الجهد المغناطيسي المتجهي

في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، الكمون المتجه المغناطيسي (يرمز له غالبًا بـ A ) هو الكمية المتجهة المعرفة بحيث يكون دورانها مساويًا للمجال المغناطيسي B :${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$بالإضافة إلى الجهد الكهربائي φ ، يمكن استخدام الجهد المغناطيسي المتجهي لتحديد المجال الكهربائي E أيضًا. لذلك، يمكن كتابة العديد من معادلات الكهرومغناطيسية إما بدلالة المجالين E و B ، أو بشكل مكافئ بدلالة الجهدين φ و A. في النظريات الأكثر تقدمًا، مثل ميكانيكا الكم ، تستخدم معظم المعادلات الجهود بدلًا من المجالات.

تم تقديم الجهد المتجه المغناطيسي بشكل مستقل من قبل فرانز إرنست نيومان ^{[ 1 ]} وفيلهلم إدوارد ويبر ^{[ 2 ]} في عامي 1845 و1846 على التوالي لمناقشة قانون أمبير الدائري . ^{[ 3 ]} كما قدم ويليام طومسون النسخة الحديثة من الجهد المتجه في عام 1847، إلى جانب الصيغة التي تربطه بالمجال المغناطيسي. ^{[ 4 ]}

تستخدم هذه المقالة نظام الوحدات الدولي (SI).

في النظام الدولي للوحدات ، وحدات A هي V · s · m ⁻¹ أو Wb · m ⁻¹ وهي نفس وحدات الزخم لكل وحدة شحنة ، أو القوة لكل وحدة تيار .

الجهد المغناطيسي المتجهي،${\displaystyle \mathbf {A} }$، هو حقل متجه ، والجهد الكهربائي ،${\displaystyle \phi }$، هو حقل قياسي بحيث: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {B} }$هو المجال المغناطيسي و${\displaystyle \mathbf {E} }$يمثل المجال الكهربائي . في المغناطيسية الساكنة، حيث لا يوجد تيار أو توزيع شحنة متغير مع الزمن ، تكفي المعادلة الأولى فقط. (في سياق الديناميكا الكهربائية ، يُستخدم مصطلحا الكمون الشعاعي والكمون القياسي للإشارة إلى الكمون الشعاعي المغناطيسي والكمون الكهربائي ، على التوالي. في الرياضيات، يمكن تعميم الكمون الشعاعي والكمون القياسي ليشمل أبعادًا أعلى).

إذا تم تعريف المجالين الكهربائي والمغناطيسي كما سبق من خلال الكمونات، فإنهما يحققان تلقائيًا اثنين من معادلات ماكسويل : قانون جاوس للمغناطيسية وقانون فاراداي . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا كانت الدالة متصلة ومحددة جيدًا في كل مكان، فمن المؤكد أنها لن تؤدي إلى ظهور أقطاب مغناطيسية أحادية . (في النظرية الرياضية للأقطاب المغناطيسية الأحادية،${\displaystyle \mathbf {A} }$يُسمح بأن تكون القيمة إما غير محددة أو متعددة القيم في بعض الأماكن؛ انظر القطب المغناطيسي الأحادي لمزيد من التفاصيل).

انطلاقاً من التعريفات المذكورة أعلاه، مع الأخذ في الاعتبار أن تباعد الدوران يساوي صفرًا وأن دوران التدرج هو متجه الصفر: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

أو بدلاً من ذلك، وجود${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \phi }$يضمن هذان القانونان ذلك باستخدام نظرية هيلمهولتز . على سبيل المثال، بما أن المجال المغناطيسي خالٍ من التباعد (قانون جاوس للمغناطيسية؛ أي،${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$)${\displaystyle \mathbf {A} }$يوجد دائمًا ما يفي بالتعريف المذكور أعلاه.

الجهد المتجهي${\displaystyle \mathbf {A} }$يتم استخدامه عند دراسة لاغرانجيان في الميكانيكا الكلاسيكية وفي ميكانيكا الكم (انظر معادلة شرودنغر للجسيمات المشحونة ، معادلة ديراك ، تأثير أهارونوف-بوم ).

في حالة الاقتران الأدنى ،${\displaystyle q\mathbf {A} }$يُطلق عليه اسم الزخم الكامن، وهو جزء من الزخم المتعارف عليه .

التكامل الخطي لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$على حلقة مغلقة،${\displaystyle \Gamma }$، يساوي التدفق المغناطيسي ،${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }}$، عبر سطح،${\displaystyle S}$، التي تتضمن: $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.}$$

لذلك، فإن وحدات${\displaystyle \mathbf {A} }$وهي تعادل أيضًا وحدة ويبر لكل متر . المعادلة المذكورة أعلاه مفيدة في تحديد كمية التدفق في الحلقات فائقة التوصيل .

في مقياس كولوم${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$هناك تشابه رسمي بين العلاقة بين الكمون الشعاعي والمجال المغناطيسي وقانون أمبير${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$وبالتالي، عند إيجاد الجهد المتجهي لحقل مغناطيسي معين، يمكن للمرء استخدام نفس الطرق التي يستخدمها عند إيجاد الحقل المغناطيسي بالنظر إلى توزيع التيار.

على الرغم من المجال المغناطيسي،${\displaystyle \mathbf {B} }$، هو متجه زائف (يسمى أيضًا متجه محوري )، وهو الكمون المتجهي،${\displaystyle \mathbf {A} }$، هو متجه قطبي . ^{[ 6 ]} هذا يعني أنه إذا استُبدلت قاعدة اليد اليمنى للضرب الاتجاهي بقاعدة اليد اليسرى، دون تغيير أي معادلات أو تعريفات أخرى، فإن${\displaystyle \mathbf {B} }$ستتغير إشارات المتجه، لكن قيمة A لن تتغير. هذا مثال على نظرية عامة: التفاف المتجه القطبي هو متجه زائف، والعكس صحيح. ^{[ 6 ]}

في علم المغناطيسية الساكنة ، إذا كان مقياس كولوم${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$إذا فُرضت، فهناك تشابه بين${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {J} }$و${\displaystyle V,\rho }$في علم الكهرباء الساكنة : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }$$ تمامًا مثل معادلة الكهروستاتيكية $${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$$

وبالمثل، يمكن إجراء التكامل للحصول على الكمونات: $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{R}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$$ تمامًا مثل معادلة الجهد الكهربائي : $${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$$

من خلال مساواة قانون نيوتن الثاني بقانون قوة لورنتز، يمكننا الحصول على ^{[ 7 ]}$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$بضرب هذا في السرعة نحصل على $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=q\mathbf {v} \cdot \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$ بما أن حاصل الضرب القياسي لحاصل الضرب الاتجاهي يساوي صفرًا، فإن التعويض $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ والمشتق الحملي لـ${\displaystyle \phi }$في المعادلة أعلاه تعطي $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}+q\phi \right)={\frac {\partial }{\partial t}}q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)}$$ وهذا يخبرنا بالمشتق الزمني لـ "الطاقة المعممة".${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+q\phi }$من حيث جهد يعتمد على السرعة${\displaystyle q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)}$، و $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mv+q\mathbf {A} \right)=-\nabla q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)}$$ وهو ما يعطي المشتق الزمني للزخم المعمم${\displaystyle m\mathbf {v} +q\mathbf {A} }$من حيث التدرج (السالب) لنفس الجهد المعتمد على السرعة.

وبالتالي، عندما يكون المشتق الزمني (الجزئي) للجهد المعتمد على السرعة${\displaystyle q(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$عندما يكون التدرج صفرًا، تُحفظ الطاقة المعممة، وبالمثل عندما يكون التدرج صفرًا، يُحفظ الزخم المعمم. كحالة خاصة، إذا كانت الكمونات متناظرة زمنيًا أو مكانيًا، فإن الطاقة المعممة أو الزخم المعمم، على التوالي، سيُحفظ. وبالمثل، تُساهم المجالات${\displaystyle q\mathbf {r} \times \mathbf {A} }$بالنسبة للزخم الزاوي المعمم، فإن التناظرات الدورانية ستوفر قوانين حفظ للمكونات.

من منظور النسبية، لدينا المعادلة الوحيدة $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(p^{\mu }+qA^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left(U^{\nu }\cdot A^{\nu }\right)}$$ أين

• ${\displaystyle \tau }$هذا هو الوقت المناسب ،
• ${\displaystyle p^{\mu }}$الزخم الرباعي${\displaystyle (E/c,\gamma m\mathbf {v} )}$
• ${\displaystyle U^{\nu }}$السرعة الرابعة${\displaystyle \gamma (c,\mathbf {v} )}$
• ${\displaystyle A^{\nu }}$هي الاحتمالات الأربعة${\displaystyle (\phi /c,\mathbf {A} )}$
• ${\displaystyle \partial _{\mu }}$هو التدرج الرباعي${\displaystyle ({\frac {\partial }{\partial \left(ct\right)}},-\nabla )}$

لا يُعرّف التعريف أعلاه الكمون المتجه المغناطيسي تعريفًا فريدًا، لأنه بحكم التعريف، يمكننا إضافة مركبات خالية من الدوران إلى الكمون المغناطيسي بشكل تعسفي دون تغيير المجال المغناطيسي المرصود. وبالتالي، هناك درجة من الحرية متاحة عند الاختيار.${\displaystyle \mathbf {A} }$. يُعرف هذا الشرط باسم ثبات القياس .

هناك خياران شائعان لقياس المقاييس هما:

• مقياس لورنز :$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$
• مقياس كولوم :$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

انظر فاينمان ^{[ 12 ]} للاطلاع على وصف${\displaystyle \mathbf {A} }$مجال حول ملف لولبي طويل ورفيع .

منذ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J} }$$ بافتراض ظروف شبه ساكنة، أي

${\displaystyle {\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\ }$و${\displaystyle \ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$،

الخطوط والملامح لـ${\displaystyle \ \mathbf {A} \ }$يتعلق بـ${\displaystyle \ \mathbf {B} \ }$مثل الخطوط والملامح لـ${\displaystyle \mathbf {B} }$يتعلق بـ${\displaystyle \ \mathbf {J} .}$وهكذا، فإن تصوير${\displaystyle \mathbf {A} }$حقل حول حلقة من${\displaystyle \mathbf {B} }$التدفق (كما هو الحال في المحث الحلقي ) هو نفسه نوعيًا مثل${\displaystyle \mathbf {B} }$مجال حول حلقة من التيار.

الشكل الموجود على اليمين هو تصوير فني لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$المجال. تشير الخطوط السميكة إلى مسارات ذات كثافة متوسطة أعلى (المسارات الأقصر لها كثافة أعلى بحيث يكون تكامل المسار متساوياً). رُسمت الخطوط لإضفاء المظهر العام (جمالياً) على${\displaystyle \mathbf {A} }$مجال.

يفترض الرسم ضمنيًا${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$، صحيح في ظل أي من الافتراضات التالية:

• يُفترض أن مقياس كولوم
• يُفترض استخدام مقياس لورنز ولا يوجد توزيع للشحنة.${\displaystyle \rho =0}$
• يُفترض استخدام مقياس لورنز ، ويُفترض أن التردد يساوي صفرًا.
• يُفترض أن مقياس لورنز له تردد غير صفري، ولكنه لا يزال يُفترض أنه منخفض بما يكفي لإهمال الحد${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

في سياق النسبية الخاصة ، من الطبيعي ضم الكمون المتجه المغناطيسي مع الكمون الكهربائي (القياسي) في الكمون الكهرومغناطيسي ، والذي يسمى أيضًا الكمون الرباعي .

أحد دوافع القيام بذلك هو أن الجهد الرباعي هو متجه رياضي رباعي . وبالتالي، باستخدام قواعد تحويل المتجهات الرباعية القياسية، إذا كان الجهدان الكهربائي والمغناطيسي معروفين في إطار مرجعي قصوري واحد، فيمكن حسابهما ببساطة في أي إطار مرجعي قصوري آخر.

ثمة دافع آخر ذو صلة، وهو إمكانية كتابة محتوى الكهرومغناطيسية الكلاسيكية بصيغة موجزة ومريحة باستخدام الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي، لا سيما عند استخدام مقياس لورنز . وبالتحديد، في تدوين الفهرس المجرد ، يمكن كتابة مجموعة معادلات ماكسويل (في مقياس لورنز) ( بوحدات غاوسية ) على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \ \Box ^{2}\ }$هو دالامبيرتيان و${\displaystyle \ J\ }$يمثل التيار الرباعي . المعادلة الأولى هي شرط لورنز القياسي، بينما تحتوي الثانية على معادلات ماكسويل. كما يلعب الجهد الرباعي دورًا بالغ الأهمية في الديناميكا الكهربائية الكمومية .

بحسب نظرية هيلمهولتز ، يُوصف حقل المتجهات وصفًا كاملًا من خلال تباعده ودورانه. وبما أن A عُرِّفت في البداية فقط من خلال دورانها (${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$يحق لنا اختيار أي تعريف لـ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$شريطة أن نستخدم هذا التعريف باستمرار في جميع التحليلات اللاحقة. جميع هذه التعريفات صحيحة، وتؤدي إلى مجموعات مختلفة من المعادلات التي تصف الظاهرة نفسها، وحلول المعادلات لأي اختيار لـ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$تؤدي إلى نفس المجالات الكهرومغناطيسية، ونفس التنبؤات الفيزيائية حول المجالات والشحنات.

من الطبيعي أن نعتقد أنه إذا أظهرت كمية ما هذه الدرجة من الحرية في اختيارها، فلا ينبغي تفسيرها على أنها كمية فيزيائية حقيقية. ففي النهاية، إذا كان بإمكاننا الاختيار بحرية${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$أن يكون أي شيء، إذن${\displaystyle \mathbf {A} }$ليست فريدة من نوعها. قد يتساءل المرء: ما هي القيمة "الحقيقية" لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$هل تم قياس ذلك في تجربة؟ إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا لم يكن فريدًا، فإن الإجابة المنطقية الوحيدة هي أننا لا نستطيع أبدًا قياس قيمة${\displaystyle \mathbf {A} }$وبناءً على هذا الأساس، يُقال غالبًا إنها ليست كمية فيزيائية حقيقية، ويُعتقد أن الحقول${\displaystyle \mathbf {E} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$هي الكميات الفيزيائية الحقيقية.

ومع ذلك، هناك تجربة واحدة على الأقل تم فيها تحديد قيمة${\displaystyle \mathbf {E} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$كلاهما يساويان صفرًا عند موقع الجسيم المشحون، ولكنه مع ذلك يتأثر بوجود جهد متجه مغناطيسي محلي؛ انظر تأثير أهارونوف-بوم لمزيد من التفاصيل. ومع ذلك، حتى في تجربة أهارونوف-بوم، فإن التباعد${\displaystyle \mathbf {A} }$لا يدخل في الحسابات أبداً؛ فقط${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$إن مسار الجسيم هو الذي يحدد التأثير القابل للقياس.

• الجهد القياسي المغناطيسي
• تأثير أهارونوف-بوم
• مجال الغلوون

• دافين، دبليو جيه (1990). الكهرباء والمغناطيسية، الطبعة الرابعة . ماكجرو هيل.
• فاينمان، ريتشارد ب؛ لايتون، روبرت ب؛ ساندز، ماثيو (1964). محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد 2. أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-02117-X.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• جاكسون، جون ديفيد (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده . ISBN 0-471-30932-X.
• كراوس، جون د. (1984). الكهرومغناطيسية (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-035423-5.

• الوسائط المتعلقة بالجهد المغناطيسي المتجهي على ويكيميديا ​​كومنز