أربعة تدرجات

التباعد هو مؤثر متجهي يُنتج حقلاً قياسياً مُوَقَّعاً يُحدد مقدار مصدر حقل متجهي عند كل نقطة. لاحظ أنه في هذه الإشارة المترية [+,−,−,−]، يحتوي التدرج الرباعي على مُكَوِّن مكاني سالب. يتم إلغاؤه عند حساب الضرب النقطي رباعي الأبعاد لأن مقياس مينكوفسكي قطري [+1,−1,−1,−1].

التباعد الرباعي للوضع الرباعي${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$يعطي بُعد الزمكان : ​$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

التباعد الرباعي لكثافة التيار الرباعي$${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$يقدم قانونًا للحفظ – حفظ الشحنة : ^{[ 1 ] : 103-107}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

هذا يعني أن معدل تغير كثافة الشحنة مع الزمن يجب أن يساوي التباعد المكاني السالب لكثافة التيار${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$.

بمعنى آخر، لا يمكن للشحنة داخل الصندوق أن تتغير بشكل عشوائي، بل يجب أن تدخل الصندوق وتخرج منه عبر تيار كهربائي. هذه معادلة استمرارية .

التباعد الرباعي لتدفق الأرقام الأربعة (الغبار الرباعي)${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$يُستخدم في حفظ الجسيمات: ^{[ 4 ] : ​​90-110}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

هذا قانون حفظ لكثافة عدد الجسيمات، وعادة ما يكون شيئًا مثل كثافة عدد الباريونات.

التباعد الرباعي للجهد الكهرومغناطيسي الرباعي${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$يُستخدم في شرط قياس لورنز : ^{[ 1 ] : 105-107}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

هذا يعادل قانون حفظ الطاقة للجهد الكهرومغناطيسي 4.

التباعد الرباعي للموتر المستعرض عديم الأثر رباعي الأبعاد (2,0)${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$يمثل الإشعاع الجاذبي في حد المجال الضعيف (أي ينتشر بحرية بعيدًا عن المصدر).

الحالة المستعرضة$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$ وهو ما يعادل معادلة حفظ الموجات الثقالية المنتشرة بحرية.

التباعد الرباعي لموتر الإجهاد والطاقة${\displaystyle T^{\mu \nu }}$باعتبارها تيار نوثر المحفوظ المرتبط بانتقالات الزمكان ، فإنها تعطي أربعة قوانين حفظ في النسبية الخاصة: ^{[ 4 ] : ​​101-106}

حفظ الطاقة (الاتجاه الزمني) وحفظ الزخم الخطي (3 اتجاهات مكانية منفصلة). $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

غالباً ما تُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$ حيث يُفهم أن الصفر المفرد هو في الواقع صفر متجه رباعي${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$.

عندما يكون حفظ موتر الإجهاد والطاقة (${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$يتم دمج ) بالنسبة للسائل المثالي مع حفظ كثافة عدد الجسيمات (${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$باستخدام التدرج الرباعي، يمكن اشتقاق معادلات أويلر النسبية ، والتي تُعدّ في ميكانيكا الموائع والفيزياء الفلكية تعميمًا لمعادلات أويلر تأخذ في الحسبان تأثيرات النسبية الخاصة . وتتحول هذه المعادلات إلى معادلات أويلر الكلاسيكية إذا كانت سرعة المائع في الفضاء ثلاثي الأبعاد أقل بكثير من سرعة الضوء، وكان الضغط أقل بكثير من كثافة الطاقة ، وكانت كثافة كتلة السكون هي المهيمنة على الأخيرة.

في الزمكان المسطح وباستخدام الإحداثيات الديكارتية، إذا جمعنا هذا مع تناظر موتر الإجهاد والطاقة، يمكننا أن نبين أن الزخم الزاوي ( الزخم الزاوي النسبي ) محفوظ أيضًا: $${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$ حيث يكون هذا الصفر في الواقع صفرًا لموتر (2,0).

مصفوفة جاكوبي هي مصفوفة جميع المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى لدالة ذات قيم متجهة .

التدرج الرباعي${\displaystyle \partial ^{\mu }}$العمل على الوضع 4${\displaystyle X^{\nu }}$يعطي مقياس فضاء مينكوفسكي SR${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$: ^{[ 3 ] : 16}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

بالنسبة لمقياس مينكوفسكي، المكونات${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$ (${\displaystyle \mu }$(غير مجمعة)، مع مكونات غير قطرية جميعها أصفار.

بالنسبة لمقياس مينكوفسكي الديكارتي، فإن هذا يعطي${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$.

عمومًا،${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$، أين${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$هو دلتا كرونكر رباعي الأبعاد .

يُكتب تحويل لورنتز في صورة موتر كما يلي ^{[ 4 ] : ​​69}$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$ ومنذ ذلك الحين${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$إذا كانت مجرد ثوابت، فإن $${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

وبالتالي، بحسب تعريف التدرج الرباعي $${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

هذه الهوية أساسية. تتحول مكونات التدرج الرباعي وفقًا لمعكوس مكونات المتجهات الرباعية. لذا فإن التدرج الرباعي هو الشكل الأحادي "النموذجي".

الضرب القياسي للسرعة الرباعية${\displaystyle U^{\mu }}$باستخدام التدرج الرباعي، نحصل على المشتقة الكلية بالنسبة للزمن الخاص${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$: ^{[ 1 ] : 58–59}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

حقيقة أن${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$إن كون ثابت لورنتز القياسي يدل على أن المشتقة الكلية بالنسبة للزمن الخاص${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$وهو كذلك ثابت قياسي لورنتز.

فعلى سبيل المثال، السرعة الرباعية${\displaystyle U^{\mu }}$هو مشتق الوضع 4${\displaystyle X^{\mu }}$فيما يتعلق بالوقت المناسب: $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$ أو $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

مثال آخر، التسارع 4${\displaystyle A^{\mu }}$هي المشتقة الزمنية الخاصة للسرعة الرباعية${\displaystyle U^{\mu }}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

أو $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

موتر فاراداي الكهرومغناطيسي${\displaystyle F^{\mu \nu }}$هو كائن رياضي يصف المجال الكهرومغناطيسي في الزمكان لنظام فيزيائي. ^{[ 1 ] : 101-128 [ 5 ] : 314 [ 3 ] : 17-18 [ 6 ] : 29-30 [ 7 ] : 4}

بتطبيق التدرج الرباعي لإنشاء موتر مضاد للتناظر، نحصل على: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$ أين:

• الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$، لا ينبغي الخلط بينه وبين التسارع 4${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• الجهد الكهربائي القياسي هو${\displaystyle \phi }$
• الجهد المتجهي المغناطيسي ثلاثي الأبعاد هو${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

بتطبيق التدرج الرباعي مرة أخرى، وتحديد كثافة التيار الرباعي على النحو التالي:${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$يمكن للمرء أن يستنتج الشكل الموتري لمعادلات ماكسويل : $${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$ حيث يمثل السطر الثاني نسخة من هوية بيانكي ( هوية جاكوبي ).

متجه الموجة هو متجه يساعد في وصف الموجة . ومثل أي متجه، له مقدار واتجاه ، وكلاهما مهم: مقداره إما هو العدد الموجي أو العدد الموجي الزاوي للموجة (يتناسب عكسياً مع الطول الموجي )، واتجاهه عادةً ما يكون اتجاه انتشار الموجة.

متجه الموجة الرباعي${\displaystyle K^{\mu }}$هو التدرج الرابع للطور السالب${\displaystyle \Phi }$(أو التدرج السالب 4 للطور) لموجة في فضاء مينكوفسكي: ^{[ 6 ] : 387}$${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

وهذا مكافئ رياضياً لتعريف طور الموجة ( أو بشكل أكثر تحديداً الموجة المستوية ): $${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

حيث 4-وضع${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$،${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي الزمني ،${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$هو متجه الموجة المكاني ثلاثي الأبعاد، و${\displaystyle \Phi }$هي الطور الثابت لورنتز القياسي.

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$ بافتراض أن الموجة المستوية${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ليست وظائف صريحة لـ${\displaystyle t}$أو${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$.

الشكل الصريح للموجة المستوية SR${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$يمكن كتابتها على النحو التالي: ^{[ 7 ] : 9}

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$أين${\displaystyle A_{n}}$هي سعة (ربما معقدة ).

موجة عامة${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$سيكون ذلك عبارة عن تراكب لعدة موجات مستوية: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

باستخدام التدرج الرباعي مرة أخرى، $${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$ أو $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$وهو نسخة ذات تدرج رباعي من الموجات المستوية ذات القيم المركبة

في النسبية الخاصة والكهرومغناطيسية ونظرية الموجات، يُعرف مؤثر دالمبير، أو مؤثر الموجة، بأنه مؤثر لابلاس في فضاء مينكوفسكي. وقد سُمي هذا المؤثر نسبةً إلى عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي جان لو رون دالمبير.

مربع${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$هو لابلاس من الدرجة الرابعة ، والذي يُسمى مؤثر دالمبير : ^{[ 5 ] : 300 [ 3 ] : 17-18 [ 6 ] : 41 [ 7 ] : 4}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

بما أنه حاصل الضرب النقطي لمتجهين رباعيين، فإن دالامبيرتيان هو كمية قياسية ثابتة لورنتز .

أحيانًا، قياسًا على الترميز ثلاثي الأبعاد، الرموز${\displaystyle \Box }$و${\displaystyle \Box ^{2}}$تُستخدم هذه الرموز للدلالة على التدرج الرباعي ودالامبير على التوالي. ومع ذلك، فإن الرمز الأكثر شيوعًا هو${\displaystyle \Box }$محجوز لدالمبيرتيان.

فيما يلي بعض الأمثلة على التدرج الرباعي كما هو مستخدم في دالامبير:

في معادلة كلاين-غوردون النسبية للموجة الكمومية للجسيمات ذات اللف المغزلي 0 (مثال: بوزون هيغز ): $${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

في معادلة الموجة للمجال الكهرومغناطيسي (باستخدام مقياس لورنز)${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$):

• في الفراغ:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• مع مصدر تيار رباعي ، دون احتساب تأثيرات الدوران:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• مع مصدر الديناميكا الكهربائية الكمومية ، بما في ذلك تأثيرات الدوران:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

أين:

• الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$هو جهد متجه كهرومغناطيسي
• 4- كثافة التيار${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$هي كثافة التيار الكهرومغناطيسي
• مصفوفات ديراك غاما${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$توفير تأثيرات الدوران

في معادلة الموجة الثقالية ( باستخدام مقياس لورنز مماثل)${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$) ^{[ 6 ] : 274–322}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$ أين${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$يمثل الموتر العرضي عديم الأثر ثنائي الأبعاد الإشعاع الجاذبي في حد المجال الضعيف (أي ينتشر بحرية بعيدًا عن المصدر).

شروط إضافية على${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$نكون:

• مكاني بحت:$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• بلا أثر:$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• مستعرض:$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

في النسخة رباعية الأبعاد لدالة غرين : $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$ حيث تكون دالة دلتا رباعية الأبعاد : $${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

في حساب المتجهات ، تُعرف نظرية التباعد ، أو نظرية غاوس، أو نظرية أوستروغرادسكي، بأنها نتيجة تربط تدفق حقل متجه عبر سطح ما بسلوك هذا الحقل داخل ذلك السطح. وبشكل أدق، تنص نظرية التباعد على أن التدفق الخارجي لحقل متجه عبر سطح مغلق يساوي التكامل الحجمي للتباعد على المنطقة داخل السطح. وبشكل بديهي، تنص على أن مجموع جميع المصادر مطروحًا منه مجموع جميع المصارف يُعطي صافي التدفق الخارج من المنطقة . في حساب المتجهات، وبشكل أعم في الهندسة التفاضلية، تُعد نظرية ستوكس (أو نظرية ستوكس المعممة) بيانًا حول تكامل الأشكال التفاضلية على المشعبات، وهي تُبسط وتُعمم العديد من نظريات حساب المتجهات.

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$ أو $${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$ أين

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$هو حقل متجه رباعي الأبعاد معرف في${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$هو التباعد الرابع لـ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$هو أحد مكونات${\displaystyle V}$على طول الاتجاه${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$هي منطقة رباعية الأبعاد متصلة ببساطة في فضاء مينكوفسكي الزمني
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$هو حدوده ثلاثية الأبعاد مع عنصر حجم ثلاثي الأبعاد خاص به${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$هو العمودي المتجه للخارج
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$هو عنصر الحجم التفاضلي رباعي الأبعاد

معادلة هاميلتون-جاكوبي (HJE) هي صياغة للميكانيكا الكلاسيكية، تُعادل صياغات أخرى مثل قوانين نيوتن للحركة ، وميكانيكا لاغرانج، وميكانيكا هاميلتون . تُعدّ معادلة هاميلتون-جاكوبي مفيدةً بشكل خاص في تحديد الكميات المحفوظة للأنظمة الميكانيكية، وهو أمرٌ قد يكون ممكنًا حتى عندما يتعذر حلّ المسألة الميكانيكية نفسها بشكل كامل. كما تُعدّ معادلة هاميلتون-جاكوبي الصياغة الوحيدة للميكانيكا التي يُمكن من خلالها تمثيل حركة الجسيم كموجة. وبهذا المعنى، حقّقت معادلة هاميلتون-جاكوبي هدفًا طالما سعت إليه الفيزياء النظرية (يعود تاريخه على الأقل إلى يوهان برنولي في القرن الثامن عشر) وهو إيجاد تشابه بين انتشار الضوء وحركة الجسيم.

الزخم النسبي المعمم${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$يمكن كتابة وصف الجسيم على النحو التالي ^{[ 1 ] : 93-96}$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$ أين${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$و${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

هذا هو في الأساس الزخم الكلي 4${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$للنظام؛ جسيم اختبار في مجال باستخدام قاعدة الاقتران الأدنى . هناك الزخم الذاتي للجسيم${\displaystyle \mathbf {P} }$بالإضافة إلى الزخم الناتج عن التفاعل مع الجهد الكهرومغناطيسي رباعي المتجهات${\displaystyle \mathbf {A} }$عن طريق شحنة الجسيم${\displaystyle q}$.

يتم الحصول على معادلة هاميلتون-جاكوبي النسبية عن طريق جعل الزخم الكلي مساوياً للتدرج السالب 4 للفعل${\displaystyle S}$. $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

يُعطي المكون الزمني ما يلي:${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

المكونات المكانية تعطي:${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

أين${\displaystyle H}$هو الهاميلتوني.

يرتبط هذا في الواقع بكون متجه الموجة 4 مساوياً للتدرج السالب 4 للطور من الأعلى. ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

للحصول على HJE، يستخدم المرء أولاً قاعدة لورنتز القياسية الثابتة على الزخم الرباعي: $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

لكن من قاعدة الاقتران الأدنى : $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

لذا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

الخوض في المكونات الزمنية والمكانية: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

حيث تكون المعادلة النهائية هي معادلة هاميلتون-جاكوبي النسبية .

يرتبط التدرج الرباعي بميكانيكا الكم .

العلاقة بين الزخم الرباعي${\displaystyle \mathbf {P} }$والتدرج الرباعي${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$يُعطي علاقات شرودنغر في ميكانيكا الكم . ^{[ 7 ] : 3-5}$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

يُعطي المكون الزمني ما يلي:${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

المكونات المكانية تعطي:${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

يمكن أن يتكون هذا في الواقع من خطوتين منفصلتين.

أولاً: ^{[ 1 ] : 82-84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$وهو النسخة الكاملة ذات الأربعة متجهات من:

علاقة بلانك-أينشتاين (المكون الزمني)${\displaystyle E=\hbar \omega }$

علاقة دي برولي بموجة المادة (المكونات المكانية)${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

ثانيًا: ^{[ 5 ] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$وهي ببساطة نسخة التدرج الرباعي لمعادلة الموجة للموجات المستوية ذات القيم المركبة

يُعطي المكون الزمني ما يلي:${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

المكونات المكانية تعطي:${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

في ميكانيكا الكم (الفيزياء)، تعتبر علاقة التبادل الأساسية هي العلاقة الأساسية بين الكميات المترافقة الأساسية (الكميات المرتبطة بحكم التعريف بحيث يكون أحدها هو تحويل فورييه للآخر).

• وفقًا لما يلي: ^{[ 7 ] : 4}$${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• مع الأخذ في الاعتبار المكونات المكانية،$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• منذ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$،$${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• منذ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$،$${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• وإعادة تسمية المؤشرات تعطي قواعد التبادل الكمي المعتادة:$${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

يُعدّ التدرج الرباعي أحد مكونات العديد من معادلات الموجة النسبية: ^{[ 5 ] : 300-309 [ 3 ] : 25، 30-31، 55-69}

في معادلة كلاين-غوردون النسبية للموجة الكمومية للجسيمات ذات اللف المغزلي 0 (مثل بوزون هيغز ): ^{[ 7 ] : 5}$${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

في معادلة ديراك النسبية للموجة الكمومية للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 (مثل الإلكترونات ): ^{[ 7 ] : 130}$${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

أين${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$هي مصفوفات غاما ديراك و${\displaystyle \psi }$هي دالة موجية نسبية .

${\displaystyle \psi }$هو كمية لورنتز القياسية لمعادلة كلاين-غوردون، وكمية سبينور لمعادلة ديراك.

من الجيد أن مصفوفات جاما نفسها تشير إلى الجانب الأساسي من SR، وهو مقياس مينكوفسكي: ^{[ 7 ] : 130}$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

يُستنتج حفظ كثافة التيار ذات الاحتمالية 4 من معادلة الاستمرارية: ^{[ 7 ] : 6}$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

للكثافة الحالية ذات الاحتمالية 4 الصيغة المتغيرة نسبيًا: ^{[ 7 ] : 6}$${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

كثافة تيار الشحنة الرباعية هي ببساطة الشحنة ( q ) مضروبة في كثافة تيار الاحتمالية الرباعية: ^{[ 7 ] : 8}$${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

تستخدم معادلات الموجة النسبية متجهات رباعية الأبعاد لتكون متغيرة. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

ابدأ بالمتجهات القياسية SR 4: ^{[ 1 ]}

• 4-موضع${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• السرعة الرابعة${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• الزخم 4${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• متجه الموجة الرباعي${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• تدرج رباعي${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$

لاحظ العلاقات البسيطة التالية من الأقسام السابقة، حيث يرتبط كل متجه رباعي بمتجه آخر بواسطة كمية لورنتز القياسية :

• السرعة الرابعة${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$، أين${\displaystyle \tau }$هذا هو الوقت المناسب
• الزخم 4${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$، أين${\displaystyle m_{0}}$كتلة السكون
• متجه الموجة الرباعي${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P} }$، وهو النسخة ذات الأربعة متجهات من علاقة بلانك-أينشتاين وعلاقة دي برولي بموجة المادة
• تدرج رباعي${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$، وهو إصدار ذو 4 تدرجات من الموجات المستوية ذات القيم المركبة