معادلة الموجة الكهرومغناطيسية

تنتج أبسط مجموعة من الحلول لمعادلة الموجة من افتراض أشكال موجية جيبية بتردد واحد في شكل قابل للفصل:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$$

أين

• i هي الوحدة التخيلية ،
• ω = 2 π f هي التردد الزاوي بالراديان في الثانية ،
• f هو التردد بالهرتز ، و
• ${\displaystyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$هي صيغة أويلر .

لنفترض مستوىً مُعرَّفًا بواسطة متجه وحدة عمودي

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}$$

ثم تكون حلول الموجات المستوية المتحركة لمعادلات الموجة هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}}$$

حيث r = ( x , y , z ) هو متجه الموضع (بالمتر).

تمثل هذه الحلول موجات مستوية تنتشر في اتجاه المتجه العمودي n . إذا عرّفنا الاتجاه z بأنه اتجاه n ، والاتجاه x بأنه اتجاه E ، فإن المجال المغناطيسي يقع في الاتجاه y ويرتبط بالمجال الكهربائي بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}$$

لأن تباعد المجالين الكهربائي والمغناطيسي يساوي صفرًا، فلا توجد مجالات في اتجاه الانتشار.

هذا الحل هو الحل المستقطب خطيًا لمعادلات الموجة. وهناك أيضًا حلول مستقطبة دائريًا تدور فيها المجالات حول متجه الوحدة العمودي.

بسبب خطية معادلات ماكسويل في الفراغ، يمكن تحليل الحلول إلى تراكب من الدوال الجيبية . وهذا هو أساس طريقة تحويل فورييه لحل المعادلات التفاضلية. ويأخذ الحل الجيبي لمعادلة الموجة الكهرومغناطيسية الشكل التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}}$$

أين

• t هو الوقت (بالثواني)،
• ω هي التردد الزاوي (بالراديان في الثانية)،
• يمثل k = ( k _x , k _y , k _z ) متجه الموجة (بالراديان لكل متر)، و
• ${\displaystyle \phi _{0}}$هي زاوية الطور (بالراديان).

يرتبط متجه الموجة بالتردد الزاوي من خلال

$${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$

حيث k هو العدد الموجي و λ هو الطول الموجي .

الطيف الكهرومغناطيسي هو رسم بياني لمقادير المجال (أو الطاقات) كدالة للطول الموجي.

بافتراض أن الحقول أحادية اللون تتغير مع الزمن${\displaystyle e^{-i\omega t}}$إذا استخدمنا معادلات ماكسويل للتخلص من B ، فإن معادلة الموجة الكهرومغناطيسية تختزل إلى معادلة هيلمهولتز لـ E :

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}$$

مع k = ω / c كما هو موضح أعلاه. أو بدلاً من ذلك، يمكن استبعاد E لصالح B للحصول على:

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}$$

يمكن كتابة مجال كهرومغناطيسي عام بتردد ω كمجموع حلول لهاتين المعادلتين. ويمكن التعبير عن الحلول ثلاثية الأبعاد لمعادلة هيلمهولتز كمتسلسلات في التوافقيات الكروية بمعاملات تتناسب مع دوال بيسل الكروية . مع ذلك، فإن تطبيق هذه المتسلسلة على كل مركبة متجهة من E أو B سيعطي حلولاً غير خالية من التباعد بشكل عام ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 )، وبالتالي يتطلب قيودًا إضافية على المعاملات.

يتغلب توسيع الأقطاب المتعددة على هذه الصعوبة بتوسيع r ⋅ E أو r ⋅ B إلى توافقيات كروية، وليس E أو B. ولا تزال هذه التوسعات تحل معادلات هيلمهولتز الأصلية لـ E و B، لأنه بالنسبة لحقل F خالٍ من التباعد ، فإن ∇² ( r ⋅ ^F ) = r ⋅(∇²F ⁾ . وتكون التعبيرات الناتجة لحقل كهرومغناطيسي عام كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$و${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$هي حقول متعددة الأقطاب الكهربائية من الرتبة (l, m) ، و${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$و${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$تمثل هذه القيم حقول الأقطاب المغناطيسية المتعددة المناظرة ، و aE ( l , m ) و aM ₍ l , m ) هما معاملا التوسع. تُعطى حقول الأقطاب المتعددة بالصيغة التالية _:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}}$$

حيث تمثل h _l ^(1,2) ( x ) دوال هانكل الكروية ، ويتم تحديد E _l ^(1,2) و B _l ^{(1,2) بواسطة الشروط الحدية، و}

$${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}$$

يتم تطبيع التوافقيات الكروية المتجهة بحيث

$${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}$$

يُستخدم تحليل المجال الكهرومغناطيسي متعدد الأقطاب في عدد من المسائل المتعلقة بالتناظر الكروي، مثل أنماط إشعاع الهوائيات أو اضمحلال أشعة غاما النووية . في هذه التطبيقات، غالبًا ما يكون الاهتمام منصبًا على القدرة المُشعّة في المجال البعيد . في هذه المناطق، يقترب المجالين الكهربائي والمغناطيسي تقاربًا مقاربًا .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}$$

يُعطى التوزيع الزاوي للقدرة الإشعاعية المتوسطة زمنيًا بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}$$

• حساب المتجهات لـ PC Matthews ، سبرينغر 1998، رقم ISBN 3-540-76180-2
• إتش إم شاي، خريج قسم التفاضل والتكامل: نص غير رسمي في حساب المتجهات ، الطبعة الرابعة (دار دبليو دبليو نورتون وشركاه، 2005) ISBN 0-393-92516-1.