نظرية المجال القياسي

أبسط نظرية للمجال القياسي هي النظرية الخطية . من خلال تحليل فورييه للمجالات، تُمثل هذه النظرية الأنماط الطبيعية لعدد لا نهائي من المذبذبات المتصلة، حيث يُرمز إلى حد الاستمرارية لمؤشر المذبذب i بالرمز x . ويكون الفعل لنظرية المجال القياسي النسبي الحر كما يلي:

$// }\phi \جزئي _{\nu}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\جزئي _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\دلتا ^{ij}\جزئي _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يُعرف باسم كثافة لاغرانجية ؛ d ^{4 − 1} x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx ¹ ⋅ dx ² ⋅ dx ³ للإحداثيات المكانية الثلاثة؛ δ ^ij هي دالة دلتا كرونكر ؛ و ∂ _ρ = ∂ / ∂x ^ρ للإحداثي ρ -th x ^ρ .

هذا مثال على فعل تربيعي، حيث أن كل حد من الحدود تربيعي في المجال φ . يُعرف الحد المتناسب مع ^m² أحيانًا باسم حد الكتلة، نظرًا لتفسيره اللاحق، في النسخة الكمية من هذه النظرية، بدلالة كتلة الجسيم.

تُستنتج معادلة الحركة لهذه النظرية من خلال إيجاد القيمة القصوى للفعل المذكور أعلاه. وهي تأخذ الشكل التالي، خطي في φ ،

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,}$

حيث ∇ ² هو مؤثر لابلاس . هذه هي معادلة كلاين-غوردون ، مع تفسيرها كمعادلة مجال كلاسيكية، بدلاً من كونها معادلة موجية ميكانيكية كمومية.

إن أكثر التعميمات شيوعًا للنظرية الخطية المذكورة أعلاه هو إضافة جهد قياسي${\displaystyle V(\phi )}$إلى لاغرانجيان ، حيث عادةً، بالإضافة إلى حد الكتلة${\displaystyle م^{2}\phi ^{2}/2}$الإمكانات${\displaystyle V}$يحتوي على حدود متعددة الحدود من الدرجة الأعلى في${\displaystyle \phi }$يُقال أحيانًا إن هذه النظرية تفاعلية، لأن معادلة أويلر-لاغرانج تصبح غير خطية، مما يعني وجود تفاعل ذاتي . ويكون الفعل في أكثر هذه النظريات عمومية هو

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}}$

ال${\displaystyle n!}$يتم إدخال العوامل في التوسع لأنها مفيدة في توسيع مخطط فاينمان لنظرية الكم، كما هو موضح أدناه.

معادلة الحركة المقابلة لأويلر-لاغرانج هي الآن

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.}$

قد تتخذ الكميات الفيزيائية في نظريات الحقل القياسي أبعادًا للطول أو الزمن أو الكتلة، أو مزيجًا منها. مع ذلك، في النظرية النسبية، يمكن تحويل أي كمية t ، ذات أبعاد زمنية، بسهولة إلى طول l = ct باستخدام سرعة الضوء c . وبالمثل، فإن أي طول l يُكافئ مقلوب الكتلة ħ = lmc² باستخدام ثابت بلانك ħ . في الوحدات الطبيعية، يُنظر إلى الزمن على أنه طول، أو إلى الزمن أو الطول على أنهما مقلوب الكتلة .

باختصار، يمكن اعتبار أبعاد أي كمية فيزيائية محددة بدلالة بُعد واحد مستقل فقط، بدلاً من الأبعاد الثلاثة جميعها. ويُطلق على هذا غالبًا اسم بُعد الكتلة. إن معرفة أبعاد كل كمية تُمكّن من استعادة الأبعاد التقليدية من تعبير الوحدات الطبيعية بدلالة بُعد الكتلة هذا، وذلك ببساطة عن طريق إعادة إدخال قوى ħ و c اللازمة لتحقيق التناسق البُعدي.

أحد الاعتراضات المحتملة هو أن هذه النظرية كلاسيكية، وبالتالي ليس من الواضح كيف يمكن أن يكون ثابت بلانك جزءًا منها أصلًا. إذا رغبنا، يمكننا إعادة صياغة النظرية دون أبعاد الكتلة على الإطلاق؛ إلا أن ذلك سيؤدي إلى إخفاء الصلة بالمجال الكمومي القياسي. وبما أن لدينا أبعادًا للكتلة، يُنظر إلى ثابت بلانك هنا على أنه كمية مرجعية ثابتة اعتباطية للفعل (ليست بالضرورة مرتبطة بالتكميم)، وبالتالي بأبعاد مناسبة للتحويل بين الكتلة ومقلوب الطول .

توضح نظرية φ ⁴ الضخمة عددًا من الظواهر المثيرة للاهتمام في نظرية المجال القياسي.

الكثافة اللاغرانجية هي

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.}$

في نظرية الحقل القياسي المركب، يأخذ الحقل القياسي قيمًا في الأعداد المركبة، بدلًا من الأعداد الحقيقية. يُمثل الحقل القياسي المركب جسيمات ذات لف مغزلي صفري وجسيمات مضادة مشحونة. عادةً ما يكون الفعل المدروس على الشكل التالي:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]}$

يتمتع هذا بتناظر U(1) ، أو ما يعادله O(2)، والذي يؤدي تأثيره على فضاء الحقول إلى الدوران${\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi }$، لبعض زاوية الطور الحقيقية α .

أما بالنسبة للحقل القياسي الحقيقي، فيُلاحظ كسر التناظر التلقائي إذا كانت قيمة m² سالبة. وينتج عن ذلك جهد غولدستون ذو الشكل المكسيكي ^، وهو عبارة عن دوران لجهد البئر المزدوج لحقل قياسي حقيقي بزاوية 2π راديان حول V${\displaystyle (\phi )}$يحدث كسر التناظر في بُعد أعلى، أي أن اختيار الفراغ يكسر تناظر U (1) المستمر بدلاً من التناظر المنفصل. يُعاد تشكيل مُركّبي الحقل القياسي كنمط ذي كتلة وبوزون غولدستون عديم الكتلة .

يمكن التعبير عن نظرية الحقل القياسي المركب بدلالة حقلين حقيقيين، ^φ₁ = Reφ و φ₂ = Imφ ^، واللذان يتحولان في التمثيل الشعاعي للتناظر الداخلي U(1) = O(2). على الرغم من أن هذه الحقول تتحول كمتجه تحت التناظر الداخلي ، إلا أنها تظل كميات قياسية لورنتزية.

يمكن تعميم ذلك على نظرية الحقول العددية N التي تتحول في التمثيل الشعاعي لتناظر O ( N ) . عادةً ما يكون لاغرانجيان نظرية الحقل العددي الثابت O ( N ) على الشكل التالي:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )}$

باستخدام جداء داخلي مناسب ثابت تحت تأثير O ( N ) . ويمكن أيضًا التعبير عن النظرية لحقول المتجهات المركبة، أي لـ${\displaystyle \phi \in \mathbb {C} ^{n}}$، وفي هذه الحالة تكون مجموعة التناظر هي مجموعة لي SU(N) .

عند ربط نظرية الحقل القياسي بطريقة ثابتة القياس مع فعل يانغ-ميلز ، نحصل على نظرية جينزبورغ-لانداو للموصلات الفائقة. تتوافق السوليتونات الطوبولوجية لهذه النظرية مع الدوامات في الموصل الفائق ؛ ويتوافق الحد الأدنى لجهد القبعة المكسيكية مع معامل الترتيب للموصل الفائق.

يمكن الحصول على توسيع مخطط فاينمان أيضًا من صيغة التكامل المساري لفاينمان . ^{[ 4 ]} يتم إنشاء القيم المتوقعة للفراغ المرتبة زمنيًا لكثيرات الحدود في φ ، والمعروفة باسم دوال غرين للجسيمات n ، عن طريق التكامل على جميع الحقول الممكنة، مع تطبيعها بالقيمة المتوقعة للفراغ بدون حقول خارجية.

${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

يمكن الحصول على جميع دوال غرين هذه عن طريق توسيع الدالة الأسية في J ( x )φ( x ) في الدالة المولدة

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .}$

يمكن تطبيق دوران ويك لجعل الزمن تخيليًا. تغيير الإشارة إلى (++++) يحول تكامل فاينمان إلى دالة تقسيم الميكانيكا الإحصائية في الفضاء الإقليدي .

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.}$

عادةً ما يتم تطبيق هذا على تشتت الجسيمات ذات الزخم الثابت، وفي هذه الحالة، يكون تحويل فورييه مفيدًا، مما يعطي بدلاً من ذلك

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

أين${\displaystyle \delta (x)}$هي دالة ديراك دلتا .

تتمثل الحيلة القياسية لتقييم هذا التكامل الوظيفي في كتابته كحاصل ضرب عوامل أسية، بشكل تخطيطي،

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

يمكن توسيع العاملين الأسيين الثانيين كمتسلسلات قوى، ويمكن تمثيل التوافقيات لهذا التوسع بيانيًا من خلال مخططات فاينمان للتفاعل الرباعي .

يمكن التعامل مع التكامل مع g = 0 على أنه ناتج ضرب عدد لا نهائي من التكاملات الغاوسية الأولية: ويمكن التعبير عن النتيجة كمجموع لمخططات فاينمان ، محسوبة باستخدام قواعد فاينمان التالية:

• يتم تمثيل كل حقل ~ φ ( p ) في دالة غرين الإقليدية ذات n نقطة بواسطة خط خارجي (نصف حافة) في الرسم البياني، ويرتبط بالزخم p .
• يتم تمثيل كل رأس بعامل − g .
• عند رتبة معينة g ^k ، تُنشأ جميع المخططات ذات n خطًا خارجيًا و k رأسًا بحيث تكون كمية الحركة المتدفقة إلى كل رأس صفرًا. يُمثَّل كل خط داخلي بمُوَصِّل 1/( q² ⁺ m² ⁾ ، حيث q هي كمية الحركة المتدفقة عبر ذلك الخط.
• يتم دمج أي زخم غير مقيد على جميع القيم.
• يتم تقسيم النتيجة على عامل التناظر، وهو عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيب الخطوط والرؤوس في الرسم البياني دون تغيير اتصالها.
• لا تقم بتضمين الرسوم البيانية التي تحتوي على "فقاعات فراغية"، وهي رسوم بيانية فرعية متصلة بدون خطوط خارجية.

تأخذ القاعدة الأخيرة في الاعتبار تأثير القسمة على ~ Z [0]. قواعد فاينمان في فضاء مينكوفسكي متشابهة، باستثناء أن كل رأس يُمثَّل بـ −ig ، بينما يُمثَّل كل خط داخلي بمُوَصِّل i /( q ² − m ² + iε )، حيث يُمثِّل الحد ε دوران ويك الصغير اللازم لجعل التكامل الغاوسي في فضاء مينكوفسكي يتقارب.

تتباعد عادةً التكاملات على الزخم غير المقيد، والتي تُسمى "تكاملات الحلقة"، في مخططات فاينمان. ويتم التعامل مع هذا عادةً عن طريق إعادة التطبيع ، وهي عملية إضافة حدود معاكسة متباعدة إلى لاغرانجيان بحيث تكون المخططات المُنشأة من لاغرانجيان الأصلي والحدود المعاكسة محدودة. ^{[ 5 ]} يجب إدخال مقياس إعادة التطبيع في هذه العملية، ويصبح ثابت الاقتران والكتلة معتمدين عليه.

يتم ترميز اعتماد ثابت الاقتران g على المقياس λ بواسطة دالة بيتا ، β ( g ) ، المعرفة بواسطة

${\displaystyle \beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.}$

يُعرف هذا الاعتماد على مقياس الطاقة باسم "تغير معامل الاقتران"، ويتم وصف نظرية هذا الاعتماد المنهجي على المقياس في نظرية المجال الكمومي بواسطة مجموعة إعادة التطبيع .

عادةً ما تُحسب دوال بيتا باستخدام مخطط تقريبي، وأكثرها شيوعًا نظرية الاضطراب ، حيث يُفترض أن ثابت الاقتران صغير. ويمكن بعد ذلك إجراء توسيع بدلالة قوى معاملات الاقتران وحذف الحدود ذات الرتبة الأعلى (المعروفة أيضًا باسم مساهمات الحلقات العليا ، نظرًا لعدد الحلقات في مخططات فاينمان المقابلة ).

دالة بيتا عند حلقة واحدة (المساهمة الاضطرابية الأولى) لنظرية φ ⁴ هي

${\displaystyle \beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.}$

تشير الإشارة الموجبة أمام الحد الأدنى إلى أن ثابت الاقتران يزداد مع الطاقة. وإذا استمر هذا السلوك عند قيم اقتران عالية، فسيدل ذلك على وجود قطب لاندو عند طاقة محدودة، ناتج عن التفاهة الكمومية . مع ذلك، لا يمكن الإجابة عن هذا السؤال إلا بطريقة غير اضطرابية، لأنه ينطوي على اقتران قوي.

تُعتبر نظرية الحقل الكمومي تافهة عندما يؤول الاقتران المُعاد تطبيعه، المحسوب من خلال دالة بيتا الخاصة به ، إلى الصفر عند إزالة حد القطع فوق البنفسجي. ونتيجة لذلك، يصبح المُوَصِّل مُوَصِّل جسيم حر، ويتوقف الحقل عن التفاعل.

بالنسبة لتفاعل φ ⁴ ، أثبت مايكل أيزنمان أن النظرية تافهة بالفعل، بالنسبة لبعد الزمكان D ≥ 5. ^{[ 6 ]}