الكمونات المتأخرة .

تاريخ

عندما نُشرت أعمال لورنز لأول مرة عام 1867، لم تلقَ استحسانًا لدى جيمس كلارك ماكسويل . فقد استبعد ماكسويل قوة كولوم الكهروستاتيكية من اشتقاقه لمعادلة الموجة الكهرومغناطيسية، نظرًا لاستخدامه ما يُعرف اليوم بمقياس كولوم . وبالتالي، تناقض مقياس لورنز مع اشتقاق ماكسويل الأصلي لمعادلة الموجة الكهرومغناطيسية، وذلك بإدخال تأثير التأخير لقوة كولوم وإدراجه ضمن معادلة الموجة الكهرومغناطيسية إلى جانب المجال الكهربائي المتغير مع الزمن ، والذي ورد في ورقة لورنز البحثية بعنوان "حول تطابق اهتزازات الضوء مع التيارات الكهربائية". وكانت أعمال لورنز أول استخدام للتناظر لتبسيط معادلات ماكسويل بعد أن نشر ماكسويل نفسه ورقته البحثية عام 1865. وفي عام 1888، شاع استخدام الكمونات المتأخرة بعد تجارب هاينريش رودولف هيرتز على الموجات الكهرومغناطيسية . في عام 1895، جاءت دفعة أخرى لنظرية الكمونات المتأخرة بعد تفسير جيه جيه طومسون لبيانات الإلكترونات (بعد ذلك تحول البحث في الظواهر الكهربائية من توزيعات الشحنة الكهربائية والتيار الكهربائي المعتمدة على الزمن إلى الشحنات النقطية المتحركة ). [ 2 ]

استنتج لورنز الشرط من التعبيرات التكاملية المفترضة للجهود (المعروفة اليوم باسم الجهود المتأخرة)؛ فرضه لورنز (وقبله إميل فيشرت) لتثبيت المقياس (على سبيل المثال، في مقالته الموسوعية لعام 1904 حول نظرية الإلكترون).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جاكسون، جيه دي ؛ أوكون، إل بي (2001)، "الجذور التاريخية لثبات القياس"، مراجعات الفيزياء الحديثة ، 73 (3): 663-680 ، arXiv : hep-ph/0012061 ، Bibcode : 2001RvMP...73..663J ، doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 ، S2CID 8285663 
  2. 1 2 ماكدونالد، كيرك ت. (1997)، "العلاقة بين تعابير المجالات الكهرومغناطيسية المتغيرة مع الزمن التي قدمها جيفيمينكو وبانوفسكي وفيليبس" (ملف PDF) ، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 65 (11): 1074-1076 ، Bibcode : 1997AmJPh..65.1074M ، CiteSeerX 10.1.1.299.9838 ، doi : 10.1119/1.18723 ، S2CID 13703110 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 19-05-2022  
  3. ↑ جاكسون، جون ديفيد (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده. ص 240. ISBN   978-0-471-30932-1.
  4. ↑ كيلر، أولي (2012-02-02). نظرية الكم للديناميكا الكهربائية للمجال القريب . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 19. رمز Bibcode : 2011qtnf.book.....K . ISBN  9783642174100.
  5. ↑ غبور، غريغوري ج. (2011). الأساليب الرياضية للفيزياء البصرية والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 59. رمز Bibcode : 2011mmop.book.....G . ISBN  978-0-521-51610-5.
  6. ↑ هيتلر، والتر (1984). نظرية الكم للإشعاع . شركة كورير. ص 3. ISBN  9780486645582.
  7. ↑ على سبيل المثال، انظر Cheremisin, MV; Okun, LB (2003). "تمثيل ريمان-سيلبرشتاين لمجموعة معادلات ماكسويل الكاملة". arXiv : hep-th/0310036 .
عام
للمزيد من القراءة
تاريخ